2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓練 理

2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓練 理1(2018·高考全國卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PEBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解析：(1)證明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如圖，作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H­xyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.則H(0,0,0)，P，D，.又為平面ABFD的法向量，設DP與平面ABFD所成角為，則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2(2018·長春模擬)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，E為PD的中點(1)證明：PB平面ACE；(2)設PA1，ABC60，三棱錐E­ACD的體積為，求二面角D­AE­C的余弦值解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接OE(圖略)在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由題易知VP­ABCD2VP­ACD4VE­ACD，設菱形ABCD的邊長為a，則VP­ABCDSABCD·PA×(2×a2)×1，則a.取BC的中點為M，連接AM，則AMAD.以點A為坐標原點，分別以，的方向為x軸，y 軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，E(0，)，C(，0)，(0，)，(，0)，設n1(x，y，z)為平面AEC的法向量，則即取x1，則n1(1，3)為平面AEC的一個法向量又易知平面AED的一個法向量為n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由圖易知二面角D­AE­C為銳二面角，所以二面角D­AE­C的余弦值為.3(2018·高考全國卷)如圖，在三棱錐P­ABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(1)證明：PO平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M­PA­C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值解析：(1)證明：因為PAPCAC4，O為AC的中點，所以OPAC，且OP2.如圖，連接OB.因為ABBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)如圖，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系O­xyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一個法向量(2,0,0)設M(a,2a,0)(0a2)，則(a,4a,0)設平面PAM的法向量為n(x，y，z)由·n0，·n0得可取ya，得平面PAM的一個法向量為n(a4)，a，a)，所以cos ，n.由已知可得|cos，n|cos 30°，所以，解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.4(2018·青島模擬)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA45，APADAC2，E為PA的中點(1)設平面PAB平面PCDl，求證：CDl；(2)求二面角B­CE­D的余弦值解析：(1)證明：在四邊形ABCD中，ACAD，ADAC2，ACD45，BCA45，BCDBCAACD90，即DCBC.又ABBC，ABCD.AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB.CD平面PCD，平面PAB平面PCDl，CDl.(2)PA平面ABCD，ACAD，以A為原點，以AD所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,2)，E(0,0,1)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，設平面DCE的法向量為n1(x1，y1，z1)，(0，2,1)，(2,0,1)，由得，令x11，則y11，z12，n1(1,1,2)是平面DCE的一個法向量設平面BCE的法向量為n2(x2，y2，z2)，(1,1,0)，(0，2,1)，由得，令x21，則y21，z22，n2(1，1，2)是平面BCE的一個法向量則cosn1，n2，又二面角B­CE­D為鈍角，二面角B­CE­D的余弦值為.