2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓練 理
2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓練 理1(2018·高考全國卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達點P的位置,且PEBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解析:(1)證明:由已知可得BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)如圖,作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標原點,的方向為y軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE.又PF1,EF2,所以PEPF.所以PH,EH.則H(0,0,0),P,D,.又為平面ABFD的法向量,設DP與平面ABFD所成角為,則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2(2018·長春模擬)如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,E為PD的中點(1)證明:PB平面ACE;(2)設PA1,ABC60,三棱錐EACD的體積為,求二面角DAEC的余弦值解析:(1)證明:連接BD交AC于點O,連接OE(圖略)在PBD中,PEDE,BODO,所以PBOE.又OE平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)由題易知VPABCD2VPACD4VEACD,設菱形ABCD的邊長為a,則VPABCDSABCD·PA×(2×a2)×1,則a.取BC的中點為M,連接AM,則AMAD.以點A為坐標原點,分別以,的方向為x軸,y 軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),E(0,),C(,0),(0,),(,0),設n1(x,y,z)為平面AEC的法向量,則即取x1,則n1(1,3)為平面AEC的一個法向量又易知平面AED的一個法向量為n2(1,0,0),所以cosn1,n2,由圖易知二面角DAEC為銳二面角,所以二面角DAEC的余弦值為.3(2018·高考全國卷)如圖,在三棱錐PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O為AC的中點(1)證明:PO平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角MPAC為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值解析:(1)證明:因為PAPCAC4,O為AC的中點,所以OPAC,且OP2.如圖,連接OB.因為ABBCAC,所以ABC為等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB,OPAC,OBACO,得PO平面ABC.(2)如圖,以O為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系Oxyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(0,2,2)取平面PAC的一個法向量(2,0,0)設M(a,2a,0)(0a2),則(a,4a,0)設平面PAM的法向量為n(x,y,z)由·n0,·n0得可取ya,得平面PAM的一個法向量為n(a4),a,a),所以cos ,n.由已知可得|cos,n|cos 30°,所以,解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2,2),所以cos,n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.4(2018·青島模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BCA45,APADAC2,E為PA的中點(1)設平面PAB平面PCDl,求證:CDl;(2)求二面角BCED的余弦值解析:(1)證明:在四邊形ABCD中,ACAD,ADAC2,ACD45,BCA45,BCDBCAACD90,即DCBC.又ABBC,ABCD.AB平面PAB,CD平面PAB,CD平面PAB.CD平面PCD,平面PAB平面PCDl,CDl.(2)PA平面ABCD,ACAD,以A為原點,以AD所在的直線為x軸,AC所在的直線為y軸,AP所在的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,2),E(0,0,1),D(2,0,0),C(0,2,0),B(1,1,0),設平面DCE的法向量為n1(x1,y1,z1),(0,2,1),(2,0,1),由得,令x11,則y11,z12,n1(1,1,2)是平面DCE的一個法向量設平面BCE的法向量為n2(x2,y2,z2),(1,1,0),(0,2,1),由得,令x21,則y21,z22,n2(1,1,2)是平面BCE的一個法向量則cosn1,n2,又二面角BCED為鈍角,二面角BCED的余弦值為.