（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案

第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考情考向分析1.導(dǎo)數(shù)的意義和運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的一個(gè)熱點(diǎn).2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)問題是高考的常見題型熱點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率，曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率kf(x0)，相應(yīng)的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的不同例1(1)(2018·全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()Ay2x ByxCy2x Dyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.故選D.方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，f(x)3x22(a1)xa為偶函數(shù)，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.故選D.(2)若直線ykxb是曲線yln x1的切線，也是曲線yln(x2)的切線，則實(shí)數(shù)b_.答案ln 2解析設(shè)直線ykxb與曲線yln x1和曲線yln(x2)的切點(diǎn)分別為(x1，ln x11)，(x2，ln(x22)直線ykxb是曲線yln x1的切線，也是曲線yln(x2)的切線，即x1x22.切線方程為y(ln x11)(xx1)，即為yln x1或yln(x22)(xx2)，即為yln x1，0，則x12，bln 2.思維升華(1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解跟蹤演練1(1)(2018·全國(guó))曲線y2ln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_答案2xy0解析y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切線的幾何意義得切線斜率為2，又切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，切線方程為y2x，即2xy0.(2)若函數(shù)f(x)ln x(x>0)與函數(shù)g(x)x22xa(x<0)有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B(1，)C(1，) D(ln 2，)答案A解析設(shè)公切線與函數(shù)f(x)ln x切于點(diǎn)A(x1，ln x1)(x1>0)，則切線方程為yln x1(xx1)設(shè)公切線與函數(shù)g(x)x22xa切于點(diǎn)B(x2，x2x2a)(x2<0)，則切線方程為y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x2<0<x1，0<<2.又aln x121ln 21，令t，0<t<2，at2tln t.設(shè)h(t)t2tln t(0<t<2)，則h(t)t1<0，h(t)在(0,2)上為減函數(shù)，則h(t)>h(2)ln 21ln ，a.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1f(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，如函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)2exkx2.(1)討論函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的單調(diào)性；(2)若存在正數(shù)m，對(duì)于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|>2x恒成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得f(x)2exk，x(0，)，因?yàn)閤>0，所以2ex>2.當(dāng)k2時(shí)，f(x)>0，此時(shí)f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)k>2時(shí)，由f(x)>0得x>ln，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；由f(x)<0得0<x<ln，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減綜上，當(dāng)k2時(shí)，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)k>2時(shí)，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增(2)當(dāng)0<k2時(shí)，由(1)可得f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，且f(0)0，所以對(duì)于任意的x(0，m)，f(x)>0.這時(shí)|f(x)|>2x可化為f(x)>2x，即2ex(k2)x2>0.設(shè)g(x)2ex(k2)x2，則g(x)2ex(k2)，令g(x)0，得xln>0，所以g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，且g(0)0，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，不符合題意當(dāng)k>2時(shí)，由(1)可得f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，且f(0)0，所以存在x0>0，使得對(duì)于任意的x(0，x0)都有f(x)<0.這時(shí)|f(x)|>2x可化為f(x)>2x，即2exx2>0.設(shè)h(x)2exx2，則h(x)2ex.()若2<k4，則h(x)<0在(0，)上恒成立，這時(shí)h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，且h(0)0，所以對(duì)于任意的x(0，x0)都有h(x)<0，不符合題意()若k>4，令h(x)>0，得x<ln，這時(shí)h(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，且h(0)0，所以對(duì)于任意的x，都有h(x)>0，此時(shí)取mmin，則對(duì)于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|>2x恒成立綜上可得k的取值范圍為.思維升華利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)>0或f(x)<0即可；若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來(lái)求解跟蹤演練2(1)已知f(x)ln xx22ax在(0，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1 B1 C(0,1 D1,0)答案B解析f(x)ln xx22ax，f(x)2(xa)ln x，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)0在(0，)上恒成立，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0滿足題意，當(dāng)x>1時(shí)，ln x>0，要使f(x)0恒成立，則xa0恒成立xa>1a，1a0，解得a1，當(dāng)0<x<1時(shí)，ln x<0，要使f(x)0恒成立，則xa0恒成立，xa<1a，1a0，解得a1.綜上所述，a1.(2)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)(函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)滿足f f(x1)0，e3f(2 018)1，若f(x)>f(x)，則關(guān)于x的不等式f(x2)>的解集為()A(，3) B(3，)C(，0) D(0，)答案B解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)>f(x)f(x)，即f(x)f(x)>0，設(shè)g(x)exf(x)，則ex>0，g(x)在(，)上單調(diào)遞增，由f f(x1)0，得f(x)f 0，f f0，相減可得f(x)f，f(x)的周期為3，e3fe3f(2)1，g(2)e2f(2)，f(x2)>，結(jié)合f(x)的周期為3可化為ex1f(x1)>e2f(2)，g(x1)>g(2)，x1>2，x>3，不等式的解集為，故選B.熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值1若在x0附近左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得例3(2018·北京)設(shè)函數(shù)f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x2處取得極小值，求a的取值范圍解(1)因?yàn)閒(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由題設(shè)知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此時(shí)f(1)3e0.所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a>，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在x2處取得極小值若a，則當(dāng)x(0,2)時(shí)，x2<0，ax1x1<0，所以f(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍是.思維升華(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來(lái)求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值跟蹤演練3(2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln(xb)a(a，bR)(1)若yf(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為yx3，求a，b的值；(2)當(dāng)b0時(shí)，f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x都成立，求a的取值范圍解(1)由f(x)ln(xb)a，得f(x)，所以解得(2)當(dāng)b0時(shí)，f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x都成立，即ln xa恒成立，所以aln x，則a(ln x)max.令g(x)ln x，則g(x).令m(x)x，則m(x)1，令m(x)>0，得<x<1，令m(x)<0，得x>1，所以m(x)在上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則m(x)maxm(1)0，所以g(x)0，即g(x)在定義域上單調(diào)遞減，所以g(x)maxgln，即aln.真題體驗(yàn)1(2017·浙江改編)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是_(填序號(hào))答案解析觀察導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察圖象可知，排除.如圖所示，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，從左到右依次設(shè)為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點(diǎn)，x2是極大值點(diǎn)，且x2>0，故正確2(2017·全國(guó)改編)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)·ex1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為_答案1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1，則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex1>0恒成立，得當(dāng)x2或x1時(shí)，f(x)0，且當(dāng)x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1.3(2017·山東改編)若函數(shù)exf(x)(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是_(填序號(hào))f(x)2x; f(x)x2；f(x)3x; f(x)cos x.答案解析若f(x)具有性質(zhì)M，則exf(x)exf(x)f(x)>0在f(x)的定義域上恒成立，即f(x)f(x)>0在f(x)的定義域上恒成立對(duì)于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)>0，符合題意經(jīng)驗(yàn)證，均不符合題意4(2017·全國(guó))曲線yx2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k1，切線方程為y2x1，即xy10.押題預(yù)測(cè)1設(shè)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若yf(x)的圖象在點(diǎn)P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押題依據(jù)曲線的切線問題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，是高考考查的熱點(diǎn)，對(duì)于“在某一點(diǎn)處的切線”問題，也是易錯(cuò)易混點(diǎn)答案A解析依題意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D2或押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵極值點(diǎn)、極值的求法是高考的熱點(diǎn)答案A解析由題意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.3已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值為_押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問題是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別答案2解析函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在(1,2)上恒成立，得2x2a在(1,2)上恒成立，a2，a2.4已知函數(shù)f(x)x，g(x)x22ax4，若對(duì)任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_押題依據(jù)不等式恒成立或有解問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)答案解析由于f(x)1>0，因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a成立，令h(x)，則要使ah(x)在1,2上能成立，只需使ah(x)min，又函數(shù)h(x)在1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)minh(2)，故只需a.A組專題通關(guān)1(2018·寧波月考)已知f(x)x2cos x，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(x)的圖象是()答案A解析由題意得f(x)sin x，易得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B，D；設(shè)g(x)sin x，則g(x)cos x，易得當(dāng)x時(shí)，g(x)cos x<0，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，排除C，故選A.2已知函數(shù)f(x)2kln xkx，若x2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C(0,2 D.答案A解析由題意得f(x)k，f(2)0，令g(x)exkx2，則g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，令g(x)0，得k，令h(x)，則h(x)，所以h(x)的最小值為h(2)，無(wú)最大值，所以k，故選A.3已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，滿足f(x)<f(x)，且f(0)，則不等式f(x)ex<0的解集為()A. B(0，)C. D(，0)答案B解析構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x)，因?yàn)閒(x)<f(x)，所以g(x)<0，故函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，又f(0)，所以g(0)，則不等式f(x)ex<0可化為<，即g(x)<g(0)，所以x>0，即所求不等式的解集為(0，)4(2018·浙江杭州二中月考)若函數(shù)f(x)bx3ax2x1存在極值點(diǎn)，則關(guān)于a，b的描述正確的是()Aab有最大值Bab有最小值Ca2b2有最小值1Da2b2無(wú)最大值也無(wú)最小值答案D解析由題意得f(x)bx22ax，則由函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)得導(dǎo)函數(shù)f(x)bx22ax存在穿過(guò)型零點(diǎn)，則(2a)24b>0，化簡(jiǎn)得a2b2>1，所以a2b2無(wú)最大值也無(wú)最小值，故選D.5設(shè)過(guò)曲線f(x)exx2a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在過(guò)曲線g(x)(12x)2sin x上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A1,1 B2,2C1,2 D2,1答案C解析設(shè)yf(x)的切點(diǎn)為(x1，y1)，yg(x)的切點(diǎn)為(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)a2cos x，由題意得，對(duì)任意x1R，總存在x2使得(1)(a2cos x2)1，2cos x2a對(duì)任意x1R均有解x2，故2a2對(duì)任意x1R恒成立，則a2a2對(duì)任意x1R恒成立又(0,1)，a20且2a1，1a2.6已知f(x)xln x，則f(1)_.答案解析因?yàn)閒(x)1ln x，令x1，得f(1)1f(1)，解得f(1).7(2018·全國(guó))曲線y(ax1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為2，則a_.答案3解析y(axa1)ex，當(dāng)x0時(shí)，ya1，a12，得a3.8已知函數(shù)f(x)2ln x和直線l：2xy60，若點(diǎn)P是函數(shù)f(x)圖象上的一點(diǎn)，則點(diǎn) P到直線l的距離的最小值為_答案解析設(shè)直線y2xm 與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)f(x)，則f(x0)2，解得x01，P(1,0)則點(diǎn)P到直線2xy60的距離d，即為點(diǎn)P到直線2xy60的距離的最小值9已知函數(shù)f(x) (aR)的值域是，則常數(shù)a_，m_.答案1解析由題意得f(x)，即ax2x對(duì)任意xR恒成立，且存在xR使得等號(hào)成立，所以amax，又因?yàn)閤2x(x2)2，所以amax，所以f(x)，則f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(，2)和時(shí)，f(x)<0，又x時(shí)，f(x)0，所以易知，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值f 1，即m1.10已知函數(shù)f(x)a.(1)當(dāng)a0時(shí)，試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)a，.當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于x(0，)，exax>0恒成立，所以由f(x)>0，得x>1；由f(x)<0，得0<x<1.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(2)若f(x)在(0,1)內(nèi)有極值，則f(x)0在(0,1)內(nèi)有解令f(x)0，即exax0，即a.設(shè)g(x)，x(0,1)，所以 g(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)<0恒成立，所以g(x)單調(diào)遞減又因?yàn)間(1)e，又當(dāng)x0時(shí)，g(x)，即g(x)在(0,1)上的值域?yàn)?e，)，所以當(dāng)a>e時(shí)，f(x)0 有解設(shè)H(x)exax，則 H(x)exa<0，x(0,1)，所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞減因?yàn)镠(0)1>0，H(1)ea<0，所以H(x)exax0在(0,1)上有唯一解x0.當(dāng)x變化時(shí)，H(x)，f(x)，f(x)變化情況如表所示：x(0，x0)x0(x0,1)H(x)0f(x)0f(x)極小值所以當(dāng)a>e時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一當(dāng)ae時(shí)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)單調(diào)遞減，不成立綜上，a的取值范圍為(e，)11已知函數(shù)f(x)xaln xb，a，b為實(shí)數(shù)(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y2x3，求a，b的值；(2)若|f(x)|<對(duì)x2,3恒成立，求a的取值范圍解(1)由已知，得f(x)1，且由題設(shè)得f(1)2，f(1)5，從而得1a2且1b5，解得a1，b4.(2)根據(jù)題設(shè)可知，命題等價(jià)于當(dāng)x2,3時(shí)，<恒成立|xa|<恒成立<ax<恒成立x<a<x恒成立(*)設(shè)g(x)x，x2,3，h(x)x，x2,3，則(*)式即為g(x)max<a<h(x)min，而當(dāng)x2,3時(shí)，g(x)x和h(x)x均為增函數(shù)，則g(x)maxg(3)2，h(x)minh(2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.B組能力提高12已知函數(shù)f(x)sin xxcos x，現(xiàn)有下列結(jié)論：當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0；當(dāng)0<<<時(shí)，·sin >·sin ；若n<<m對(duì)x恒成立，則mn的最小值等于1；已知k，當(dāng)xi時(shí)，滿足k的xi的個(gè)數(shù)記為n，則n的所有可能取值構(gòu)成的集合為0,1,2,3其中正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析當(dāng)x0，時(shí)，f(x)xsin x0，函數(shù)f(x)在0，上為增函數(shù)，所以f(x)f(0)0，正確；令g(x)，由知，當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上為減函數(shù)，所以g>g，即>，所以·sin <·sin ，錯(cuò)誤；由可知g(x)在上為減函數(shù)，所以g(x)>g，則n，令(x)sin xx，當(dāng)x時(shí)，(x)cos x1<0，所以(x)在上為減函數(shù)，所以(x)sin xx<(0)0，所以<1，所以m1，則minmminnmax1，正確；令h(x)|sin x|，k表示點(diǎn)(xi，h(xi)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，結(jié)合圖象(圖略)可知，當(dāng)k，xi(0,2)時(shí)，n的所有可能取值有0,1,2,3，正確13已知函數(shù)f(x)xln x，g(x)x3x23，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln x，f(1)1，f(x)ln x1，f(1)2，從而曲線yf(x)在x1處的切線方程為y2(x1)1，即y2x3.(2)對(duì)任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，從而在區(qū)間上，f(x)ming(x)max.又g(x)x3x23，g(x)3x22xx(3x2)，從而函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，g(x)maxmax1.又f(1)a，則a1.下面證明當(dāng)a1時(shí)，xln x1在上恒成立又f(x)xln xxln x，即證xln x1.令h(x)xln x，x，則h(x)ln x1，h(1)0.當(dāng)x時(shí)，h(x)0，當(dāng)x1,2時(shí)，h(x)0，從而yh(x)在x上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，h(x)minh(1)1，從而當(dāng)a1時(shí)，xln x1在上恒成立，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)14已知函數(shù)f(x)xln x(m>0)，g(x)ln x2.(1)當(dāng)m1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意的x11，e，總存在x21，e，使·1，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)xln x，則f(x)ln x1.因?yàn)閒(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(1)0，所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)(2)由題意知，令h(x)ln x，(x).考慮函數(shù)(x)，因?yàn)?x)>0在1，e上恒成立，所以函數(shù)(x)在1，e上單調(diào)遞增，故(x).又h(x)·(x)1，所以h(x)，即ln xe在1，e上恒成立，即x2ln xmx2(eln x)在1，e上恒成立設(shè)p(x)x2ln x，則p(x)2xln x0在1，e上恒成立，所以p(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以mp(x)maxp(1).設(shè)q(x)x2(eln x)，則q(x)x(2e12ln x)x(2e12ln e)>0在1，e上恒成立，所以q(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以mq(x)minq(1)e.綜上所述，m的取值范圍為.15已知函數(shù)f(x)kln x，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸垂直(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意x(0,1)(1，e)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，都有>(a>0)恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)kln x，定義域?yàn)?0，)，f(x)(x>0)由題意知f(1)k10，解得k1，f(x)(x>0)，由f(x)>0，解得x>1；由f(x)<0，解得0<x<1，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(2)由(1)知f(x)ln x1，.方法一設(shè)m(x)，則m(x)，令n(x)x1xln x，則n(x)1ln x1ln x，當(dāng)x>1時(shí)，n(x)<0，n(x)在1，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，e)時(shí)，n(x)<n(1)0，當(dāng)x(1，e)時(shí)，m(x)<0，m(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，e)時(shí)，m(x)>m(e)，由題意知，又a>0，ae1.下面證明：當(dāng)ae1,0<x<1時(shí)，>成立，即證aln x<x1成立，令(x)aln xx1，則(x)1(0<x<1)，由ae1,0<x<1，得(x)>0，故(x)在(0,1)上是增函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)<(1)0，aln x<x1成立，即>成立，故正數(shù)a的取值范圍是.方法二當(dāng)x(0,1)時(shí)，>(a>0)可化為aln xx1<0(a>0)，令g(x)aln xx1(a>0)，則問題轉(zhuǎn)化為證明g(x)<0對(duì)任意x(0,1)恒成立又g(x)1(a>0)，令g(x)>0，得0<x<a，令g(x)<0，得x>a，函數(shù)g(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減()當(dāng)0<a<1時(shí)，下面驗(yàn)證g(a)aln aa1>0(a(0,1)設(shè)T(x)xln xx1(0<x<1)，則T(x)ln x11ln x<0(0<x<1)所以T(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以T(x)>T(1)0.即g(a)>0(a(0,1)故此時(shí)不滿足g(x)<0對(duì)任意x(0,1)恒成立；()當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增故g(x)<g(1)0對(duì)任意x(0,1)恒成立，故a1符合題意綜合()()，得a1.當(dāng)x(1，e)時(shí)，>(a>0)，令h(x)aln xx1(a>0)，則問題轉(zhuǎn)化為證明h(x)>0對(duì)任意x(1，e)恒成立又h(x)1(a>0)，令h(x)>0得 0<x<a；令h(x)<0，得x>a，函數(shù)h(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減()當(dāng)ae時(shí)，h(x)在(1，e)上是增函數(shù)，所以h(x)>h(1)0，()當(dāng)1<a<e時(shí)，h(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(a，e)上單調(diào)遞減，所以只需h(e)0，即ae1，()當(dāng)0<a1時(shí)，h(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，則h(x)<h(1)0，不符合題意綜合()()()可得ae1.由得正數(shù)a的取值范圍是.22