（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案

第4講數(shù)列求和1基本數(shù)列求和方法(1)等差數(shù)列求和公式：Snna1d(2)等比數(shù)列求和公式：Sn2一些常見數(shù)列的前n項和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n3數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的(2)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和(4)分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減(5)并項求和法一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)當(dāng)n2時，.()(2)利用倒序相加法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()(3)若Sna2a23a3nan，當(dāng)a0，且a1時，求Sn的值可用錯位相減法求得()答案：(1)×(2)(3)教材衍化1(必修5P61A組T5改編)一個球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，經(jīng)過的路程是()A100200(129)B100100(129)C200(129) D100(129)解析：選A.第10次著地時，經(jīng)過的路程為1002(5025100×29)1002×100×(212229)100200×100200(129)2(必修5P47B組T4改編)在數(shù)列an中，an，若an的前n項和為，則項數(shù)n為()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：選D.an，Sn11，所以n2 017.故選D.3(必修5P61A組T4(3)改編)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析：設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn.答案：易錯糾偏(1)不會分組致誤；(2)錯位相減法運用不熟練出錯1已知數(shù)列：1，2，3，則其前n項和關(guān)于n的表達式為_解析：設(shè)所求的數(shù)列前n項和為Sn，則Sn(123n)1.答案：12已知數(shù)列an的前n項和為Sn且ann·2n，則Sn_解析：Sn1×22×223×23n×2n，所以2Sn1×222×233×24n×2n1，得Sn222232nn×2n1n×2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12分組轉(zhuǎn)化法求和 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和【解】(1)由題意得則又當(dāng)n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21.當(dāng)n3時，由于3n1>n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23.當(dāng)n3時，Tn3，所以Tn分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求an的前n項和；(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和 1數(shù)列an的通項公式an2nn，前n項之和為Sn，則Sn_解析：Sn21222n(12n)2n1.答案：2n12(2020·麗水模擬)在等比數(shù)列an中，公比q1，等差數(shù)列bn滿足b1a13，b4a2，b13a3.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)記cn(1)nbnan，求數(shù)列cn的前2n項和S2n.解：(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.則有解得或(舍去)，所以an3n，bn2n1.(2)由(1)知cn(1)n(2n1)3n，則S2n(3323332n)(3)5(7)9(4n1)(4n1)(53)(97)(4n14n1)2n.錯位相減法求和 已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an與bn的通項公式；(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn，求Tn.【解】(1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由題意知當(dāng)n1時，b1b21，故b22.當(dāng)n2時，bnbn1bn，整理得，所以bnn.當(dāng)n1時，也符合bnn，綜上bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn·2n，因此Tn22×223×23n×2n，2Tn222×233×24n×2n1，所以Tn2Tn222232nn×2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)錯位相減法求和策略(1)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an·bn的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 1數(shù)列，的前10項之和為_解析：S10，所以S10.得S10，所以S10.答案：2已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1 a2 6，a1a2 a3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項和Tn.解：(1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2.又an>0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn，所以Tn5.裂項相消法求和(高頻考點)裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題第二問，難度適中主要命題角度有：(1)形如an型；(2)形如an型；(3)形如an(a>0，a1)型角度一形如an型 (2020·舟山市普陀三中高三期中)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，12.(1)求an的通項公式；(2)若bn，bn的前n項和為Tn，求證：Tn<.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S22a1d，S33a13d，S44a16d，因為12，所以3a13d12，即33d12，解得d3，所以an13(n1)3n2.(2)證明：bn，所以Tn，所以Tn<.角度二形如an型 (2020·臺州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(4，2)，令an，nN*.記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2 018()A.1 B.1C.1 D. 1【解析】由f(4)2可得42，解得.則f(x)x.所以an，所以S2 018a1a2a3a2 018()()()( )()1.【答案】C角度三形如an(a>0，a1)型 (2020·杭州市高三期末考試)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若Sn2ann，則_【解析】因為Sn2ann，所以n2時，anSnSn12ann2an1(n1)，所以an2an11，化為：an12(an11)，n1時，a12a11，解得a11.所以數(shù)列an1是等比數(shù)列，首項為2，公比為2.所an12n，即an2n1，所以.所以1.【答案】利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；(2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，() 已知等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a13，前n項和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an與bn的通項公式；(2)求和：.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，因為等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，即an>0，所以d>0，an3(n1)d，bnqn1，依題意得，解得，或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)因為Sn35(2n1)n(n2)，所以，所以(1)(1).基礎(chǔ)題組練1若數(shù)列an的通項公式是an(1)n·(3n2)，則a1a2a12()A18 B15C18 D15解析：選A.記bn3n2，則數(shù)列bn是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1a2a11a12(b1)b2(b11)b12(b2b1)(b4b3)(b12b11)6×318.2已知an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項和為()A.或5 B.或5C. D.解析：選C.設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意可知q1，且，解得q2，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得S5.3數(shù)列an的通項公式是an，若前n項和為10，則項數(shù)n為()A120 B99C11 D121解析：選A.an，所以a1a2an(1)()()110.即11，所以n1121，n120.4設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a4a832，則S11的最小值為()A22 B44C22 D44解析：選B.因為數(shù)列an為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a4a828，S11(a4a8)×844，故S11的最小值為44，當(dāng)且僅當(dāng)a4a84時取等號5設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1，a4a2a8，若log2a1log2a2log2an，則數(shù)列bn的前10項和為()A B.C D.解析：選A.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a4a2a8，所以(a1q3)24a1q·a1q7，即4q21，所以q或q(舍)，所以an2n，所以log2anlog22nn，所以(123n)，所以bn2，所以數(shù)列bn的前10項和為22.6(2020·杭州八校聯(lián)考)在各項都為正數(shù)的數(shù)列an中，首項a12，且點(a，a)在直線x9y0上，則數(shù)列an的前n項和Sn等于()A3n1 B.C. D.解析：選A.由點(a，a)在直線x9y0上，得a9a0，即(an3an1)(an3an1)0，又數(shù)列an各項均為正數(shù)，且a12，所以an3an1>0，所以an3an10，即3，所以數(shù)列an是首項a12，公比q3的等比數(shù)列，其前n項和Sn3n1，故選A.7在等差數(shù)列an中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項和S1036，前18項和S1812，則數(shù)列|an|的前18項和T18的值是_解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，所以T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.答案：608設(shè)函數(shù)f(x)log2，定義Snfff，其中nN*，且n2，則Sn_解析：因為f(x)f(1x)log2log21log211，所以2Snffn1.所以Sn.答案：9數(shù)列的前n項和為，則n的值為_解析：由題意得1.所以n99.答案：9910(2020·溫州中學(xué)高三模考)已知數(shù)列an滿足：a1，an1aan，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則的值等于_解析：因為an1aan，故an1ana>0，即數(shù)列an是遞增數(shù)列，由an1aan可得an1an(an1)，所以，從而，所以1<<2，故1.答案：111(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1，22，a2，24，an，22n，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，若Sk30(2k1)，求正整數(shù)k的最小值解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q222，又由題意q0，故q2，從而an22n1，即數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)由(1)知a12，數(shù)列an是以22為公比的等比數(shù)列，故Sn(22n1)因此不等式Sk30(2k1)可化為(22k1)30(2k1)，即(2k1)(2k1)30(2k1)，因為2k10，所以2k46，即klog246，又5log2466，所以正整數(shù)k的最小值為6.12(2020·溫州市普通高中?？?已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1，2Sn(n1)an1(n2)(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn(nN*)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：Tn<(nN*)解：(1)當(dāng)n2時，2S23a21，解得a22.當(dāng)n3時，2S34a31，解得a33.當(dāng)n3時，2Sn(n1)an1，2Sn1nan11，以上兩式相減，得2an(n1)annan1，所以，所以1，所以an.(2)證明：bn，當(dāng)n2時，bn<，所以Tn<.綜合題組練1已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4>0 Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0 Da1d<0，dS4>0解析：選B.因為 a3，a4，a8成等比數(shù)列，所以aa3a8，所以(a13d)2(a12d)(a17d)，展開整理，得3a1d5d2，即a1dd2.因為 d0，所以a1d0.因為 Snna1d，所以S44a16d，dS44a1d6d2d2<0.2在等差數(shù)列an中，a25，a621，記數(shù)列的前n項和為Sn，若S2n1Sn對任意的nN*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為()A3 B4C5 D6解析：選C.在等差數(shù)列an中，因為a25，a621，所以解得a11，d4，所以.因為>0，所以數(shù)列(nN*)是遞減數(shù)列，數(shù)列(nN*)的最大項為S3S1，所以，m.又m是正整數(shù)，所以m的最小值是5.3設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150，則d的取值范圍是_解析：由S5S6150，得·(6a1d)150.整理可得2a9a1d10d210.因為a1，d為實數(shù)，所以(9d)24×2×(10d21)0，解得d2或d2.答案：d2或d24(2020·臺州診斷考試)已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且當(dāng)n2時，有1成立，則S2 017_解析：當(dāng)n2時，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2 017.答案：5(2020·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列an中，a12，an12an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項的和為Sn，試求數(shù)列S2nSn的最小值解：(1)由條件an12an得2·，又a12，所以2，因此數(shù)列構(gòu)成首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而2·2n12n，因此，ann·2n.(2)由(1)得bn，設(shè)cnS2nSn，則cn，所以cn1，從而cn1cn>0，因此數(shù)列cn是單調(diào)遞增的，所以cnminc1.6(2020·嚴州階段測試)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a74，a192a9，數(shù)列bn的前n項和為Tn，滿足42an1Tn(a51)(nN*)(1)是否存在非零實數(shù)，使得數(shù)列bn為等比數(shù)列？并說明理由；(2)已知對于nN*，不等式M恒成立，求實數(shù)M的最小值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.因為所以解得a11，d，所以數(shù)列an的通項公式為an.因為a53，42an1Tn(a51)，所以4nTn2，Tn4n.當(dāng)n1時，b1；當(dāng)n2時，bnTnTn14n4n14n1.所以bn14n4bn(n2)，若數(shù)列bn是等比數(shù)列，則有b24b1，而b2，所以2與b24b1矛盾故不存在非零實數(shù)，使得數(shù)列bn為等比數(shù)列(2)由(1)知Sn，所以，從而，所以M ，故實數(shù)M的最小值為.17