（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第2課時 平面與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2

第2課時平面與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解面面垂直的定義，并能畫出面面垂直的圖形.2.掌握面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能進(jìn)行空間垂直的相互轉(zhuǎn)化.3.掌握面面垂直的證明方法，并能在幾何體中應(yīng)用知識點一平面與平面垂直的定義1條件：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直2結(jié)論：兩個平面互相垂直3記法：平面，互相垂直，記作.知識點二平面與平面垂直的判定定理思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時鉛錘線與地面什么關(guān)系？答案都是垂直梳理平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直圖形語言符號語言a，a知識點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直梳理文字語言圖形語言符號語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，CD，BA，BACD，B為垂足BA1若l，則過l有無數(shù)個平面與垂直()2若平面平面，任取直線l，則必有l(wèi).(×)3已知兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面(×)類型一面面垂直的判定例1如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上，求證：平面AEC平面PDB.證明設(shè)ACBDO，連接OE，ACBD，ACPD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.反思與感悟應(yīng)用判定定理證明平面與平面垂直的基本步驟跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90°，ACAA1，D是棱AA1的中點證明：平面BDC1平面BDC.證明由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.類型二面面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)(3)直線必須垂直于它們的交線跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是DAB60°且邊長為a的菱形側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點求證：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.證明(1)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又四邊形ABCD是菱形且DAB60°，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖所示，ABC為正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分別是AE，AC的中點，求證：(1)DEDA；(2)平面BDMN平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.解(1)取CE的中點F，連接DF，易知DFBC，因為CE平面ABC，所以CEBC，所以CEDF.因為BDCE，所以BD平面ABC，所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中，因為EFCEDB，DFBCAB，所以RtEFDRtDBA，所以DEDA.(2)因為EC平面ABC，所以ECBN，因為ABC為正三角形，所以BNAC.因為ECACC，所以BN平面ECA.又因為BN平面BDMN，所以平面BDMN平面ECA.(3)因為M，N分別是AE，AC的中點，所以MN綊CF綊BD，所以四邊形MNBD是平行四邊形，所以DMBN，由(2)知BN平面ECA，所以DM平面ECA.又因為DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.反思與感悟在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四邊形ABED中，由ABAD可得，ABED為矩形，故有BECD.由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD.再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EFPD，CDEF.而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD平面BEF.由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.1下列四個命題垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；垂直于同一個平面的兩條直線相互平行；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行；垂直于同一個平面的兩個平面相互平行其中錯誤的命題有()A1個 B2個 C3個 D4個答案B解析垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，不正確，如正方體的一個頂角的三個邊就不成立；垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；垂直于同一個平面的兩個平面相互平行，不正確，如正方體相鄰的三個面就不成立故選B.2如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B它們兩兩垂直C平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A.3如圖，在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC內(nèi)的正投影H必在()A直線AB上 B直線BC上C直線AC上 DABC內(nèi)部答案A解析在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC內(nèi)的射影H必在AB上故選A.4如圖所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，則EF_.答案6解析AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.又AFDE，四邊形AFED為平行四邊形，故EFAD6.5如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC平面ABCD，E為SA的中點求證：平面EBD平面ABCD.證明連接AC與BD交于O點，連接OE.O為AC的中點，E為SA的中點，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：2運用平面垂直的性質(zhì)定理時，一般需要作鋪助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直一、選擇題1設(shè)，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m，則下列說法正確的是()A若l，則 B若，則lmC若l，則 D若，則lm答案A解析l，l，(面面垂直的判定定理)，故A正確2如果直線l，m與平面，滿足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且答案A解析B錯，有可能m與相交；C錯，可能m與相交；D錯，有可能與相交3下列命題中正確的是()A平面和分別過兩條互相垂直的直線，則B若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線，則C若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則D若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則答案C解析當(dāng)平面和分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面和有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確4.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，則圖中互相垂直的平面有()A1對B2對C3對D5對答案D解析DAAB，DAPA，DA平面PAB.同理BC平面PAB，又AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5對5如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，從而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.6下列命題中錯誤的是()A如果，那么內(nèi)所有直線都垂直于平面B如果，那么內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果不垂直于平面，那么內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果，l，那么l答案A解析若，則內(nèi)必有垂直于的直線，并非內(nèi)所有直線都垂直于，A錯7過兩點與一個已知平面垂直的平面()A有且只有一個 B有無數(shù)個C有且只有一個或無數(shù)個 D可能不存在答案C解析設(shè)兩點為A，B，平面為，若直線AB，則過A，B與垂直的平面有無數(shù)個；若直線AB與不垂直，即直線AB與平行、相交但不垂直或在平面內(nèi)，均存在唯一平面垂直于已知平面8在正四面體P­ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析如圖所示，BCDF，BC平面PDF，A正確由BCPE，BCAE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正確平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正確二、填空題9.如圖，A，B，C，D為空間四點，在ABC中，AB2，ACBC，等邊三角形ADB以AB為軸運動，當(dāng)平面ADB平面ABC時，則CD_.答案2解析如圖，取AB的中點E，連接DE，CE，因為ADB是等邊三角形，所以DEAB.當(dāng)平面ADB平面ABC時，因為平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC.又CE平面ABC可知DECE.由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.10如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點若CD2，平面ABCD平面DCEF，則線段MN的長為_答案解析取CD的中點G，連接MG，NG，因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MGCD，MG2，NG.因為平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.11.如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答題12.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1DB1C1.求證：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.證明(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點知EFBC.因為EF平面ABC，BC平面ABC.所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因為A1DB1C1，CC1B1C1C1，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.13.如圖，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E點為垂足(1)求證：PA平面ABC；(2)當(dāng)E為PBC的垂心時，求證：ABC是直角三角形證明(1)在ABC內(nèi)取一點D，作DFAC于點F，因為平面PAC平面ABC，且交線為AC，所以DF平面PAC，又PA平面PAC，所以DFAP.作DGAB于點G，同理可證DGAP.因為DG、DF都在平面ABC內(nèi)，且DGDFD，所以PA平面ABC.(2)連接BE并延長，交PC于點H.因為E是PBC的垂心，所以PCBE.又已知AE是平面PBC的垂線，所以PCAE.又BEAEE，所以PC平面ABE.因為AB平面ABE，所以PCAB.又因為PA平面ABC，AB平面ABC，所以PAAB.又PCPAP，所以AB平面PAC.又AC平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形四、探究與拓展14如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點有以下四個命題：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號)答案解析因為PA平面MOB，所以不正確；因為MOPA，而且MO平面PAC，所以正確；OC不垂直于AC，所以不正確；因為BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC，所以正確15.如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明理由(1)證明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)證明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又E為AB的中點，EF為PAB的中位線，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.16