2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 分析法的應用舉例

2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 分析法的應用舉例 立體幾何的證明是很多同學感到頭疼的問題．我們做題時，若能根據(jù)題目的特點選用合理的證明方法，由常常能使問題較容易的得以解決．分析法是立幾證明過程中經(jīng)常用到的方法，即：首先從結(jié)論入手，用分析的方法，通過等價推理，尋求最終解題所需要的條件；然后再在分析的基礎上，用綜合法把證明過程條理清楚地表現(xiàn)出來． 下面我們用分析法來分析兩道立幾證明題． 例1 如圖1，在四面體中， ，， 求證：平面平面． 分析：要證面面垂直需通過線面垂直來實現(xiàn)，可是哪一條直線是我們所需要的與平面垂直的直線呢？ 我們假設兩平面垂直已經(jīng)知道，則根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，在平面內(nèi)作，則平面，所以即為我們所要尋找的直線． 要證明平面，除了已知的之外，還需要在平面內(nèi)找一條直線與垂直，哪一條呢？ 假設已知知道平面，則與平面內(nèi)的任意直線均垂直，即必有，但這兩個垂直的證明較難入手，還有其他的直線嗎？ 連結(jié)呢？假設已經(jīng)知道平面，則必有．通過計算可得到，原題得證． 證明：設的中點為，連結(jié)，因為，所以； 設，因為， 所以，所以，即， 又已知，所以平面， 又平面，所以平面平面． 例2 如圖，在長方體中， 證明：平面平面． 分析：要證明兩平面平行，需在一平面內(nèi)尋找兩條相交直線與另一平面平行． 假設兩平面平行已知，則一個平面內(nèi)的任意直線均與另一個平面平行，所以有均與平面平行，選擇任意兩條均可，不妨選擇． 要想證明與平面平行，需在平面內(nèi)尋找兩條直線分別與平行，假設與平面平行已知，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過的平面與平面相交所得的交線與平行；過的平面與平面相交所得的交線與平行．即為所要尋找的直線． 從而易知分別與平行，原題得證． 證明：因為為長方體，所以有，即四邊形為平行四邊形，從而有，又已知平面平面，進而有平面；同理有，從而有平面；又已知，所以有平面平面． 從上面的兩例可以看出，分析法的基本思路是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件．同學們可以在學習過程中，沿著這樣的解題思路，親自體驗一下分析法在立幾證明中的妙用．