2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文A組小題提速練一、選擇題1已知雙曲線1與直線y2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，)B(1，C(，) D，)解析：雙曲線的一條漸近線方程為yx，則由題意得>2，e>.答案：C2(2018·河南八市聯(lián)考)已知點(diǎn)M(3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動點(diǎn)，則|MQ|QF|的最小值是()A. B3C. D2解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x，依據(jù)拋物線的定義，得|QM|QF|xQ3|，選C.答案：C3已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m|PC|的最小值為()A5 B.C.2 D4解析：由題得，圓C的圓心坐標(biāo)為(3，4)，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)根據(jù)拋物線的定義，得m|PC|PF|PC|FC|.答案：B4若以橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為()A1 B.C2 D2解析：設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，則使三角形面積最大時，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)，所以S×2c×bbc1.所以a22.所以a.所以長軸長2a2，故選D.答案：D5以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4C6 D8解析：設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.答案：B6(2018·贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y22x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)解析：過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|MA|MN|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時，|MF|MA|取得最小值，此時M(2,2)答案：D7(2018·湖南師大附中月考)設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線與拋物線y2x的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，若x0>1，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()A. B(，)C(1，) D.解析：聯(lián)立消去y得x2x，由x0>1知<1，即<1，故e2<2，又e>1，所以1<e<，故選C.答案：C8直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|AF|·|OB|，即bca·，所以e.故選B.答案：B9若拋物線y24x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OFP的面積為()A. B1C. D2解析：設(shè)P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2，xP12，xP1，代入拋物線方程得|yP|2，OFP的面積為S·|OF|·|yP|×1×21.答案：B10已知圓：C1(x4)2y2169，圓C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.答案：D11已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得(b2)x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選擇D.答案：D12若雙曲線1(a>0，b>0)的離心率e，點(diǎn)A(0,1)與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是，則該雙曲線的方程為()A.y21 B.y21C.y21 D.1解析：由c，知，解得a2b，所以雙曲線的方程為1，即為x24y24b2.設(shè)B(x，y)是雙曲線上任意一點(diǎn)，故|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)2524b2，當(dāng)y時，|AB|取得最小值 ，解得b1，所以該雙曲線的方程為y21.答案：C二、填空題13若橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可知b2a2c23.橢圓方程為1或1.答案：1或114雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形OABC的邊長為2，則a_.解析：雙曲線1的漸近線方程為y±x，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性可得1.又正方形OABC的邊長為2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：215已知直線l：ykxt與圓：x2(y1)21相切，且與拋物線C：x24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析：因?yàn)橹本€l與圓相切，所以1k2t22t.再把直線l的方程代入拋物線方程并整理得x24kx4t0，于是由16k216t16(t22t)16t>0，得t>0或t<3.答案：t>0或t<316過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_解析：設(shè)直線方程為y(xc)，由，得x，由2a，e，解得e2(e2舍去)答案：2B組大題規(guī)范練1已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F1(2,0)和F2(2,0)的距離之和為4.(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)N(0,2)，過點(diǎn)P(1，2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值解析：(1)由橢圓的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓由c2，a2，得b2.故動點(diǎn)M的軌跡C的方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)>0，則k>0或k<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.從而k1k22k(k4)4.當(dāng)直線l的斜率不存在時，得A，B，所以k1k24.綜上，恒有k1k24.2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左焦點(diǎn)為F(1,0)，過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使·恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由解析：(1)由已知可得解得a22，b21，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.設(shè)存在點(diǎn)E(0，m)，則(x1，my1)，(x2，my2)，所以·x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m·.要使得·t(t為常數(shù))，只需t，從而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，從而t，故存在定點(diǎn)E，使·恒為定值.3已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍解析：(1)由題意，得c1，所以a2b21.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以1，所以a24，b23.則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為ykx2，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40.因?yàn)?8(4k21)>0，所以k2>，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.因?yàn)锳OB為銳角，所以·>0，即x1x2y1y2>0.所以x1x2(kx12)(kx22)>0，即(1k2)x1x22k(x1x2)4>0，所以(1k2)·2k·4>0，即>0，所以k2<.綜上可知<k2<，解得<k<或<k<.所以直線l的斜率k的取值范圍為.4已知圓C1：x2y26x0關(guān)于直線l1：y2x1對稱的圓為圓C.(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)(1,0)作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)是否存在這樣的直線l，使得在平行四邊形OASB中|？若存在，求出所有滿足條件的直線 l的方程；若不存在，請說明理由解析：(1)圓C1的方程可化為(x3)2y29.設(shè)圓C1的圓心C1(3,0)關(guān)于直線l1：y2x1的對稱點(diǎn)為C(a，b)，則kCC1·21，且線段CC1的中點(diǎn)在直線l1：y2x1上，所以有解得所以圓C的方程為(x1)2(y2)29.(2)因?yàn)閨，所以平行四邊形OASB為矩形，所以O(shè)AOB，即·0.當(dāng)直線l的斜率不存在時，可得直線l：x1，與圓C：(x1)2(y2)29交于兩點(diǎn)A(1，2)，B(1，2)因?yàn)?#183;(1)×(1)(2)×(2)0，所以O(shè)AOB，所以當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：x1滿足條件當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為yk(x1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(1k2)x2(2k24k2)xk24k40.由于點(diǎn)(1,0)在圓C內(nèi)部，所以>0恒成立x1,2，x1x2，x1·x2.要使OAOB，必須使·0，即x1x2y1y20，也就是k2(x11)(x21)0.整理得：(1k2)k2·k20.解得k1，所以直線l的方程為yx1.故存在直線x1和yx1，它們與圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得在平行四邊形OASB中|.