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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-5 第2課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 教案

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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-5 第2課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 教案

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-5 第2課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 教案教學(xué)目標(biāo):綜合運(yùn)用等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)求和公式解決相關(guān)問(wèn)題,提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn):進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.教學(xué)難點(diǎn):靈活使用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程:.復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)等比數(shù)列的知識(shí)?定義式:q(q0,n2)通項(xiàng)公式:ana1qn1(a1,q0)若mnpq,則am·anap·aq,Sn (q1)Snna1,(q1)anSnSn1(n2),a1S1(n1).講授新課我們結(jié)合一些練習(xí)來(lái)看一下如何靈活應(yīng)用它們. 例1求和:(x)(x2)(xn) (其中x0,x1,y1)分析:上面各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子均由兩項(xiàng)組成,其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù)列,分別求出這兩個(gè)等比數(shù)列的和,就能得到所求式子的和.解:當(dāng)x0,x1,y1時(shí),(x)(x2)(xn)(xx2xn)() 此方法為求和的重要方法之一:分組求和法.例2已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8,a5成等差數(shù)列.分析:由題意可得S3S62S9,要證a2,a8,a5成等差數(shù)列,只要證a2a52a8即可.證明:S3,S9,S6成等差數(shù)列,S3S62S9若q1,則S33a1,S66a1,S99a1,由等比數(shù)列中,a10得S3S62S9,與題設(shè)矛盾,q1,S3,S6,S9且整理得q3q62q9,由q0得1q32q6又a2a5a1qa1q4a1q(1q3),a2a5a1q·2q62a1q72a8a2,a8,a5成等差數(shù)列.評(píng)述:要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件.例3某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸,如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%,那么從第1年起,約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸(保留到個(gè)位)?分析:由題意可知,每年產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同,所以從第1年起,每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列,總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.解:設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列an,其中a15,q110%1.1,Sn3030,整理可得:1.1n1.6兩邊取對(duì)數(shù),得nlg1.1lg1.6,即:n5答:約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸.評(píng)述:首先應(yīng)根據(jù)題意準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型,然后求解.課堂練習(xí)課本P58練習(xí)1,2,3.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),應(yīng)掌握等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及前n項(xiàng)求和公式的靈活應(yīng)用.利用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意其特點(diǎn).課后作業(yè)課本P58習(xí)題 3,4,5課堂訓(xùn)練:1數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為80,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,它的前2n項(xiàng)的和為6560,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.2已知數(shù)列an是等比數(shù)列,試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列?3求數(shù)列1,aa2,a2a3a4,a3a4a5a6,的前n項(xiàng)和Sn.4數(shù)列an中,Sn1kan(k0,k1)(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)求通項(xiàng)an;(3)當(dāng)k1時(shí),求和a12a22an2.5已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).6等比數(shù)列an中,S41,S83,求a17a18a19a20的值.7求和(x)2(x2)2(xn)28求數(shù)列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n項(xiàng)和.答案1數(shù)列an為正數(shù)的等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為80,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,它的前2n項(xiàng)的和為6560,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.分析:利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn解題.解:若q1,則應(yīng)有S2n2Sn,與題意不合,故q1.當(dāng)q1時(shí),由已知得由,得82,即q2n82qn810得qn81或qn1(舍)qn81,故q1.an的前n項(xiàng)中最大,有an54.將qn81代入,得a1q1由ana1qn154,得a1qn54q即81a154q由、得a12,q3評(píng)述:在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個(gè)整體觀念,如本題求出qn81,應(yīng)保留qn為一個(gè)整體求解方便.2已知數(shù)列an是等比數(shù)列,試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列bn是否仍為等比數(shù)列?分析:應(yīng)對(duì)an的公比q分類(lèi)討論.解:設(shè)bna(n1)k+1a(n1)k+2ank,且數(shù)列an的公比為q則當(dāng)q1時(shí),b1b2bnka1,bn為公比是1的等比數(shù)列.當(dāng)q±1時(shí),bn,qk bn為公比是qk的等比數(shù)列.當(dāng)q1時(shí),若k為偶數(shù),則bn0,此時(shí)bn不能為等比數(shù)列.若k為奇數(shù),數(shù)列bn為公比為1的等比數(shù)列.綜上:當(dāng)an的公比不為1時(shí),數(shù)列bn仍為等比數(shù)列;當(dāng)an的公比為1時(shí),若k為偶數(shù),則bn不是等比數(shù)列;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),數(shù)列bn為公比為1的等比數(shù)列.3求數(shù)列1,aa2,a2a3a4,a3a4a5a6,的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)a0時(shí),Sn1;(2)a1時(shí),Snn(n1);(3)a1時(shí),Sn;(4)a±1;a0時(shí),Sn.4數(shù)列an中,Sn1kan(k0,k1)(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)求通項(xiàng)an;(3)當(dāng)k1時(shí),求和a12a22an2.分析:由于條件中涉及Sn與an的關(guān)系,因此,要考慮SnSn1an(n2)的運(yùn)用,然后回答定義.(1)證明:Sn1kanSn11kan1得SnSn1kankan1(n2)(k1)ankan1, (常數(shù)),(n2)an是公比為的等比數(shù)列.(2)解:S1a11ka1,a1an·()n1(3)解:an中a1,qan2為首項(xiàng)為()2,公比為()2的等比數(shù)列.當(dāng)k1時(shí),等比數(shù)列an2的首項(xiàng)為 ,公比為 a12a22an21()n 評(píng)述:應(yīng)注意an的應(yīng)用.5已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解:設(shè)數(shù)列的公比為q,項(xiàng)數(shù)為2n則,得q(a1a3a2n1)170,q2又85,即8522n25628,2n8評(píng)述:在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中,共涉及到a1,n,q,an,Sn5個(gè)量,其中a1和q是基本量,利用這兩個(gè)公式,可知三求二.6等比數(shù)列an中,S41,S83,求a17a18a19a20的值.分析:關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公比.解:設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)和公比為a1和q.則由÷得q42.a17a18a19a20S20S16q162416.評(píng)述:在研究等比數(shù)列的問(wèn)題中,要確定基本量a1和q,仍然離不開(kāi)方程思想,在具體求解時(shí),得到的方程往往是高次方程,因此,要注意優(yōu)化與化簡(jiǎn).7求和(x)2(x2)2(xn)2分析:注意到(xn)2anx2n2,且x2n與()2n為等比數(shù)列,故可考慮拆項(xiàng)法.解:Sn(x2x4x2n)()當(dāng)x±1時(shí), Snnn2n4n.當(dāng)x±1時(shí),Sn2n2n評(píng)述:在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí),要注意分析公比是否為1.8求數(shù)列2x2,3x3,4x4,nxn,的前n項(xiàng)和.分析:可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題.解:(1)當(dāng)x0時(shí),Sn0.(2)當(dāng)x1時(shí),Sn234(n1)n(n3).(3)當(dāng)x1時(shí),Sn2x23x34x4(n1)xn+1xSn2x33x44x5nxn+1(n1)xn+2得:(1x)Sn2x2x3x4xn+1(n1)xn+22x2(n1)xn+2Sn又當(dāng)x0時(shí),Sn0適合Sn評(píng)述:錯(cuò)位相減法是一種常用的重要的求和方法.

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