（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺四 溯源回扣六 平面解析幾何學(xué)案 文

溯源回扣六　平面解析幾何 1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯. [回扣問題1]　直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是________. 解析　tan α＝k＝－，知－≤k≤， ∴0≤α≤或≤α<π. 答案　∪ 2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為0的情況. [回扣問題2]　已知直線過點P(1，5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為________. 解析　當(dāng)截距為0，則直線方程為y＝5x，當(dāng)截距不是0時，設(shè)直線方程為x＋y＝a，將P(1，5)坐標(biāo)代入方程，得a＝6.∴所求方程為5x－y＝0或x＋y－6＝0. 答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0 3.求兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線x，y的系數(shù)相等的條件，而直接代入公式d＝，導(dǎo)致錯誤. [回扣問題3]　直線3x＋4y＋5＝0與6x＋8y－7＝0的距離為________. 解析　將3x＋4y＋5＝0化為6x＋8y＋10＝0，∴兩平行線間的距離d＝＝. 答案　 4.與圓有關(guān)的參數(shù)問題，易忽視參數(shù)的影響. [回扣問題4]　已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________. 解析　由方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 當(dāng)a＝－1時，方程化為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圓心為(－2，－4). 但a＝2時，x2＋y2＋x＋2y＋＝0不表示圓. 答案　(－2，－4) 5.求圓的切線方程時，易忽視斜率不存在的情形. [回扣問題5]　已知點P(1，2)與圓C：x2＋y2＝1，則過點P作圓C的切線l，則切線l的方程為________________. 解析　當(dāng)直線l的斜率不存在時，切線l的方程為x＝1. 若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則l的方程為y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0. 依題意，得＝1，解得k＝. 此時切線l的方程為y＝x＋. 答案　x＝1或y＝x＋ 6.兩圓的位置關(guān)系可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判定，在兩圓相切的關(guān)系中，誤認(rèn)為相切為兩圓外切，忽視相內(nèi)切的情形. [回扣問題6]　雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為________. 解析　設(shè)線段PF1的中點為P0，雙曲線的右焦點為F2，則|OP0|＝|PF2|， 由雙曲線定義，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|OP0|＝|PF1|－a＝R－r，因此兩圓內(nèi)切. 答案　內(nèi)切 7.易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，尤其是方程中a，b，c三者之間的關(guān)系，導(dǎo)致計算錯誤. [回扣問題7]　已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　∵e＝＝，F(xiàn)2(5，0)， ∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9， ∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案　C 8.由圓錐曲線方程討論幾何性質(zhì)時，易忽視討論焦點所在的坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解. [回扣問題8]　已知橢圓＋＝1(m>0)的離心率等于，則m＝________. 解析　當(dāng)焦點在x軸上，則a＝2，c＝， ∴＝，則m＝1. 當(dāng)焦點在y軸上，則a＝，c＝， ∴＝，則m＝16. 答案　1或16 9.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支. [問題回扣9]　已知平面內(nèi)兩點A(0，1)，B(0，－1)，動點M到A，B兩點的距離之差為1，則動點M的軌跡方程是________________. 解析　依題意|MA|－|MB|＝1<|AB|， 所以點M的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支. 由a＝，c＝1，則b2＝， 所以點M的軌跡方程是4y2－＝1(y<0). 答案　4y2－＝1(y<0) 10.在拋物線中，點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化是解決拋物線問題的突破口，注意定義的活用. [問題回扣10]　(2017·全國Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. 解析　如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 答案　6 11.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式Δ≥0的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式Δ≥0”；在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題都應(yīng)在“Δ>0”下進(jìn)行. [回扣問題11]　(2018·西安調(diào)研)已知橢圓W：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為－1，O為坐標(biāo)原點. (1)求橢圓W的方程； (2)設(shè)斜率為k的直線l與W相交于A，B兩點，記△AOB面積的最大值為Sk，證明：S1＝S2. (1)解　由題意，得W的半焦距c＝1，右焦點F(1，0)，上頂點M(0，b). ∴直線MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1. 由a2＝b2＋c2，得a2＝2. ∴橢圓W的方程為＋y2＝1. (2)證明　設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程組 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， ∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.① 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. ∴|AB|＝ ＝， ∵原點O到直線y＝kx＋m的距離d＝， ∴S△AOB＝|AB|d＝，當(dāng)k＝1時，S△AOB＝， ∴當(dāng)m2＝時，S△AOB有最大值S1＝，驗證滿足①式，當(dāng)k＝2時，S△AOB＝， ∴當(dāng)m2＝時，S△AOB的最大值S2＝，驗證①式成立.因此S1＝S2. 5