（通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列學案 理

第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列第一節(jié) 排列、組合本節(jié)主要包括2個知識點：1.兩個計數(shù)原理；2.排列、組合問題.突破點(一)兩個計數(shù)原理 1分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nm×n種不同的方法3兩個計數(shù)原理的比較名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點運用加法運算運用乘法運算分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解1判斷題(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()答案：(1)×(2)(3)2填空題(1)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是_解析：從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N336(種)答案：6(2)從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)abi，其中虛數(shù)有_個解析：abi為虛數(shù)，b0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×636個虛數(shù)答案：36(3)書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學書，第3層放有6本不同的體育書從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數(shù)為_解析：由分步乘法計數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書不同的取法種數(shù)為4×5×6120.答案：120分類加法計數(shù)原理能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：(1)完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事(3)把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)例1(1)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A4種B6種 C10種D16種(2)(2018·杭州二中月考)滿足a，b1,0,1,2，且關于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A14B13 C12D10解析(1)分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種方法(如圖)，同理，甲先踢給丙時，滿足條件有3種方法由分類加法計數(shù)原理，共有33 6種傳遞方式(2)當a0時，有x，b1,0,1,2，有4種可能；當a0時，則44ab0，ab1，()當a1時，b1,0,1,2，有4種可能；()當a1時，b1,0,1，有3種可能；()當a2時，b1,0，有2種可能有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為443213.答案(1)B(2)B易錯提醒(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復分步乘法計數(shù)原理能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可(2)完成每一步有若干種方法(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù) 例2(1)從2,0,1,8這四個數(shù)中選三個數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，則可組成_個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有_個(用數(shù)字作答)(2)如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有_種解析(1)一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×218個二次函數(shù)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0，同理可知共有3×26個偶函數(shù)(2)因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26163種可能情況答案(1)186(2)63易錯提醒(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事(2)謹記分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成兩個計數(shù)原理的綜合問題在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而可能是同時應用兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求解分類的關鍵在于做到“不重不漏”，分步的關鍵在于正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步例3(1)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個B120個 C96個D72個(2)如圖矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法解析(1)由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2×4×3×248個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有3×4×3×272個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有4872120(個)(2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法，所以共有5×4×45×4×3×3260種涂色方法答案(1)B(2)260方法技巧使用兩個計數(shù)原理進行計數(shù)的基本思想對需用兩個計數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復也不遺漏”的類，再對每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數(shù)，按照分步乘法計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)1.某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()A504B210C336D120解析：選A分三步，先插一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法故共有7×8×9504種不同的插法2.某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為()A20B25C32D60解析：選C依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為2532.3.從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A3B4C6D8解析：選D先考慮遞增數(shù)列，以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9.同理可得到4個遞減數(shù)列，所求的數(shù)列的個數(shù)為2(211)8.4.在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有_個解析：十位數(shù)的數(shù)為1時，有213,214,312,314,412,413，共6個，十位上的數(shù)為2時，有324,423，共2個，所以共有628(個)答案：8 5.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_種解析：按區(qū)域1與3是否同色分類區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3，有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)，有3×2×16種方法所以區(qū)域1與3涂同色時，共有4×624種方法區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3，有4×312種方法，第二步，涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步，涂區(qū)域4只有一種方法，第四步，涂區(qū)域5有3種方法所以這時共有12×2×1×372種方法故由分類加法計數(shù)原理，不同的涂色方法的種數(shù)為247296.答案：96突破點(二)排列、組合問題 1排列與排列數(shù)排列從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作A2.組合與組合數(shù)組合從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作C3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)C性質(zhì)An?。?！1C1；CC_；CCC備注n，mN*且mn4排列與組合的區(qū)別排列組合排列與順序有關組合與順序無關兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同1判斷題(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(3)若組合式CC，則xm成立()(4)(n1)！n！n·n！.()(5)AnA.()(6)kCnC.()答案：(1)×(2)(3)×(4)(5)(6)2填空題(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有_種答案：120(2)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言_條解析：由題意，得畢業(yè)留言共A1 560(條)答案：1 560(3)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙兩人所選的課程中恰有1門相同的選法有_種解析：依題意得知，滿足題意的選法共有C·C·C24(種)答案：24(4)方程3A2A6A的解為_解析：由排列數(shù)公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xN*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，解得x5或x(舍去)，x5.答案：5(5)已知，則m_.解析：由已知得m的取值范圍為，原等式可化為，整理可得m223m420，解得m21(舍去)或m2.答案：2排列問題例1(1)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A192種B216種C240種D288種(2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種解析(1)第一類：甲在最左端，有A120種排法；第二類：乙在最左端，有4A96種排法，所以共有12096216種排法(2)記其余兩種產(chǎn)品為D，E，由于A，B相鄰，則視為一個元素，先與D，E排列，有AA種方法再將C插入，僅有3個空位可選，共有AAC2×6×336種不同的擺法答案(1)B(2)36方法技巧求解排列問題的六種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法組合問題組合問題的常見題型及解題思路常見題型一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等解題思路(1)分清問題是否為組合問題；(2)對較復雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將復雜問題通過兩個計數(shù)原理化歸為簡單問題例2(1)某學校為了迎接市春季運動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運動隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為()A85B86 C91D90(2)設集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()A130B120C90D60(3)(2017·浙江高考)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)解析(1)法一(直接法)：由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選的方法種數(shù)為：CCCCC31；第2類，男生甲不入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：CCCCC34；第3類，男生甲入選，女生乙入選的方法種數(shù)為：CCCC21.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31342186.法二(間接法)：從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有CCC120種；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有CC34種所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為1203486.(2)易知|x1|x2|x3|x4|x5|1或2或3，下面分三種情況討論其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個讓其等于1或1，其余等于0，于是有CC10種情況；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個讓其都等于1或都等于1或一個等于1、另一個等于1，其余等于0，于是有2CCC40種情況；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個讓其都等于1或都等于1或兩個等于1、另一個等于1或兩個等于1、另一個等于1，其余等于0，于是有2CCCCC80種情況所以滿足條件的元素個數(shù)為104080130.(3)從8人中選出4人，且至少有1名女學生的選法種數(shù)為CC55.從4人中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人的選法為A12種故總共有55×12660種選法答案(1)B(2)A(3)660方法技巧有限制條件的組合問題的解法組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型考慮逆向思維，用間接法處理分組分配問題分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用，解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配關于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象例3(1)教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有_種不同的分派方法(2)某科室派出4名調(diào)研員到3個學校，調(diào)研該校高三復習備考近況，要求每個學校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為_(3)若將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有_種不同的分法解析(1)先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A6種方法，故將6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有·A90種不同的分派方法(2)分兩步完成：第一步，將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個學校，其分法有A種，所以滿足條件的分配方案有·A36種(3)將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種分法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種分法；第3步，余下的3名教師作為一組，有C種分法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC60種分法再將這3組教師分配到3所中學，有A6種分法，故共有60×6360種不同的分法答案(1)90(2)36(3)360方法技巧分組分配問題的三種類型及求解策略類型求解策略整體均分解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)部分均分解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)1.某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后立即進行則安排這6項工程的不同方法種數(shù)為()A10B20 C30D40解析：選B因為工程丙完成后立即進行工程丁，若不考慮與其他工程的順序，則安排這6項工程的不同方法數(shù)為A，對于甲、乙、丙、丁所處位置的任意排列有且只有一種情況符合要求，因此，符合條件的安排方法種數(shù)為5×420.2.世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)為()A12B10 C8D6解析：選D甲、乙兩人被分配到同一展臺，可以把甲與乙捆在一起，看成一個人，然后將3個人分到3個展臺上進行全排列，即有A種，甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)為A6.3.某局安排3名副局長帶5名職工去3地調(diào)研，每地至少去1名副局長和1名職工，則不同的安排方法總數(shù)為()A1 800B900 C300D1 440解析：選B分三步：第一步，將5名職工分成3組，每組至少1人，則有種不同的分組方法；第二步，將這3組職工分到3地有A種不同的方法；第三步，將3名副局長分到3地有A種不同的方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方案共有·AA900(種)，故選B.4.(2017·天津高考)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答)解析：(1)有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有CCA960個(2)沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A120個故這樣的四位數(shù)一共有9601201 080個答案：1 0805.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法有CC264種第二類，不含有紅色卡片，不同的取法有C3C22012208種由分類加法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為264208472.答案：472全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2017·全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B18種C24種D36種解析：選D第一步：將4項工作分成3組，共有C種分法第二步：將3組工作分配給3名志愿者，共有A種分配方法，故共有C·A36種安排方法2(2016·全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24B18C12D9解析：選B分兩步：第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，有3條可以選擇的最短路徑由分步乘法計數(shù)原理可知有6×318條可以選擇的最短路徑故選B.3(2016·全國卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A18個B16個 C14個D12個解析：選C當m4時，數(shù)列an共有8項，其中4項為0,4項為1，要滿足對任意k8，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，則必有a10，a81，a2可為0，也可為1.(1)當a20時，分以下3種情況：若a30，則a4，a5，a6，a7中任意一個為0均可，則有C4種情況；若a31，a40，則a5，a6，a7中任意一個為0均可，有C3種情況；若a31，a41，則a5必為0，a6，a7中任意一個為0均可，有C2種情況；(2)當a21時，必有a30，分以下2種情況：若a40，則a5，a6，a7中任一個為0均可，有C3種情況；若a41，則a5必為0，a6，a7中任一個為0均可，有C2種情況綜上所述，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有4323214(個)，故選C.4(2014·全國大綱卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組則不同的選法共有()A60種B70種 C75種D150種解析：選C從6名男醫(yī)生中選出2名有C種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有C種選法，由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有C·C75(種)故選C. 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)兩個計數(shù)原理1集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿足上述條件的一個有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A9B14C15D21解析：選B當x2時，xy，點的個數(shù)為1×77個當x2時，由PQ，xy，x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法，因此滿足條件的點的個數(shù)是7714.2(2018·云南調(diào)研)設集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個數(shù)是()A7B10C25D52解析：選B因為集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3，所以x有2種取法，y有5種取法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得有2×510(個)3某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()A4種B10種C18種D20種解析：選B贈送1本畫冊，3本集郵冊需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有4種方法贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有6種方法由分類加法計數(shù)原理，不同的贈送方法有4610(種)4(2018·紹興模擬)用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A243B252C261D279解析：選B0,1,2，9共能組成9×10×10900個三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648個，有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900648252.5有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A24B14C10D9解析：選B第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×312種方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法，由分類加法計數(shù)原理，共有12214種選擇方式6.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為_解析：先染頂點S，有5種染法，再染頂點A有4種染法，染頂點B有3種染法，頂點C的染法有兩類：若C與A同色，則頂點D有3種染法；若C與A不同色，則C有2種染法，D有2種染法，所以共有5×4×3×35×4×3×2×2420種染色方法答案：420對點練(二)排列、組合問題1(2018·福建漳州八校聯(lián)考)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有()A34種B48種C96種D144種解析：選C特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有C種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余三個元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有C·A·A96種排法，故選C.2將5名學生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A10B20C30D40解析： 選B將5名學生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學生，那么必然是一個宿舍2名，而另一個宿舍3名，共有CCA20(種)3“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會關注的五個焦點小趙想利用國慶節(jié)假期調(diào)查一下社會對這些熱點的關注度若小趙準備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“住房”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的種數(shù)為()A13B24 C18D72解析：選D可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個熱點中選出3個，有C種不同的選法；第二步， 在調(diào)查時，“住房”安排的順序有A種可能情況；第三步，其余3個熱點調(diào)查的順序有A種排法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同調(diào)查順序的種數(shù)為CAA72.4(2017·舟山二模)將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18種B24種C36種D72種解析：選C1個路口3人，其余路口各1人的分配方法有CA種.1個路口1人，2個路口各2人的分配方法有CA種，由分類加法計數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CACA36(種)5(2018·豫南九校聯(lián)考)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有()A72種B36種C24種D18種解析：選BA(CCCC)36(種)67位身高均不等的同學排成一排照相，要求中間最高，依次往兩端身高逐漸降低，共有_種排法解析：先排最中間位置有1種排法，再排左邊3個位置，由于順序一定，共有C種排法，再排剩下右邊三個位置，共1種排法，所以排法種數(shù)為C20.答案：207把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當于將1,2,3,4,5這五個數(shù)用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號在4個空位插3個板子，共有C4種情況，再對應到4個人，有A24種情況，則共有4×2496種情況答案：968若把英語單調(diào)“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤種數(shù)共有_種解析：把g，o，o，d 4個字母排一行，可分兩步進行，第一步：排g和d，共有A種排法；第二步：排兩個o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為A12種其中正確的有一種，所以錯誤的共A112111(種)答案：11大題綜合練遷移貫通1從4名男同學中選出2人，6名女同學中選出3人，并將選出的5人排成一排(1)共有多少種不同的排法？(2)若選出的2名男同學不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)解：(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，從6名女生中選出3人，有C種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知選出5人，再把這5個人進行排列共有CCA14 400(種)(2)在選出的5個人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有CCAA8 640(種)2有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表；(4)某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學科代表解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有CCCC種情況，后排有A種情況，則符合條件的選法數(shù)為(CCCC)·A5 400.(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數(shù)為C·A840.(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數(shù)為C·C·A3 360.(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種情況，再安排該男生有C種情況，選出的3人全排有A種情況，則符合條件的選法數(shù)為C·C·A360.3有編號分別為1,2,3,4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子(1)共有多少種放法？(2)恰有一個空盒，有多少種放法？(3)恰有2個盒子內(nèi)不放球，有多少種放法？解：(1)1號球可放入任意一個盒子內(nèi)，有4種放法同理，2,3,4號小球也各有4種放法，共有44256種放法(2)恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1,1,2.先從4個小球中任選2個放在一起，有C種方法，然后與其余2個小球看成三組，分別放入4個盒子中的3個盒子中，有A種放法由分步乘法計數(shù)原理知共有CA144種不同的放法(3)恰有2個盒子內(nèi)不放球，也就是把4個小球只放入2個盒子內(nèi)，有兩類放法：一個盒子內(nèi)放1個球，另一個盒子內(nèi)放3個球先把小球分為兩組，一組1個，另一組3個，有C種分法，再放到2個盒子內(nèi)，有A種放法，共有CA種放法；把4個小球平均分成2組，每組2個，有種分法，放入2個盒子內(nèi)，有A種放法，共有CA種放法由分類加法計數(shù)原理知共有CACA84種不同的放法第二節(jié) 二項式定理本節(jié)主要包括2個知識點：1.二項式的通項公式及應用；2.二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用.突破點(一)二項式的通項公式及應用 1二項式定理二項展開式公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二項式定理二項式的通項Tk1Cankbk為展開式的第k1項2二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)C(r0，1，n)叫做第r1項的二項式系數(shù)項的系數(shù)項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念如(abx)n的展開式中，第r1項的系數(shù)是Canrbr1判斷題(1)Canrbr是(ab)n的展開式中的第r項()(2)在(ab)n的展開式中，每一項的二項式系數(shù)與a，b無關()(3)(ab)n展開式中某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同()(4)(ab)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同()答案：(1)×(2)(3)(4)2填空題(1)已知a>0，6展開式的常數(shù)項為15，則a_.解析：Tr1C(1)ra6rx3，由30，得r2，常數(shù)項為T3Ca415，且a0，可得a1.答案：1(2)(12x)7展開式中x3的系數(shù)為_解析：Tr1C17r(2x)rC(2)rxr，令r3，得x3的系數(shù)為C(2)335×(8)280.答案：280(3)8的展開式中的有理項共有_項解析：Tr1C()8rrrCx，r為4的倍數(shù)，故r0,4,8，共3項答案：3(4)若(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n_.解析：(13x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5C35x5，展開式中含x6的項為C36x6.由兩項的系數(shù)相等得C·35C·36，解得n7.答案：7形如(ab)n的展開式問題例1(1)(2018·武漢模擬)5的展開式中的常數(shù)項為()A80B80 C40D40(2)(2018·福州五校聯(lián)考)在6的展開式中，若x4的系數(shù)為3，則a_.(3)二項式n的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為_解析(1)Tr1C(x2)5rr(2)rC·x105r，由105r0，得r2，T3(2)2C40.(2)6的展開式的通項為Tr1Cx6rrCrx62r，令62r4，則r1，所以x4的系數(shù)為C13，解得a1.(3)二項展開式的通項是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故當r3時，n有最小值5.答案(1)C(2)1(3)5方法技巧二項展開式問題的常見類型及解法(1)求展開式中的特定項或其系數(shù)可依據(jù)條件寫出第k1項，再由特定項的特點求出k值即可(2)已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù)形如(ab)m(cd)n的展開式問題例2(1)已知(1x)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則()A4B3 C2D1(2)(2018·湖南五市十校聯(lián)考)在(2x1)(x1)5的展開式中含x3項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析(1)展開式中含x2的系數(shù)為CaC5，解得a1.(2)由題易得二項式的展開式中含x3項的系數(shù)為C(1)22C(1)310.答案(1)D(2)10方法技巧求解形如(ab)n(cd)m的展開式問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m，然后展開分別求解(2)觀察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2；(3)分別得到(ab)n，(cd)m的通項公式，綜合考慮形如(abc)n的展開式問題例3(1)(2018·湖北棗陽模擬)(x2xy)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A10B20 C30D60(2)(2018·太原模擬)5的展開式中常數(shù)項是_解析(1)(x2xy)5的展開式的通項為Tr1C(x2x)5r·yr，令r2，則T3C(x2x)3y2，又(x2x)3的展開式的通項為C(x2)3k·xkCx6k，令6k5，則k1，所以(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC30，故選C.(2)由55，則其通項公式為(1)5rCr(0r5)，其中r的通項公式為2rtCxr2t(0tr)令r2t0，得或或所以5的展開式中的常數(shù)項為(1)5C(1)3C×2C(1)1C×22C161.答案(1)C(2)161方法技巧求形如(abc)n展開式中特定項的步驟1.(2018·杭州測試)6的展開式中，常數(shù)項是()AB. CD.解析：選DTr1C(x2)6rrrCx123r，令123r0得r4，所以常數(shù)項為4C.2.設i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開式中含x4的項為()A15x4B15x4C20ix4D20ix4解析：選ATr1Cx6rir，由6r4得r2.故T3Cx4i215x4.故選A.3.(2018·廈門聯(lián)考)在10的展開式中，含x2項的系數(shù)為()A10B30 C45D120解析：選C因為1010(1x)10C(1x)9C10，所以x2項只能在(1x)10的展開式中，所以含x2的項為Cx2，系數(shù)為C45.4.(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56B84 C112D168解析：選D(1x)8的展開式中x2的系數(shù)為C，(1y)4的展開式中y2的系數(shù)為C，所以x2y2的系數(shù)為CC168.5.(x2)2(1x)5中x7的系數(shù)與常數(shù)項之差的絕對值為()A5B3 C2D0解析：選A常數(shù)項為C×22×C4，x7的系數(shù)為C×C(1)51，因此x7的系數(shù)與常數(shù)項之差的絕對值為5.6.(2018·合肥質(zhì)檢)在4的展開式中，常數(shù)項為_解析：易知4的展開式的通項Tr1C(1)4r·r，又r的展開式的通項Rm1C(x1)mxrmC(1)mxr2m，Tr1C(1)4r·C(1)mxr2m，令r2m0，得r2m，0r4，0m2，當m0,1,2時，r0,2,4，故常數(shù)項為T1T3T5C(1)4C(1)2·C(1)1C(1)0·C(1)25.答案：5突破點(二)二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用 二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：當0kn時，C.(2)二項式系數(shù)的最值：二項式系數(shù)先增后減，當n為偶數(shù)時，第1項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn；當n為奇數(shù)時，第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為.(3)二項式系數(shù)和：CCCC2n，CCCCCC2n1.1判斷題(1)在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項()(2)在(1x)9的展開式中，系數(shù)最大的項是第5項和第6項()(3)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，則a7a6a1的值為128.()答案：(1)×(2)×(3)×2填空題(1)若m的展開式中二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是_解析：由題意可知2m128，m7，展開式的通項Tr1C(3x)7r·rC37r(1)rx7，令7r3，解得r6，的系數(shù)為C376(1)621.答案：21(2)若(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，則a1a2a3a4a5_.解析：令x0，得1a0；令x1，得a5a4a3a2a1a01.a1a2a3a4a52.答案：2二項展開式中系數(shù)和的問題賦值法在求各項系數(shù)和中的應用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.例1(1)(2018·衢州調(diào)研)已知(1x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A212B211C210D29(2)(2018·諸暨質(zhì)檢)若(13x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a1a2a3a4_.解析(1)(1x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，CC，解得n10.從而CCCC210，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為CCC29.(2)令x1，得a0a1a2a3a4(13)416.又令x0，得a0(10)41.因此a1a2a3a415.答案(1)D(2)15易錯提醒(1)利用賦值法求解時，注意各項的系數(shù)是指某一項的字母前面的數(shù)值(包括符號)；(2)在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進行賦值二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大”、“二項式系數(shù)最大”兩者中的哪一個第二步，若是求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(ab)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解若是求展開式系數(shù)的最大值，有兩個思路，如下：思路一：由于二項展開式中的系數(shù)是關于正整數(shù)n的式子，可以看作關于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值思路二：由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組即可求得答案例2(1)在(1x)n(xN*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n()A8B9C10D11(2)在5的展開式中x3的系數(shù)等于5，則該展開式各項的系數(shù)中最大值為()A5B10C15D20解析(1)二項式中僅x5項系數(shù)最大，其最大值必為Cn，即得5，解得n10.(2)由Tr1Cx5rr(a)rCx52r，r0,1，2，5，由52r3，解得r1，所以(a)C5a5，解得a1，所以Tr1(1)rCx52r，r0,1,2，5，當r0時，(1)rC1；當r2時，(1)2C10；當r4時，(1)4C5.所以該展開式各項的系數(shù)中最大值為10.故選B.答案(1)C(2)B1.(2018·福建漳州調(diào)研)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，則a2a3a9a10的值為()A20B0 C1D20解析：選D令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C×21×(1)920，所以a2a3a9a1020.2.(x2y)7的展開式中系數(shù)最大的項是_解析：(x2y)7的展開式的通項為Tr12rCx7ryr.由可得r.r0,1，7，r5.(x2y)7的展開式中系數(shù)最大的項是T625Cx2y5672x2y5.答案：672x2y53.(x2y)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析：二項式系數(shù)最大的項是T4Cx3(2y)3160x3y3，故填160.答案：1604.(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.解析：設(ax)(