（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 2 直觀圖學(xué)案 北師大版必修2

§2直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握斜二測(cè)畫法的作圖規(guī)則.2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖知識(shí)點(diǎn)斜二測(cè)畫法思考1邊長(zhǎng)2 cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，AB與CD有何關(guān)系？AD與BC呢？在原圖與直觀圖中，AB與AB相等嗎？AD與AD呢？答案ABCD，ADBC，ABAB，ADAD.思考2正方體ABCDA1B1C1D1的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個(gè)面都畫成正方形了嗎？答案 沒有都畫成正方形梳理(1)水平放置的平面圖形直觀圖的畫法斜二測(cè)畫法規(guī)則：在已知圖形中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，使xOy45°，它們確定的平面表示水平平面已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的.(2)立體圖形直觀圖的畫法1用斜二測(cè)畫法畫水平放置的A時(shí)，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90°，則在直觀圖中，A45°.(×)2用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變(×)3在斜二測(cè)畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變(×)類型一水平放置的平面圖形的直觀圖例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系畫出相應(yīng)的x軸和y軸，使xOy45°，如圖(1)(2)所示；(2)在x軸上截取OBOB，在y軸上截取ODOD，過點(diǎn)D作x軸的平行線l，在l上沿x軸正方向取點(diǎn)C使得DCDC.連接BC，如圖(2)；(3)去掉輔助線，所得四邊形OBCD就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)引申探究若得本例中的直角梯形改為等腰梯形，畫出其直觀圖解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對(duì)應(yīng)的x軸和y軸，使xOy45°；(2)以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取ABAB，在y軸上取OEOE，以E為中點(diǎn)畫出CDx軸，并使CDCD；(3)連接BC，DA，所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖反思與感悟在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線段關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可跟蹤訓(xùn)練1已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法：(1)在圖(1)中作AGx軸于點(diǎn)G，作DHx軸于點(diǎn)H.(2)在圖(2)中畫相應(yīng)的x軸與y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，使xOy45°.(3)在圖(2)中的x軸上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y軸上取OEOE，分別過G和H作y軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取GAGA，HDHD.(4)連接AB，AE，ED，DC，并擦去輔助線GA，HD，x軸與y軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖ABCDE(如圖(3)類型二直觀圖的還原與計(jì)算例2如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取ODOD11，OCOC12.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA2D1A12.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取ABA1B12.連接BC，即得到了原圖形由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB2，CD3，直角腰的長(zhǎng)度AD2，所以面積為S×25.反思與感悟(1)由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x軸，y軸平行的直線或線段，且平行于x軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可(2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S，則有SS或S2S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面積是()A. B. C. D2考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，因此面積為，又直觀圖與原平面圖形面積比為4，所以原圖形的面積為，故選C.(2)如圖所示，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，CD2 cm，則原圖形是_(填四邊形的形狀)考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案菱形解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OAOA6(cm)，OD2OD2×24(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，又OABC，OABC，故四邊形OABC是菱形類型三簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖例3畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖解畫法：(1)畫軸畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy45°(或135°)，xOz90°，如圖.(2)畫底面，以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形直觀圖ABCD.(3)畫頂點(diǎn)在Oz軸上截取OP使OP的長(zhǎng)度是原四棱錐的高(4)成圖順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖如圖.反思與感悟簡(jiǎn)單幾何體直觀圖的畫法(1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系(2)畫底面：根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)(4)連線成圖跟蹤訓(xùn)練3用斜二測(cè)畫法畫棱長(zhǎng)為2 cm的正方體ABCDABCD的直觀圖考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖解畫法：(1)畫軸如圖，畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy45°，xOz90°.(2)畫底面以點(diǎn)O為中心，在x軸上取線段MN，使MN2 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ1 cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱過A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上沿Oz軸方向分別截取2 cm長(zhǎng)的線段AA，BB，CC，DD.(4)成圖順次連接A，B，C，D，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，得到正方體的直觀圖(如圖)1利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3 cm的正方形的直觀圖，圖中正確的是()考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案C解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為21.2下列關(guān)于直觀圖的說(shuō)法不正確的是()A原圖形中平行于y軸的線段，對(duì)應(yīng)線段平行于直觀圖中y軸，長(zhǎng)度不變B原圖形中平行于x軸的線段，對(duì)應(yīng)線段平行于直觀圖中x軸，長(zhǎng)度不變C在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的xOy時(shí)，xOy可以畫成45°D在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同所畫的直觀圖可能不同考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案A解析平行于y軸的線段，直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，故選A.3有一個(gè)長(zhǎng)為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積為_cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案5解析該矩形直觀圖的面積為×5×45(cm2)4如圖，水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀圖是圖中的ABC，已知AC6，BC4，則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是_考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案10解析在原圖中，AC6，BC4×28，AOB90°，AB10.5畫出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖(尺寸：上、下底面邊長(zhǎng)分別為1 cm,2 cm，高為2 cm)考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖解畫法：(1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖ABC，其中O為ABC的重心，BC2 cm，線段AO與x軸的夾角為45°，AO2OD.(2)過O作z軸，使xOz90°，在Oz軸上截取OO2 cm，作上底面等邊三角形的直觀圖ABC，其中BC1 cm，連接AA，BB，CC，得正三棱臺(tái)的直觀圖1畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn)確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上2用斜二測(cè)畫法畫圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測(cè)”兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成Ox、Oy軸，使xOy45°.(2)二測(cè)：在直觀圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱折半”.一、選擇題1關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖，以下說(shuō)法正確的是()A等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B正方形的直觀圖為平行四邊形C梯形的直觀圖不是梯形D正三角形的直觀圖一定為等腰三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案B解析由直觀圖的性質(zhì)知，B正確2若把一個(gè)高為10 cm的圓柱的底面畫在xOy平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成()A平行于z軸且長(zhǎng)度為10 cmB平行于z軸且長(zhǎng)度為5 cmC與z軸成45°且長(zhǎng)度為10 cmD與z軸成45°且長(zhǎng)度為5 cm考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖答案A解析由直觀圖的性質(zhì)知，與z軸平行的線段長(zhǎng)度不變，高與原長(zhǎng)相等3如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案C解析在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度不變，在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，并注意到xOy90°，xOy45°，因此由直觀圖還原成原圖形為選項(xiàng)C.4下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論5已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積為()A16 B64C16或64 D無(wú)法確定考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.6水平放置的ABC，有一邊在水平線上，它的斜二測(cè)直觀圖是正三角形ABC，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D任意三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案C解析如圖所示，斜二測(cè)直觀圖還原為平面圖形，故ABC是鈍角三角形7.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為()A4 cm2 B4 cm2C8 cm2 D8 cm2考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案C解析依題意可知BAD45°，則原平面圖形為直角梯形，且上下底邊的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.8已知兩個(gè)底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2 cm，另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3 cm，則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為()A2 cm B3 cm C2.5 cm D5 cm考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)的直觀圖答案D解析圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為235(cm)，在直觀圖中與z軸平行的線段長(zhǎng)度不變，仍為5 cm.故選D.二、填空題9水平放置的ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知BC4，AC3，BCy軸，則ABC中AB邊上的中線的長(zhǎng)度為_考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案解析由斜二測(cè)畫法規(guī)則知ACBC，即ABC為直角三角形，其中AC3，BC8，所以AB，AB邊上的中線長(zhǎng)度為.10在如圖所示的直觀圖中，四邊形OABC為菱形且邊長(zhǎng)為2 cm，則在坐標(biāo)系xOy中原四邊形OABC為_(填形狀)，面積為_ cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案矩形8解析由題意結(jié)合斜二測(cè)畫法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四邊形OABC的面積為S2×48(cm2)11如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖OABC，則在直觀圖中，梯形的高為_考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案解析作CD，BEOA于點(diǎn)D，E，則ODEA2，又COD45°，ODCD2，在直觀圖中梯形的高為2××sin 45°.三、解答題12如圖所示，畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)平面圖形的直觀圖解畫法：(1)過點(diǎn)C作CEx軸，垂足為E，如圖(1)所示畫出對(duì)應(yīng)的x軸，y軸，使xOy45°，如圖(2)所示；(2)如圖(2)所示，在x軸正半軸上取點(diǎn)B，E，使得OBOB，OEOE.在y正半軸上取一點(diǎn)D，使得ODOD.過E作ECy軸，使ECEC；(3)連接BC，CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形OBCD就是所得直觀圖13一個(gè)機(jī)器部件，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3 cm，高為3 cm，圓錐的高為3 cm，畫出此機(jī)器部件的直觀圖考點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖題點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖解畫法：(1)如圖.畫x軸，y軸，z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy45°，xOz90°.(2)畫圓柱的兩底面在xOy平面上畫出底面圓O，使直徑為3 cm，在z軸上截取OO，使OO3 cm，過O作Ox的平行線Ox，Oy的平行線Oy，利用Ox與Oy畫出底面圓O，使其直徑為3 cm.(3)畫圓錐的頂點(diǎn)在z軸上取一點(diǎn)P，使PO等于圓錐的高3 cm.(4)成圖連接AA，BB，PA，PB，擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到此幾何體(機(jī)器部件)的直觀圖，如圖.四、探究與拓展14.如圖所示，一個(gè)水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則用斜二測(cè)畫法畫出正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B到x軸的距離為_考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算答案解析畫出直觀圖，則B到x軸的距離為·OAOA.15在水平放置的平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，如圖，其中的對(duì)角線AC在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實(shí)圖形并求出其面積考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)與直觀圖有關(guān)的計(jì)算解四邊形ABCD的真實(shí)圖形如圖所示，AC在水平位置，ABCD為正方形，DACACB45°，在原四邊形ABCD中，DAAC，ACBC，DA2DA2，ACAC，S四邊形ABCDAC·AD2.15