（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1 簡單幾何體學(xué)案 北師大版必修2

§1簡單幾何體學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解旋轉(zhuǎn)體與多面體的概念.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.3.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體與多面體旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體多面體把若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體知識(shí)點(diǎn)二常見的旋轉(zhuǎn)體及概念思考1以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐嗎？答案不是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐的一半，不是整個(gè)圓錐思考2能否由圓錐得到圓臺(tái)？答案用平行于圓錐底面的平面截去一個(gè)圓錐可以得到梳理名稱圖形及表示定義相關(guān)概念球記作：球O球面：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面球體：球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球球心：半圓的圓心球的半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段圓柱記作：圓柱OO以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱高：在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度底面：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谛D(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊，無論轉(zhuǎn)到什么位置都叫作側(cè)面的母線圓錐記作：圓錐OO以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐圓臺(tái)記作：圓臺(tái)OO以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓臺(tái)特別提醒：(1)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)體軸的截面稱為該幾何體的軸截面(2)圓柱的母線互相平行，圓錐的母線相交于圓錐的頂點(diǎn)，圓臺(tái)的母線延長后相交于一點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三常見的多面體及相關(guān)概念思考觀察下列多面體，試指明其類別答案(1)五棱柱；(2)四棱錐；(3)三棱臺(tái)梳理(1)棱柱定義要點(diǎn)：()兩個(gè)面互相平行；()其余各面都是四邊形；()每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行相關(guān)概念：底面：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫撼酌嫱獾钠溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚€(gè)側(cè)面的公共邊頂點(diǎn)：底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)記法：如三棱柱ABCA1B1C1.分類及特殊棱柱：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、.()直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱()正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱(2)棱錐定義要點(diǎn)：()有一個(gè)面是多邊形；()其余各面是三角形；()這些三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)相關(guān)概念：底面：除去棱錐的側(cè)面余下的那個(gè)多邊形側(cè)面：除底面外的其余三角形面?zhèn)壤猓合噜弮蓚€(gè)側(cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面的公共頂點(diǎn)記法：如三棱錐SABC.分類及特殊棱錐：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐、，()正棱錐：底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐(3)棱臺(tái)定義要點(diǎn)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分相關(guān)概念：上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)壤猓合噜彽膫?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)記法：如三棱臺(tái)ABCA1B1C1.分類及特殊棱臺(tái)：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)、，()正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)1棱柱的側(cè)面都是平行四邊形()2有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(×)3直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐(×)4半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球(×)類型一旋轉(zhuǎn)體的概念例1下列說法正確的是_(填序號(hào))以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面考點(diǎn)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案解析以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；它們的底面為圓面；正確反思與感悟(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線(2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想跟蹤訓(xùn)練1下列說法：圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個(gè)；用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓；圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交；球的半徑是球心與球面上任意一點(diǎn)的連線段其中正確的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3考點(diǎn)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案C解析錯(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線必相交于一點(diǎn)；正確故選C.類型二多面體及其簡單應(yīng)用例2(1)下列關(guān)于多面體的說法正確的個(gè)數(shù)為_所有的面都是平行四邊形的幾何體為棱柱；棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；底面是正三角形，且側(cè)棱相等的三棱錐是正三棱錐；棱臺(tái)的各條側(cè)棱延長后一定相交于一點(diǎn)；棱柱的每一個(gè)面都不會(huì)是三角形考點(diǎn)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)多面體的結(jié)構(gòu)特征答案3解析中兩個(gè)四棱柱放在一起，如下圖所示，能保證每個(gè)面都是平行四邊形，但并不是棱柱故錯(cuò)；中棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，不可能為平行四邊形，正確；根據(jù)棱錐的概念知，正確；根據(jù)棱臺(tái)的概念知，正確；棱柱的底面可以是三角形，故錯(cuò)正確的個(gè)數(shù)為3.(2)如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1.這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，說明理由考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷解長方體是棱柱，是四棱柱因?yàn)樗袃蓚€(gè)平行的平面ABCD與A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分，其中一部分有兩個(gè)平行的平面BB1M與CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號(hào)表示為三棱柱BB1MCC1N；另一部分有兩個(gè)平行的平面ABMA1與DCND1，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是四棱柱，可用符號(hào)表示為四棱柱ABMA1DCND1.引申探究若用一個(gè)平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱錐嗎？解如圖，幾何體BA1B1C1就是三棱錐反思與感悟(1)棱柱的識(shí)別方法兩個(gè)面互相平行其余各面都是四邊形每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行(2)棱錐的識(shí)別方法有一個(gè)面是多邊形其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱錐僅有一個(gè)頂點(diǎn)，它是各側(cè)面的公共頂點(diǎn)對(duì)幾類特殊棱錐的認(rèn)識(shí)()三棱錐是面數(shù)最少的多面體，又稱四面體它的每一個(gè)面都可以作為底面()各棱都相等的三棱錐稱為正四面體()正棱錐有以下性質(zhì)：側(cè)面是全等的等腰三角形，頂點(diǎn)與底面正多邊形中心的連線與底面垂直(3)棱臺(tái)的識(shí)別方法上、下底面互相平行各側(cè)棱延長交于一點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2下列說法正確的是()A有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)B兩底面平行，并且各側(cè)棱也互相平行的幾何體是棱柱C棱錐的側(cè)面可以是四邊形D棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用答案B解析A中所有側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，故A不正確；B正確；C中棱錐的側(cè)面一定是三角形，故C不正確；D中棱柱的側(cè)面也可能平行，故D不正確1下列幾何體中棱柱有()A5個(gè) B4個(gè)C3個(gè) D2個(gè)考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析由棱柱的定義知，為棱柱2關(guān)于下列幾何體，說法正確的是()A圖是圓柱 B圖和圖是圓錐C圖和圖是圓臺(tái) D圖是圓臺(tái)考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征知，D正確3下面有關(guān)棱臺(tái)說法中，正確的是()A上下兩個(gè)底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺(tái)B棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形C棱臺(tái)的側(cè)棱長必相等D棱臺(tái)的上下底面可能不是相似圖形考點(diǎn)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用答案B解析由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，B正確4等腰三角形ABC繞底邊上的中線AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是()A圓臺(tái) B圓錐C圓柱 D球考點(diǎn)簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案B解析中線ADBC，左右兩側(cè)對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)體為圓錐5若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長為_考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知，圓錐的母線長即為ABC的邊長，且SABCAB2，AB2，AB2.故圓錐的母線長為2.1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示2棱柱、棱錐、棱臺(tái)定義的關(guān)注點(diǎn)(1)棱柱的定義有以下兩個(gè)要點(diǎn)，缺一不可：有兩個(gè)平面(底面)互相平行；其余各面(側(cè)面)每相鄰兩個(gè)面的公共邊(側(cè)棱)都互相平行(2)棱錐的定義有以下兩個(gè)要點(diǎn)，缺一不可：有一個(gè)面(底面)是多邊形；其余各面(側(cè)面)是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形(3)用一水平平面截棱錐可得到棱臺(tái)一、選擇題1有一個(gè)多面體，共有四個(gè)面圍成，每一個(gè)面都是三角形，則這個(gè)幾何體為()A四棱柱 B四棱錐C三棱柱 D三棱錐考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析四個(gè)面都是三角形的幾何體只能是三棱錐2如圖所示，在三棱臺(tái)ABCABC中，截去三棱錐AABC，則剩余部分是()A三棱錐 B四棱錐 C三棱柱 D三棱臺(tái)考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐的概念答案B解析由題圖知，剩余的部分是四棱錐ABCCB.3過球面上任意兩點(diǎn)A，B作大圓，可能的個(gè)數(shù)是()A有且只有一個(gè) B一個(gè)或無窮多個(gè)C無數(shù)個(gè) D以上均不正確考點(diǎn)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案B解析當(dāng)過A，B的直線經(jīng)過球心時(shí)，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時(shí)過A，B作球的大圓有無數(shù)個(gè)；當(dāng)直線AB不經(jīng)過球心O時(shí)，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個(gè)大圓，這時(shí)只能作出一個(gè)大圓4下列說法正確的是()A圓錐的母線長等于底面圓直徑B圓柱的母線與軸垂直C圓臺(tái)的母線與軸平行D球的直徑必過球心考點(diǎn)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案D解析圓錐的母線長與底面圓的直徑不一定相等，故A錯(cuò)；圓柱的母線與軸平行，故B錯(cuò)；圓臺(tái)的母線與軸不平行，故C錯(cuò)；球的直徑必過球心，故選D.5若棱臺(tái)上、下底面的對(duì)應(yīng)邊之比為12，則上、下底面的面積之比是()A12 B14 C21 D41考點(diǎn)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與棱臺(tái)有關(guān)的運(yùn)算答案B解析由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺(tái)上、下底面是相似多邊形，面積比為對(duì)應(yīng)邊之比的平方，故選B.6五棱柱中，不同在同一個(gè)側(cè)面且不同在同一個(gè)底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有()A20 B15 C12 D10考點(diǎn)棱柱的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與棱柱有關(guān)的運(yùn)算答案D解析如圖，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線均有兩條，共2×510(條)7如圖所示，正四棱錐SABCD的所有棱長都為a，過不相鄰的兩條棱SA，SC作截面SAC，則截面的面積為()A.a2 Ba2 C.a2 D.a2考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與棱錐有關(guān)的運(yùn)算答案C解析根據(jù)正棱錐的性質(zhì)知，底面ABCD是正方形，故ACa.在等腰三角形SAC中，SASCa，又ACa，ASC90°，即SSACa2.8如圖陰影部分所示的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體為()A一個(gè)球體B一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C一個(gè)圓柱D一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析外面圓旋轉(zhuǎn)形成球體，中間矩形旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱故選B.二、填空題9下列說法正確的是_(填序號(hào))底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐概念的應(yīng)用答案解析由正棱錐的定義可知，均不正確；而不能保證這些全等的等腰三角形的腰長都作為側(cè)棱長，故不正確；只有符合正棱錐的定義，故正確10以三棱臺(tái)的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)，這樣可以把一個(gè)三棱臺(tái)分成_個(gè)三棱錐考點(diǎn)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱臺(tái)概念的應(yīng)用答案3解析如圖，分割為A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B，3個(gè)棱錐11在半徑為13的球面上有A，B，C三點(diǎn)，其中AC6，BC8，AB10，則球心到經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的截面的距離為_考點(diǎn)球的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與球有關(guān)的運(yùn)算答案12解析由線段的長度知ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r5，所以d12.三、解答題12已知一個(gè)圓錐的底面半徑為r，高為h，在此圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在圓錐的底面上，與這個(gè)面相對(duì)的面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，求此正方體的棱長考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算解作出圓錐的一個(gè)縱截面如圖所示，其中AB，AC為母線，BC為底面圓直徑，DG，EF是正方體的棱，DE，GF是正方體的上、下底面的對(duì)角線，設(shè)正方體的棱長為x，則DGEFx，DEGFx，依題意，得ABCADE，x.13試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取若干連接后構(gòu)成以下簡單幾何體，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示出來(1)只有一個(gè)面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個(gè)面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用解(1)如圖所示，三棱錐A1AB1D1(答案不唯一)(2)如圖所示，三棱錐B1ACD1(答案不唯一)(3)如圖所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究與拓展14給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；(3)圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，其中說法正確的是_(填序號(hào))考點(diǎn)簡單幾何體題點(diǎn)簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用答案(1)(2)解析(1)正確，圓柱的底面是圓面；(2)正確，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；(3)不正確，圓臺(tái)的任意兩條母線延長一定相交于一點(diǎn)；(4)不正確，夾在圓柱的兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體15如圖所示，正三棱錐SABC的側(cè)棱長為1，ASB40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是棱SB和SC上的點(diǎn)，求AMN的周長的最小值考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算解沿側(cè)棱SA將正三棱錐SABC的側(cè)面展開，得到三棱錐SABC的側(cè)面展開圖，如圖所示連接AA，當(dāng)M，N分別為AA與SB，SC的交點(diǎn)時(shí)，AMN的周長最小，即AA的長度SASA，ASBBSCCSA40°，ASA120°.SAASAA30°.作SFAA于點(diǎn)F，SA1，AFAFSA，AA，即AMN的周長的最小值為.14