2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (IV)

2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (IV) 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。 2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。 3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。 4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。 5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 1．已知命題p： ， .則為（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】p： ， .則:. 2．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，則|AB|＝(　　) A． B． C． 5 D． 【答案】D【解析】由題意得p＝2，∴．選D． 3．下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 命題“若，則”是真命題 B. 命題“若，則”的逆命題是“若，則” C. 命題“已知，若，則或”是真命題 D. 命題“若，則”的否命題是“若，則” 【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，所以A不正確． 對(duì)于B，命題“若x2-5x+6=0，則x=2”的逆否命題是“若x≠2，則x2-5x+6≠0”，所以B不正確． 對(duì)于C，命題“已知，若，則或”的逆否命題是“已知，若 ，則”為真命題，所以C正確． 對(duì)于D，命題“若x=2，則x2-5x+6=0”的否命題是“若x≠2，則x2-5x+6≠0”，所以D不正確． 本題選擇C選項(xiàng). 4．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸出的值可以為( ) A． B． C. D． 【答案】C 【解析】試題分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的n，S的值，當(dāng)S=48時(shí)，由題意，此時(shí)應(yīng)該滿足條件n=10＞k，退出循環(huán)，輸出S的值為48，故應(yīng)有：7＜k＜10． 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得n=1，S=1，不滿足條件n＞k；n=4，S=6，不滿足條件n＞k；n=7，S=19，不滿足條件n＞k；n=10，S=48，由題意，此時(shí)應(yīng)該滿足條件n=10＞k，退出循環(huán)，輸出S的值為48，故應(yīng)有：7＜k＜10。故選：C． 考點(diǎn)：程序框圖． 5.若在所圍區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在所圍區(qū)域內(nèi)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部（即圓面），表示的區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形，故所求概率為：。故選B。 考點(diǎn)：幾何概型． 6.設(shè)不重合的兩條直線、和三個(gè)平面、、給出下面四個(gè)命題： （1） （2） （3） （4） 其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】時(shí)，有可能 ，A錯(cuò)； ，而所以 ，又，所以，B對(duì)；由兩平面平行定義知，C對(duì);時(shí)，、有可能相交，D錯(cuò)；因此選B. 7．如果橢圓的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式相減，化簡(jiǎn)得： ，即直線的斜率為，所以，這條弦所在的直線方程是：，即，故選D。 8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個(gè)半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. [答案]　C [解析]該幾何體是由半徑為3，高為3的半個(gè)圓柱去掉半徑為1，高為3的半個(gè)圓柱后剩下的幾何體。其表面積為： S= 故選C。 9、(xx·陜西·理9)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．300 B．216 C．180 D．162 [答案]　C [解析]　本小題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)． 由題意知可分為兩類， (1)選“0”，共有CCCA＝108， (2)不選“0”，共有CA＝72， ∴由分類加法計(jì)數(shù)原理得72＋108＝180，故選C. 10. 已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，其中，記的面積為，則的圖象可能是( ) 【答案】A 【解析】 ，所以，所以選A. 11．已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C. D． 【答案】C 【解析】設(shè)切點(diǎn)為 ,則方程, 有三解, 令,則,因此,選C. 12．若曲線與曲線存在公共切線，則 的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，過曲線上某點(diǎn)出的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．要求曲線上某點(diǎn)的切線方程，需要到兩個(gè)量，一個(gè)是切點(diǎn)，一個(gè)是切線的斜率，分別求得切點(diǎn)和斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可寫出切線方程． 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在題后橫線上. 13．(21010·四川理，13) 的展開式中的第四項(xiàng)是________． [答案]　－ [解析]　6的展開式中第4項(xiàng)為T4＝C23·3＝－. 14．已知雙曲線的一條漸近線被圓C:截得的線段長(zhǎng)為，則__________． 【答案】2 【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，圓心C到直線的距離為，故；故答案為2. 15．函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：?。ī?，0）　． 【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合． 【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在（﹣1，1）上增函數(shù)，由此可以將f（x2）+f（﹣x）＞0轉(zhuǎn)化為，解可得x的取值范圍，即可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意， 函數(shù)f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)， 其導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，則有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)， f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?， 解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范圍是（﹣1，0）； 故答案為：（﹣1，0） 16.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)， 是軸正半軸上一點(diǎn)，以為直徑的圓在第一象限與雙曲線的漸近線交于點(diǎn).若點(diǎn)三點(diǎn)共線，且的面積是面積的7倍，則雙曲線的離心率為__________. 16．【解析】由題意結(jié)合面積的比值可得： ，且： ，據(jù)此可得： ， 將其代入雙曲線漸近線方程可得： ， 設(shè)，則由可得： ， 又，，所以，結(jié)合可得： . 三、解答題： 17. （本題滿分10分） 正項(xiàng)等比數(shù)列中，，。 (1)求的通項(xiàng)公式； (2)記為的前項(xiàng)和。若，求。 解：(1)設(shè)數(shù)列的公比為，∴，∴。由于 則，故， ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：。（5分） (2)由(1)知，， ∴∴。（10分） 18．（本題滿分12分） 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 18．解： (1)由系數(shù)公式可知，＝4.5，＝3.5，3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5 ，＝＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以線性回歸方程為＝0.7x＋0.35.(8分) (2)x＝100時(shí)，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤．.(12分) 19、（本題滿分12分） 已知函數(shù). (1)若在有極小值，求實(shí)數(shù)的值； (2)若在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】(1) ，依題意得，解得，故所求的實(shí)數(shù).（6分） (2)由(1)得.因?yàn)樵诙x域R內(nèi)單調(diào)遞增，所以在R上恒成立， 即恒成立，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.（12分） 20. 如圖，是的中點(diǎn)，四邊形是菱形，平面平面，，，. （I）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：平面； （Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值. 【答案】（I）詳見解析；（Ⅱ） 【解析】 21. （本題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍； （3）在第（2）問的條件下，求面積的最大值. 解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓E上，所以。，解得 橢圓E的方程為。 （2）設(shè)直線的方程為， 代入，整理得. 直線過橢圓的右焦點(diǎn)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根. 記，中點(diǎn)， 則，，， 垂直平分線的方程為. 令，得 . ，.的取值范圍為. 22．已知函數(shù)f（x）=px﹣﹣2lnx． （Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍． 【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（I）求出函數(shù)在x=1處的值，求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值即切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線的方程． （II）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求出二次函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍． （III）通過g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，通過對(duì)p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍． 【解答】解：（I）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2x﹣﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0， f′（x）=2+﹣，曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2﹣2=2． 從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1） 即y=2x﹣2． （II）f′（x）=p+﹣=， 令h（x）=px2﹣2x+p， 要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)， 只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立， 由題意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線， 對(duì)稱軸方程為x=∈（0，+∞）， ∴h（x）min=p﹣，只需p﹣≥0， 即p≥1時(shí)，h（x）≥0，f'（x）≥0 ∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）． （III）∵g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)， ∴x=e時(shí)，g（x）min=2；x=1時(shí)，g（x）max=2e， 即g（x）∈[2，2e]， 當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px2﹣2x+p，其圖象為開口向下的拋物線， 對(duì)稱軸x=在y軸的左側(cè)，且h（0）＜0， 所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)． 當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=﹣2x，因?yàn)閤∈[1，e]，所以h（x）＜0， f′（x）=﹣＜0，此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)． ∴當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減?f（x）max=f（1）=0＜2，不合題意； 當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]?x﹣≥0，所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx． 又由（2）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)， ∴x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne=e﹣﹣2＜2，不合題意； 當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)， f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)， 故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]， 而f（x）max=f（e）=p（e﹣）﹣2lne，g（x）min=2， 即p（e﹣）﹣2lne＞2，解得p＞， 綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍是（，+∞）． 　 遂寧二中高xx第二期半期考試 數(shù)學(xué)試題（理科）參考解答 1．【答案】B 【解析】p： ， .則:. 2．【答案】D【解析】由題意得p＝2，∴．選D． 3．【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，所以A不正確． 對(duì)于B，命題“若x2-5x+6=0，則x=2”的逆否命題是“若x≠2，則x2-5x+6≠0”，所以B不正確． 對(duì)于C，命題“已知，若，則或”的逆否命題是“已知，若 ，則”為真命題，所以C正確． 對(duì)于D，命題“若x=2，則x2-5x+6=0”的否命題是“若x≠2，則x2-5x+6≠0”，所以D不正確．選C 4．【答案】C【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得n=1，S=1，不滿足條件n＞k；n=4，S=6，不滿足條件n＞k；n=7，S=19，不滿足條件n＞k；n=10，S=48，由題意，此時(shí)應(yīng)該滿足條件n=10＞k，退出循環(huán)，輸出S的值為48，故應(yīng)有：7＜k＜10。故選：C． 5.【答案】B【解析】表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部（即圓面），表示的區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形，故所求概率為：。故選B。 6.【答案】B【解析】時(shí)，有可能 ，A錯(cuò)； ，而所以 ，又，所以，B對(duì)；由兩平面平行定義知，C對(duì);時(shí)，、有可能相交，D錯(cuò)；因此選B. 7．【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式相減，化簡(jiǎn)得： ，即直線的斜率為，所以，這條弦所在的直線方程是：，即，故選D。 8.[答案]　C[解析]該幾何體是由半徑為3，高為3的半個(gè)圓柱去掉半徑為1，高為3的半個(gè)圓柱后剩下的幾何體。其表面積為：S=。故選C。 9、[答案]　C[解析]　由題意知可分為兩類，(1)選“0”，共有CCCA＝108，(2)不選“0”，共有CA＝72， ∴由分類加法計(jì)數(shù)原理得72＋108＝180，故選C. 10. 【答案】A【解析】 ，所以，所以選A. 11．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為 ,則方程, 有三解, 令,則,因此,選C. 13．[答案]?。璠解析]　6的展開式中第4項(xiàng)為T4＝C23·3＝－. 14．【答案】2【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，圓心C到直線的距離為，故；故答案為2. 15．【答案】（﹣1，0）【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，則有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)，f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?， 解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范圍是（﹣1，0）；故答案為：（﹣1，0） 16. 【答案】【解析】由題意結(jié)合面積的比值可得： ，且： ，據(jù)此可得： ， 將其代入雙曲線漸近線方程可得： ， 設(shè)，則由可得： ，又，，所以，結(jié)合可得： . 17. 解：(1)設(shè)數(shù)列的公比為，∴，∴。由于 則，故， ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：。（5分） (2)由(1)知，， ∴∴。（10分） 18．解： (1)由系數(shù)公式可知，＝4.5，＝3.5，3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5 ，＝＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以線性回歸方程為＝0.7x＋0.35.(8分) (2)x＝100時(shí)，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤．.(12分) 19、【解析】(1) ，依題意得，解得，故所求的實(shí)數(shù).（6分） (2)由(1)得.因?yàn)樵诙x域R內(nèi)單調(diào)遞增，所以在R上恒成立， 即恒成立，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.（12分） 20. 21. 解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓E上，所以。，解得橢圓E的方程為?！?分 （2）設(shè)直線的方程為， 代入，整理得. 直線過橢圓的右焦點(diǎn)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根. 記，中點(diǎn)， 則，，， 垂直平分線的方程為. 令，得 . ，.的取值范圍為. …………………8分 …………………12分 22．【解答】（I）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)f（x）=2x﹣﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0， f′（x）=2+﹣，曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2﹣2=2． 從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1） 即y=2x﹣2． …………………4分 （II）f′（x）=p+﹣=， 令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)， 只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立， 由題意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線， 對(duì)稱軸方程為x=∈（0，+∞）， ∴h（x）min=p﹣，只需p﹣≥0， 即p≥1時(shí)，h（x）≥0，f'（x）≥0 ∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）． …………………8分 （III）∵g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)， ∴x=e時(shí)，g（x）min=2；x=1時(shí)，g（x）max=2e， 即g（x）∈[2，2e]， 當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px2﹣2x+p，其圖象為開口向下的拋物線， 對(duì)稱軸x=在y軸的左側(cè)，且h（0）＜0， 所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)． 當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=﹣2x，因?yàn)閤∈[1，e]，所以h（x）＜0， f′（x）=﹣＜0，此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)． ∴當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減?f（x）max=f（1）=0＜2，不合題意； 當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]?x﹣≥0，所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx． 又由（2）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)， ∴x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne=e﹣﹣2＜2，不合題意； 當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)， f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)， 故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]， 而f（x）max=f（e）=p（e﹣）﹣2lne，g（x）min=2， 即p（e﹣）﹣2lne＞2，解得p＞， 綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍是（，+∞）．…………………12分