2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練15 5.3.1 空間中的平行與空間角 理

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練15 5.3.1 空間中的平行與空間角 理1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1底面ABC,A1AC=60°,AC=2AA1=4,點(diǎn)D,E分別是AA1,BC的中點(diǎn).(1)證明:DE平面A1B1C;(2)若AB=2,BAC=60°,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.2.(2018河南安陽一模,理19)如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,正四面體(各條棱均相等的三棱錐)ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別在x軸,y軸,z軸上.(1)求證:CD平面OAB;(2)求二面角C-AB-D的余弦值.3.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.4.(2018江蘇鹽城模擬,25)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線AC1與DM所成角的余弦值;(2)求直線AC1與平面AD1M所成角的正弦值.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求證:M為PB的中點(diǎn);(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.6.(2018江蘇卷,22)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.7.如圖1,在邊長為2的菱形ABCD中,BAD=60°,將BCD沿對角線BD折起到BC'D的位置,使平面BC'D平面ABD,E是BD的中點(diǎn),FA平面ABD,且FA=2,如圖2.(1)求證:FA平面BC'D;(2)求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值;(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得C'M平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.參考答案專題突破練15空間中的平行與空間角1.(1)證明 取AC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,E是BC的中點(diǎn),EFAB.ABC-A1B1C1是三棱柱,ABA1B1,EFA1B1,EF平面A1B1C.D是AA1的中點(diǎn),DFA1C,DF平面A1B1C.又EFDF=F,平面DEF平面A1B1C,DE平面A1B1C.(2)解 過點(diǎn)A1作A1OAC,垂足為O,連接OB,側(cè)面ACC1A1底面ABC,A1O平面ABC,A1OOB,A1OOC.A1AC=60°,AA1=2,OA=1,OA1=AB=2,OAB=60°,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cosBAC=3,OB=,AOB=90°,OBAC.分別以O(shè)B,OC,OA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題設(shè)可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D0,-,E設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一個(gè)法向量,則令z1=1,則m=(1,-,1),cos<m,>=,直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值為2.解 (1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.設(shè)OA=a,則AB=a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),如圖:設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則由DA=DB=DC=a,可得(x-a)2+y2+z2=x2+(y-a)2+z2=x2+y2+(z-a)2=2a2,解得x=y=z=a,所以=(a,a,0).又平面OAB的一個(gè)法向量為=(0,0,a),所以=0,所以CD平面OAB.(2)設(shè)F為AB的中點(diǎn),連接CF,DF,則CFAB,DFAB,CFD為二面角C-AB-D的平面角.由(1)知,在CFD中,CF=DF=aa,CD=a,則由余弦定理知cosCFD=,即二面角C-AB-D的余弦值為3.(1)證明 取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90°得BCAD,又BC=AD,所以EF􀱀BC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<,n>|=sin 45°,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)=,則x=,y=1,z=由解得(舍去),所以M,從而設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則即所以可取m=(0,-,2).于是cos<m,n>=因此二面角M-AB-D的余弦值為4.解 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz.M(1,2,0),A(2,0,0),C1(0,2,4),=(1,2,0),=(-2,2,4),所以cos<>=,所以異面直線AC1與DM所成角的余弦值為(2)=(2,0,4),設(shè)平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).則取y=1,得x=-2,z=1,故平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(-2,1,1).于是cos<n,>=,所以直線AC1與平面A1DM所成角的正弦值為5.(1)證明 設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).(2)解 取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)PAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且OP平面PAD,所以O(shè)P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD,所以O(shè)POE.因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)EAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=1,z=于是n=(1,1,),平面PAD的法向量為p=(0,1,0).所以cos<n,p>=由題知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為(3)解 由題意知M,C(2,4,0),設(shè)直線MC與平面BDP所成角為,則sin =|cos<n,>|=所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為6.解 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,則OBOC,OO1OC,OO1OB,以為基底,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以P,從而=(0,2,2),故|cos<>|=因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q,因此=(0,2,2),=(0,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個(gè)法向量,則即不妨取n=(,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為,則sin =|cos<,n>|=,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為7.(1)證明 BC'=C'D,E為BD的中點(diǎn),C'EBD.又平面BC'D平面ABD,且平面BC'D平面ABD=BD,C'E平面ABD.FA平面ABD,FAC'E.又C'E平面BC'D,FA平面BC'D,FA平面BC'D.(2)解 以DB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,EC'所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),=(-1,-,2),=(-1,0,).設(shè)平面FBC'的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則取z=1,則m=(,1,1).平面ABD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),cos<m,n>=則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為(3)解 假設(shè)在線段AD上存在M(x,y,z),使得C'M平面FBC',設(shè)=,則(x,y+,z)=(-1,0)=(-,0),x=-,y=(-1),z=0.而=(-,(-1),-),由m,得,無解.線段AD上不存在點(diǎn)M,使得C'M平面FBC'.