2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)同步學(xué)案 新人教B版選修1-2

第一章 統(tǒng)計案例 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標　1.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.2.會求回歸直線方程，并用回歸直線進行預(yù)報． 1．2×2列聯(lián)表 2×2列聯(lián)表如表所示： B 合計 A n11 n12 n1＋ n21 n22 n2＋ 合計 n＋1 n＋2 n 其中n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22， n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22， n＝n11＋n21＋n12＋n22. 2．最小二乘法 對于一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它們線性相關(guān)，則回歸直線方程為＝x＋，其中＝＝，＝－ . 3．獨立性檢驗 常用統(tǒng)計量 χ2＝來檢驗兩個變量是否有關(guān)系． 類型一　獨立性檢驗 例1　為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 6 女生 10 合計 48 已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為. (1)請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整；(不用寫計算過程) (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的綜合應(yīng)用 解　(1)列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合計 32 16 48 (2)由χ2＝≈4.286. 因為4.286>3.841，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(guān)． 反思與感悟　通過公式χ2＝ 計算出χ2的值，再與臨界值作比較，最后得出結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練1　奧運會期間，為調(diào)查某高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù)，用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人，結(jié)果如下： 是否愿意提供 志愿者服務(wù) 性別 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務(wù)的學(xué)生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)？ 下面的臨界值表供參考： P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗在分類變量中的應(yīng)用 解　(1)由題意，可知男生抽取6×＝4(人)． (2)χ2＝≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)． 類型二　線性回歸分析 例2　某城市理論預(yù)測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示： 年份201x(年) 0 1 2 3 4 人口數(shù)y(十萬) 5 7 8 11 19 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程＝x＋； (3)據(jù)此估計2019年該城市人口總數(shù)． 考點　回歸分析思想的應(yīng)用 題點　回歸分析思想的應(yīng)用 解　(1)散點圖如圖： (2)因為＝＝2， ＝＝10， iyi＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132， ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以＝＝3.2， ＝－ ＝3.6. 所以回歸直線方程為＝3.2x＋3.6. (3)令x＝9，則＝3.2×9＋3.6＝32.4， 故估計2019年該城市人口總數(shù)為32.4(十萬)． 反思與感悟　解決回歸分析問題的一般步驟 (1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖． (2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程． (3)實際應(yīng)用．依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題． 跟蹤訓(xùn)練2　某運動員訓(xùn)練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下： 次數(shù)x 30 33 35 37 39 44 46 50 成績y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散點圖； (2)求出回歸直線方程； (3)計算相關(guān)系數(shù)并進行相關(guān)性檢驗； (4)試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績． 解　(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)x與成績y之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)列表計算： 次數(shù)xi 成績yi x y xiyi 30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50 51 2 500 2 601 2 550 由上表可求得＝39.25，＝40.875，x＝12 656， y＝13 731，xiyi＝13 180， ∴ ＝≈1.041 5， ＝－ ＝－0.003 88， ∴回歸直線方程為y＝1.041 5x－0.003 88. (3)計算相關(guān)系數(shù)r＝0.992 7，因此運動員的成績和訓(xùn)練次數(shù)兩個變量有較強的相關(guān)關(guān)系． (4)由上述分析可知，我們可用回歸直線方程y＝1.041 5x－0.003 88作為該運動員成績的預(yù)報值． 將x＝47和x＝55分別代入該方程可得y≈49和y≈57.故預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57. 1．從某地區(qū)老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示，則(　　) 性別 人數(shù) 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 A.有95%的把握認為老人生活能否自理與性別有關(guān) B．有99%的把握認為老人生活能否自理與性別有關(guān) C．沒有充分理由認為老人生活能否自理與性別有關(guān) D．以上都不對 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 答案　C 解析　經(jīng)計算，得χ2＝ ≈2.925<3.841， 故我們沒有充分的理由認為老人生活能否自理與性別有關(guān)． 2．“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時由高爾頓提出的，他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸．根據(jù)他的結(jié)論，在兒子的身高y與父親的身高x的回歸直線方程＝x＋中，的值(　　) A．在(－1,0)內(nèi) B．等于0 C．在(0,1)內(nèi) D．在[1，＋∞)內(nèi) 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　子代平均身高向中心回歸，應(yīng)為正的真分數(shù)，故選C. 3．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論： ①y與x負相關(guān)且＝2.347x－6.423； ②y與x負相關(guān)且＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結(jié)論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　D 解析?、僦?，回歸方程中x的系數(shù)為正，不是負相關(guān)；④中，回歸方程中x的系數(shù)為負，不是正相關(guān)，所以①④一定不正確． 4．對于回歸直線方程＝x＋，當x＝3時，對應(yīng)的y的估計值是17，當x＝8時，對應(yīng)的y的估計值是22，那么，該回歸直線方程是________，根據(jù)回歸直線方程判斷當x＝________時，y的估計值是38. 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案?。絰＋14　24 解析　首先把兩組值代入回歸直線方程，得 解得 所以回歸直線方程是＝x＋14. 令x＋14＝38，可得x＝24，即當x＝24時，y的估計值是38. 1．建立回歸模型的基本步驟 (1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量． (2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型． (4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． 2．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法. 一、選擇題 1．當χ2>3.841時，認為事件A與事件B(　　) A．有95%的把握有關(guān) B．有99%的把握有關(guān) C．沒有理由說它們有關(guān) D．不確定 答案　A 2．下表顯示出樣本中變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 14 18 19 20 23 25 28 A.線性函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 考點　回歸分析 題點　建立回歸模型的基本步驟 答案　A 解析　畫出散點圖(圖略)可以得到這些樣本點在某一條直線上或在該直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型． 3．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程是＝－0.7x＋，則等于(　　) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 考點　回歸直線方程 題點　樣本中心點的應(yīng)用 答案　D 解析　樣本點的中心為(2.5,3.5)，將其代入回歸直線方程可解得＝5.25. 4．據(jù)統(tǒng)計，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似于線性相關(guān)關(guān)系，對某小組每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間x與數(shù)學(xué)成績y進行數(shù)據(jù)收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求回歸直線方程＝x＋，則點(，)與直線x＋18y＝110的位置關(guān)系為(　　) A．點在直線左側(cè) B．點在直線右側(cè) C．點在直線上 D．無法確定 考點　回歸直線方程 題點　樣本點中心的性質(zhì) 答案　C 解析　由題意知＝18，＝110，樣本點中心為(18,110)在回歸直線上，故110＝18＋，即點(，)在直線上． 5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸直線方程為＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　) A．83% B．72% C．67% D．66% 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　A 解析　將y＝7.675代入回歸直線方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.675÷9.26≈0.83，即約為83%. 6．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān) 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　因為y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x與z負相關(guān)．故選C. 二、填空題 7．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得關(guān)于y與x的回歸直線方程為 ＝1.2x＋0.55，則a＝________. 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　2.15 解析?。?，＝a＋2，將(3，a＋2)代入方程，得a＋2＝3.6＋0.55，解得a＝2.15. 8．某工廠為了新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單位x(元) 4 5 6 7 8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中數(shù)據(jù)，求得回歸直線方程為 ＝－4x＋ ，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為________． 考點　線性回歸分析 題點　回歸直線方程的應(yīng)用 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)得＝6.5，＝80，由點(，)在直線 ＝－4x＋ 上，得 ＝106，即回歸直線方程為 ＝－4x＋106，經(jīng)過計算只有點(9,68)和(5,84)在直線的左下方，故所求概率為＝. 9．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入之間的關(guān)系，隨機調(diào)查了部分工人，得到如下表所示的2×2列聯(lián)表(單位：人)： 月收入2 000元以下 月收入2 000元及以上 總計 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 總計 30 75 105 由2×2列聯(lián)表計算可知，我們有________以上的把握認為“文化程度與月收入有關(guān)系”. P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　97.5% 解析　由表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝≈6.109， 由于6.109>5.024， 所以我們有97.5%以上的把握認為“文化程度與月收入有關(guān)系”． 10．某醫(yī)療研究所為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________． ①在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”； ②若某人未使用該血清，則他在一年中有95%的可能性得感冒； ③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%. 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　① 解析　查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握認為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.95%僅是指“血清與預(yù)防感冒有關(guān)”的可信程度，但也有“在100個使用血清的人中一個患感冒的人也沒有”的可能．故答案為①. 三、解答題 11．某城區(qū)為研究城鎮(zhèn)居民家庭月人均生活費支出和月人均收入的相關(guān)關(guān)系，隨機抽取10戶進行調(diào)查，其結(jié)果如下： 月人均收入x(元) 300 390 420 520 570 月人均生活費y(元) 255 324 335 360 450 月人均收入x(元) 700 760 800 850 1 080 月人均生活費y(元) 520 580 600 630 750 (1)作出散點圖； (2)求出回歸直線方程； (3)試預(yù)測月人均收入為1 100元和月人均收入為1 200元的兩個家庭的月人均生活費． 考點　 題點　 解　(1)作出散點圖如圖所示，由圖可知月人均生活費與月人均收入之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系． (2)通過計算可知＝639，＝480.4， x＝4 610 300，xiyi＝3 417 560， ∴ ＝≈0.659 9， ＝－＝58.723 9， ∴回歸直線方程為 ＝0.659 9x＋58.723 9. (3)由以上分析可知，我們可以利用線性回歸方程 ＝0.659 9x＋58.723 9來計算月人均生活費的預(yù)測值． 將x＝1 100代入，得y≈784.61， 將x＝1 200代入，得y≈850.60. 故預(yù)測月人均收入分別為1 100元和1 200元的兩個家庭的月人均生活費分別為784.61元和850.60元． 12．某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表： 甲廠： 分組 [29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02) [30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14] 頻數(shù) 12 63 86 182 92 61 4 乙廠： 分組 [29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02) [30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14] 頻數(shù) 29 71 85 159 76 62 18 (1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”？ 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 合計 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝72%； 乙廠抽查的產(chǎn)品中有'320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝64%. (2)2×2列聯(lián)表如下： 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 合計 500 500 1 000 χ2＝≈7.353>6.635， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異．” 四、探究與拓展 13．某校高一年級理科有8個班，在一次數(shù)學(xué)考試中成績情況分析如下： 班級 1 2 3 4 5 6 7 8 大于145分的人數(shù) 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于145分的人數(shù) 39 39 38 42 40 42 42 38 附：xiyi＝171，x＝204. 求145分以上人數(shù)y對班級序號x的回歸直線方程．(精確到0.000 1) 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗與回歸直線方程、期望的綜合應(yīng)用 解?。?.5，＝5，xiyi＝171，x＝204， ＝＝ ＝－≈－0.214 3， ＝－＝5－(－0.214 3)×4.5≈5.964 4， ∴回歸直線方程為＝－0.214 3x＋5.964 4. 14