2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)列教案

2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)列教案本章是數(shù)列，特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，有著較為廣泛的實際應(yīng)用如各種產(chǎn)品尺寸常要分成若干等級，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級，比如鞋的尺碼；當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數(shù))，常按等比數(shù)列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等特別值得一提的是，數(shù)列在產(chǎn)品尺寸標(biāo)準(zhǔn)化方面有著重要作用 數(shù)列在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊課本采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用由于不少關(guān)于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數(shù)學(xué)問題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)，學(xué)習(xí)這一章便于對學(xué)生進行綜合訓(xùn)練，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力    本章教學(xué)約需17課時，具體分配如下：3.1 數(shù)列約2課時3.2 等差數(shù)列約2課時3.3 等差數(shù)列前n項和約2課時3.4 等比數(shù)列約2課時3.5 等比數(shù)列前n項和約2課時 研究性課題：分期付款中的有關(guān)計算約3課時小結(jié)與復(fù)習(xí)約4課時 一、內(nèi)容與要求     本章從內(nèi)容上看，可以分為數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列三個部分    在數(shù)列這一部分，主要介紹數(shù)列的概念、分類，以及給出數(shù)列的兩種方法關(guān)于數(shù)列的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎(chǔ)上，給出了一個在映射、函數(shù)觀點下的定義，指出：“從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值”這樣就可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，不僅可以加深對數(shù)列概念的理解，而且有助于運用函數(shù)的觀點去研究數(shù)列關(guān)于給出數(shù)列的兩種方法，其中數(shù)列的通項公式，教材已明確指出它就是相應(yīng)函數(shù)的解析式點破了這一點，數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函數(shù)均有解析表達式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴展遞推是數(shù)學(xué)里的一個非常重要的概念和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本思想實際上也是“遞推”在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數(shù)列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項公式但是，這項內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式等，這樣就會加重學(xué)生負(fù)擔(dān)考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了    在等差數(shù)列這一部分，在講等差數(shù)列的概念時，突出了它與一次函數(shù)的聯(lián)系，這樣就便于利用所學(xué)過的一次函數(shù)的知識來認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)：從圖象上看，為什么表示等差數(shù)列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數(shù)列(從幾何上看兩點可以決定一條直線)在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公式時，突出了數(shù)列的一個重要的對稱性質(zhì)：與任一項前后等距離的兩項的平均數(shù)都與該項相等，認(rèn)識這一點對解決問題會帶來一些方便    在等比數(shù)列這一部分，在講等比數(shù)列的概念和通項公式時也突出了它與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系這不僅可加深對等比數(shù)列的認(rèn)識，而且可以對處理某類問題的指數(shù)函數(shù)方法和等比數(shù)列方法進行比較，從而有利于對這些方法的掌握二、本章的特點     (一)在啟發(fā)學(xué)生思維上下功夫    本章內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、啟發(fā)學(xué)生思考問題的好素材，使學(xué)生在獲得知識的基礎(chǔ)上，觀察和思維能力得到提高    在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學(xué)生的興趣，在本章的“前言”里用了一個有關(guān)國際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子它用一個涉及求等比數(shù)列的前n項和的麥粒數(shù)的計算問題給學(xué)生造成了一個不學(xué)本章知識、難獲問題答案的懸念，又在學(xué)了等比數(shù)列后回過頭來解開這個懸念；在講等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念時，都是先寫出幾個數(shù)列，讓學(xué)生先觀察它們的共同特點，然后在歸納共同特點的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的定義    在推導(dǎo)結(jié)論時，注意發(fā)揮它們在啟發(fā)學(xué)生思維方面的作用例如在講等差數(shù)列前n項和的公式時，沒有平鋪直敘地推導(dǎo)公式，而是先提出問題：1+2+3+.+100 = ?，并指出著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時便很快算出它的結(jié)果，以激發(fā)學(xué)生的求解熱情，然后讓學(xué)生在觀察高斯算法的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)上述數(shù)列的一個對稱性質(zhì)：任意第k項與倒數(shù)第k項的和均等于首末兩項的和，從而為順利地推導(dǎo)求和公式鋪平了道路    在例題、習(xí)題的表述方面，適當(dāng)配備了一些采用疑問形式的題，以增加問題的啟發(fā)成分如3.3 例4：“已知數(shù)列的通項公式為=pn十q，其中p、q是常數(shù)，那么這種數(shù)列是否一定是等差數(shù)列? 如果是，其首項與公差是什么?” 又如:“如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，那么這個數(shù)列有什么特點？”這樣就增加了題目的研究性在講有些例題時，加了一小段“分析”，通過不多的幾句話點明解題的思路如對于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差數(shù)列定義，要判定 是不是等差數(shù)列，只要看  是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)就行了”話雖不多，但突出了 “從定義出發(fā)”這種最基本的證明方法    (二)加強了知識的應(yīng)用    除了上面提到的“研究性課題”多具有應(yīng)用性的特點以外還在教材中適當(dāng)增加了一些應(yīng)用問題如在“閱讀材料”里介紹了有關(guān)儲蓄的一些計算；在所增加的應(yīng)用問題里還涉及房屋拆建規(guī)劃、繞在圓盤上的線的長度等    (三)呼應(yīng)前面的邏輯知識，加強了推理論證的訓(xùn)練    考慮到新大綱更加重視對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，且在前面第一章已介紹了“簡易邏輯”，為進行推理論證作了準(zhǔn)備，緊接著又在第二章“函數(shù)”里進行了一定的推理論證訓(xùn)練，因此本草在推理論證方面有所加強    (四)注意滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法    由于本章處在知識交匯點的地位，所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘教材注意從函數(shù)的觀點去看數(shù)列，在這種整體的、動態(tài)的觀點之下使數(shù)列的一些性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，例如“復(fù)習(xí)參考題B組第2題”便是一個典型例子方程或方程組的思想也是體現(xiàn)得較為充分的，不少的例、習(xí)題均屬這種模式：已知數(shù)列滿足某某條件，求這個數(shù)列這類問題一般都要通過列出方程或方程組然后求解關(guān)于遞推的思想方法，不僅在數(shù)列的遞推公式里有所體現(xiàn)觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運用在本章里得到了充分展示為學(xué)生了解它們各自的作用、相互間的關(guān)系并進行初步運用提供了條件三、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題     (一)把握好本章的教學(xué)要求    由于本章聯(lián)系的知識面廣，具有知識交匯點的特點，在應(yīng)試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學(xué)要求很容易拔高，過早地進行針對“高考” 的綜合性訓(xùn)練，從而影響了基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)和加重了學(xué)生負(fù)擔(dān)事實上，學(xué)習(xí)是一個不斷深化的過程作為在高一(上)學(xué)習(xí)的這一章，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)并進行初步的綜合訓(xùn)練，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過對本章內(nèi)容的不斷應(yīng)用來獲得鞏固和提高最后在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時，通過知識的系統(tǒng)梳理和進一步的綜合訓(xùn)練使對本章內(nèi)容的掌握上升到一個新的檔次為此，本章教學(xué)中應(yīng)特別注意一些容易膨脹的地方例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項就行了；在研究數(shù)列求和問題時，不要涉及過多的技巧.    (二)有意識地復(fù)習(xí)和深化初中所學(xué)內(nèi)容    對于初中學(xué)過的多數(shù)知識在高中沒有系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機會而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)，因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時有意識地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要本章是高中數(shù)學(xué)的第三章，距離初中數(shù)學(xué)較近，與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系最廣，因而教學(xué)中應(yīng)在溝通初、高中數(shù)學(xué)方面盡可能多地作一些努力    (三)適當(dāng)加強本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系    適當(dāng)加強這種聯(lián)系，不僅有利于知識的融匯貫通，加深對數(shù)列的理解，運用函數(shù)的觀點和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識深化一步比如，學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù)，而到本章接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后，就能進一步理解函數(shù)的一般定義，防止了前面內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識上的負(fù)遷移；    本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系涉及以下幾個方面    1數(shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系    相應(yīng)于數(shù)列的函數(shù)是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前n個數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)從這個意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍但數(shù)列與函數(shù)并不能劃等號，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值基于以上聯(lián)系，數(shù)列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的通項公式實際上是相應(yīng)因數(shù)的解析表達式而數(shù)列的遞推公式也是表示相應(yīng)函數(shù)的一種方式，因為只要給定一個自變量的值n，就可以通過遞推公式確定相應(yīng)的f(n)這也反過來說明作為一個函數(shù)并不一定存在直接表示因變量與自變量關(guān)系的解析式     2等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系    從等差數(shù)列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項a是關(guān)于項數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識等差數(shù)列例如，根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數(shù)列   此外，首項為、公差為d的等差數(shù)列前n項和的公式可以寫為：    即當(dāng)時，是n的二次函數(shù)式，于是可以運用二次函數(shù)的觀點和方法來認(rèn)識求等差數(shù)列前n項和的問題如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解的增減變化、極值等情況    3等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系    由于首項為、公比為q的等比數(shù)列的通項公式可以寫成 它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列    (四)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對比，突出兩類數(shù)列的基本特征    等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)(等差還是等比)、通項公式、前n項和的公式、兩個數(shù)的等差(等比)中項具體問題里成等差(等比)數(shù)列的三個數(shù)的設(shè)法等因此在教學(xué)與復(fù)習(xí)時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別順便指出，一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件是它是非零的常數(shù)列    教學(xué)中應(yīng)強調(diào)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”，等比數(shù)列的基本性質(zhì)是“等比”，這是我們研究有關(guān)兩類數(shù)列的主要出發(fā)點，是判斷、證明一個數(shù)列是否為等差 (等比)數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法要讓學(xué)生注意，這里的“等差”(“等比”)，是對任意相鄰兩項來說的    上述基本性質(zhì)，引申出兩類數(shù)列的一種對稱性：即與數(shù)列中的任一項“等距離”的兩項之和(之積)等于該項的2倍(平方).     利用上述性質(zhì)，常使一些問題變得簡便對于學(xué)有余力的學(xué)生，還可指出等差數(shù)列與等比數(shù)列描述了兩種最簡單、最重要的變化：等差數(shù)列描述的是一種絕對均勻變化，等比數(shù)列描述的是一種相對均勻變化非均勻變化通常要轉(zhuǎn)化或近似成均勻變化來進行研究，這就成為教材之所以重點研究等差數(shù)列與等比數(shù)列的主要原因所在    (五)注意培養(yǎng)學(xué)生初步綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法的能力    綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力事實上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進行試探，提出猜想；最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想應(yīng)該指出，能夠充分進行上述研究方法訓(xùn)練的素材在高中數(shù)學(xué)里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓(xùn)練機會，因而在教學(xué)中應(yīng)該充分利用，不要輕易放過    (六)在符號使用上與國家標(biāo)準(zhǔn)一致    為便于與國際交流，關(guān)于量和單位的新國家標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定自然數(shù)集N0， l，23，即自然數(shù)從O開始這與長期以來的習(xí)慣用法不同，會使我們感到別扭但為了不與上述規(guī)定抵觸，教學(xué)中還是要將過去的習(xí)慣用法改變過來，稱數(shù)集1，2，3，為正整數(shù)集.