2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 以三角形為背景的中檔計算題與證明題練習(xí) 湘教版

2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 以三角形為背景的中檔計算題與證明題練習(xí) 湘教版 |類型1|　與特殊三角形相關(guān)的計算、證明題 1.如圖T5-1,在△ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為AC的中點,連接EF交CD于點M,連接AM. (1)求證:EF=AC; (2)若∠BAC=45°,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系. 圖T5-1 2.[xx·連云港] 如圖T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于點F. (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)求證:過點A,F的直線垂直平分線段BC. 圖T5-2 |類型2|　與全等三角形相關(guān)的計算、證明題 3.如圖T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為E. (1)求證:△ABD≌△CAE. (2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論. 圖T5-3 4.[xx·寧波] 如圖T5-4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連接CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE交BC于點F,連接BE. (1)求證:△ACD≌△BCE; (2)當AD=BF時,求∠BEF的度數(shù). 圖T5-4 |類型3|　與相似三角形相關(guān)的計算、證明題 5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點F. (1)求證:△ACD∽△BFD; (2)當tan∠ABD=1,AC=3時,求BF的長. 圖T5-5 6.[xx·東營] (1)某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團遇到這樣一個題目: 如圖T5-6①,在△ABC中,點O在線段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3,BO∶CO=1∶3,求AB的長. 經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn),過點B作BD∥AC,交AO的延長線于點D,通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題(如圖②). 請回答:∠ADB=　　　　°,AB=　　　　.  (2)請參考以上解題思路,解決下列問題: 如圖③,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC⊥AD,AO=3,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的長. 圖T5-6 參考答案 1.解:(1)證明:連接CE.∵CD=CB,點E為BD的中點, ∴CE⊥BD. ∵點F為AC的中點, ∴EF=AC. (2)∵∠BAC=45°,CE⊥BD, ∴△AEC是等腰直角三角形. ∵點F為AC的中點, ∴EF垂直平分AC,∴AM=CM. ∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB, ∴BC=AM+DM. 2.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因為AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD. (2)證明:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因為AB=AC,所以點A,F均在線段BC的垂直平分線上, 即直線AF垂直平分線段BC. 3.解:(1)證明:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACD. ∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠ACD, ∴∠B=∠EAC. ∵AD是BC邊上的中線, ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AE, ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在△ABD和△CAE中, ∵ ∴△ABD≌△CAE(AAS). (2)AB平行且等于DE. 證明:由(1)知△ABD≌△CAE, ∴AE=BD. 又∵AE∥BD, ∴四邊形ABDE為平行四邊形, ∴AB平行且等于DE. 4.解:(1)證明:∵線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE, ∴∠DCE=90°,CD=CE. 又∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DCE, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中,∵ ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°. 又AD=BF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE==67.5°. 5.解:(1)證明:∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°, ∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD. (2)∵∠ADB=90°,tan∠ABD=1, ∴tan∠ABD==1,∴AD=BD. ∵△ACD∽△BFD, ∴==1,∴BF=AC=3. 6.[解析] (1)利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC與△DOB相似,于是得DO=,再利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABD=75°,所以AB=AD=4. (2)同理,可過B作AD的平行線,利用相似可求得DC的長. 解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°. 又∵∠DOB=∠AOC, ∴△DOB∽△AOC, ∴==. ∵AO=3,∴DO=, ∴AD=AO+DO=3+=4. 在△ABD中,∠BAO=30°,∠ADB=75°, ∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°, ∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=4. (2)過點B作BE∥AD交AC于點E. ∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°. 又∵∠AOD=∠EOB, ∴△AOD∽△EOB, ∴==. ∵BO∶OD=1∶3, ∴==. ∵AO=3,∴EO=,∴AE=4. ∵∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE. 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2, 即(4)2+BE2=(2BE)2,得BE=4, ∴AB=AC=8,AD=12. 在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2, 即82+122=CD2,得CD=4.