2022年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第5章 分式與分式方程 4 分式方程教案 （新版）北師大版

2022年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第5章 分式與分式方程 4 分式方程教案 （新版）北師大版 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．理解分式方程的概念． 2．能夠根據(jù)實際問題建立分式方程的數(shù)學(xué)模型，并能歸納出分式方程的描述性定義． 3．經(jīng)歷“實際問題——建立分式方程模型”的過程，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識． 二、重難點目標(biāo) 【教學(xué)重點】 分式方程的概念． 【教學(xué)難點】 根據(jù)題意列分式方程． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P125的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程． 2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程． 3．甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工一件，乙加工服裝24件所用的時間與甲加工服裝20件所用的時間相同．如何用方程來描述其中數(shù)量間的相等關(guān)系？ 解：設(shè)甲每天加工服裝x件，可得方程＝. 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是(　　) A．＝　　B．＝＋3 C．＋1＝　　D．＝1－ 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)如何判斷一個方程是否是分式方程？ 【分析】A、 B中方程分母不含未知數(shù)，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)；D中方程分母含未知數(shù)x，故是分式方程． 【答案】D 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)判斷一個方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)．注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母． 【例2】某工廠生產(chǎn)一種零件，計劃在20天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)4個，則15天完成且還多生產(chǎn)10個．設(shè)原計劃每天生產(chǎn)x個，根據(jù)題意可列分式方程為(　　) A．＝15　　B．＝15 C．＝15　　D．＝15 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)題中存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【分析】原計劃每天生產(chǎn)x個，則實際每天生產(chǎn)(x＋4)個，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：(原計劃20天生產(chǎn)的零件個數(shù)＋10個)÷實際每天生產(chǎn)的零件個數(shù)＝15天，根據(jù)等量關(guān)系列出方程為＝15. 【答案】A 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程． 活動2　 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1．下列方程是分式方程的是(　A　) A．＝　　 B．＝－2 C．2x2＋x－3＝0　 D．2x－5＝ 2．運動會上，八(3)班拉拉隊買了兩種價格的雪糕，其中甲種雪糕共花費40元，乙種雪糕共花費30元，甲種雪糕比乙種雪糕多20根，乙種雪糕的價格是甲種雪糕價格的1.5倍，若設(shè)甲種雪糕的價格為x元，根據(jù)題意可列方程為(　B　) A．－＝20　　B．－＝20 C．－＝20　　D．－＝20 3．一個兩位數(shù)的個位數(shù)字是4，如果把個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的比值是.如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？ 解：設(shè)對調(diào)前這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，可得方程＝. 4．某校學(xué)生到離學(xué)校15 km處植樹，部分學(xué)生騎自行車出發(fā)40 min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，汽車速度是自行車速度的3倍，全體學(xué)生同時到達．如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？ 解：設(shè)自行車的速度為x km/h，則汽車的速度為3x km/h，可得方程＝＋. 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點評) 1．分式方程的概念 2．列分式方程 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！ 第2課時　分式方程的解法 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．掌握解分式方程的基本方法和步驟． 2．經(jīng)歷和體會解分式方程的基本步驟，使學(xué)生進一步了解“轉(zhuǎn)化”思想，能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的方法． 二、重難點目標(biāo) 【教學(xué)重點】 解分式方程的基本方法和步驟． 【教學(xué)難點】 檢驗分式方程的解． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P126～P127的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．使分式方程分母為零的根，稱為分式方程的增根．產(chǎn)生增根的原因是在方程兩邊同乘了一個使分母為零的整式． 2．解分式方程的一般步驟是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)驗根；(4)小結(jié)． 3．解方程：＝. 解：x＝9. 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】解方程： (1)＝；　(2)＝－3. 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)將分式方程化為一元一次方程進行求解． 【解答】(1)方程兩邊同乘x(x－2)， 得5(x－2)＝7x，解得x＝－5. 檢驗：把x＝－5代入最簡公分母， 得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解． (2)方程兩邊同乘(x－2)， 得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2. 檢驗：把x＝2代入最簡公分母， 得x－2＝0，∴原方程無解． 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解分式方程的步驟：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)檢驗；(4)寫出方程的解．注意檢驗有兩種方法，一是代入原方程，二是代入去分母時乘的最簡公分母，一般是代入最簡公分母檢驗． 活動2　 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1．若方程＝＋有增根，則增根為(　A　) A．0　 B．2　　 C．0或2　 D．1 2．如果關(guān)于x的分式方程＝1－有增根，則m的值為(　B　) A．－3　 B．－2　　 C．－1　 D．3 3．關(guān)于x的方程＝1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是　a＜－1且a≠－2. 4．解方程： (1)＝；　(2)＝＋1； (3)＝；　(4)－＝0. 解：(1)x＝1.　(2)x＝－. (3)原方程無解．　(4)x＝. 活動3　 拓展延伸(學(xué)生對學(xué)) 【例2】若關(guān)于x的分式方程＋＝無解，求m的值． 【互動探索】先把分式方程化為整式方程，再分兩種情況討論求解：一元一次方程無解與分式方程有增根． 【解答】方程兩邊都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①當(dāng)m－1＝0時，此方程無解，此時m＝1. ②方程有增根，則x＝2或x＝－2. 當(dāng)x＝2時，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4. 當(dāng)x＝－2時，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6. ∴m的值是1，－4或6. 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數(shù)，分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數(shù)，而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數(shù)． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點評) 1．分式方程的解法 方程兩邊同乘最簡公分母，化為整式方程求解，再檢驗． 2．分式方程的增根 (1)解分式方程會產(chǎn)生增根的原因； (2)分式方程檢驗的方法． 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！ 第3課時　分式方程的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．通過創(chuàng)設(shè)日常生活中的情境，經(jīng)歷探索分式方程應(yīng)用的過程，會檢驗根的合理性． 2．經(jīng)歷“實際問題情境——建立分式方程模型——解分式方程——檢驗解的合理性”的過程，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 二、重難點目標(biāo) 【教學(xué)重點】 分式方程的應(yīng)用． 【教學(xué)難點】 在實際問題中建立分式方程的模型． 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P129的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1列分式方程解應(yīng)用題的步驟： (1)審題； (2)設(shè)未知數(shù)； (3)找出相等關(guān)系，列出分式方程； (4)解這個分式方程； (5)檢驗，看方程的解是否滿足方程并符合題意； (6)寫出答案． 2．某單位向一所希望小學(xué)贈送1080件文具，現(xiàn)用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，已知每個B型包裝箱比A型包裝箱多裝15件文具，單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用12個．設(shè)B型包裝箱每個可以裝x件文具，根據(jù)題意列方程為?。剑?2　. 3．某市政府打算把一塊荒地建成公園，動用了一臺甲型挖土機，4天挖完了這塊地的一半．后又加一臺乙型挖土機，兩臺挖土機一起挖，結(jié)果1天就挖完了這塊地的另一半．乙型挖土機單獨挖這塊地需要幾天？ 甲型挖土機4天完成了一半，那么甲型挖土機每天挖÷4＝，如果設(shè)乙型挖土機單獨挖這塊地需要x天，那么一天挖；兩臺挖土機一天共挖＋；兩臺一天完成另一半．所以列方程為＋＝；解得x＝，即乙單獨挖需天． 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題 活動1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】抗洪搶險時，需要在一定時間內(nèi)筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完成，而乙隊由于人少，單獨做則超期3個小時才能完成．現(xiàn)甲、乙兩隊合作2個小時后，甲隊又有新任務(wù)，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成．求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時？ 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)設(shè)甲隊單獨完成需要x小時，則乙隊需要(x＋3)小時，根據(jù)等量關(guān)系“甲工作效率×2＋乙工作效率×甲隊單獨完成需要時間＝1”列方程． 【解答】設(shè)甲隊單獨完成需要x小時，則乙隊需要(x＋3)小時． 由題意，得＋＝1.解得x＝6. 經(jīng)檢驗x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 故甲單獨完成全部工程需6小時，乙單獨完成全部工程需9小時． 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關(guān)系． 【例2】從廣州到某市，可乘坐普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍． (1)求普通列車的行駛路程； (2)若高鐵的平均速度(千米/時)是普通列車平均速度(千米/時)的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，求高鐵的平均速度． 【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(1)根據(jù)高鐵的行駛路程是400千米和普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍，兩數(shù)相乘即可；(2)設(shè)普通列車的平均速度是x千米/時，根據(jù)乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，列出分式方程，然后求解即可． 【解答】(1)根據(jù)題意，得400×1.3＝520(千米)． 故普通列車的行駛路程是520千米． (2)設(shè)普通列車的平均速度是x千米/時，則高鐵的平均速度是2.5x千米/時． 根據(jù)題意，得－＝3，解得x＝120. 經(jīng)檢驗，x＝120是原方程的解． 則高鐵的平均速度是120×2.5＝300(千米/時)． 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決問題的關(guān)鍵是分析題意，找到關(guān)鍵描述語和合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 活動2　 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué)) 1．小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家，她去時經(jīng)過環(huán)灣高速公路，全程約84千米，返回時經(jīng)過跨海大橋，全程約45千米．小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的1.2倍，所用時間卻比返回時多20分鐘．求小麗所乘汽車返回時的平均速度． 解：設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時． 根據(jù)題意，得－＝. 解得x＝75， 經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解． 故小麗所乘汽車返回時的平均速度是75千米/時． 2．某廠原計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺，由于改進了技術(shù)，每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%，結(jié)果提前兩天完成任務(wù)．求改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺． 解：設(shè)改進技術(shù)前每天生產(chǎn)x臺． 根據(jù)題意，得＝＋2. 解得x＝10. 經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，則1.5x＝15. 所以改進技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備15臺． 3．一列火車從車站開出，預(yù)計行程為450千米，當(dāng)它出發(fā)3小時后，因特殊情況而多停一站，因此耽誤30分鐘，后來把速度提高了20%，結(jié)果準(zhǔn)時到達目的地，求這列火車原來的速度． 解：設(shè)這列火車原來的速度為x千米/時． 根據(jù)題意，得＝3＋＋. 解得x＝75. 經(jīng)檢驗，x＝75是原方程的解． 所以這列火車原來的速度為75千米/時． 4．甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實驗器材，若甲單獨整理需要40分鐘完工，若甲、乙共同整理20分鐘后，乙需要再單獨整理20分鐘才能完工． (1)乙單獨整理需要多少分鐘完工？ (2)若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？ 解：(1)設(shè)乙單獨整理需要x分鐘完工． 根據(jù)題意，得＋＝1. 解得x＝80. 經(jīng)檢驗，x＝80是原分式方程的解． 故乙單獨整理需要80分鐘完工． (2)設(shè)甲至少整理y分鐘才能完工． 根據(jù)題意，得＋≥1. 解得y≥25. 故甲至少整理25分鐘才能完工． 活動3　 拓展延伸(學(xué)生對學(xué)) 【例3】佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果暢銷，第二次購買時，每千克的進價比第一次提高了10%，用1452元所購買的數(shù)量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出現(xiàn)高溫天氣，水果不易保鮮，為減少損失，便降價50%售完剩余的水果． (1)第一次水果的進價是每千克多少元？ (2)該果品店在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？ 【互動探索】(1)根據(jù)第二次購買水果數(shù)多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先計算兩次購買水果的數(shù)量，賺錢情況：銷售的水果量×(實際售價－當(dāng)次進價)，兩次合計，就可以求得是盈利還是虧損了． 【解答】(1)設(shè)第一次購買的單價為x元，則第二次的單價為1.1x元． 根據(jù)題意，得－＝20. 解得x＝6. 經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解． 故第一次水果的進價為每千克6元． (2)第一次購買水果1200÷6＝200(千克)． 第二次購買水果200＋20＝220(千克)． 第一次賺錢為200×(8－6)＝400(元)， 第二次賺錢為100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)． 所以兩次共盈利400－12＝388(元)． 【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)本題具有一定的綜合性，應(yīng)該把問題分解成購買水果和賣水果兩部分分別考慮． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點評) 列分式方程解應(yīng)用題的步驟—— 練習(xí)設(shè)計 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！