2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 專題跟蹤訓(xùn)練29 概率、隨機(jī)變量及其分布列 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 專題跟蹤訓(xùn)練29 概率、隨機(jī)變量及其分布列 理一、選擇題1(2018·廣東茂名一模)在1,2,3,6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則數(shù)字2是這三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是()A. B. C. D.解析在1,2,3,6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，基本事件總共有4個(gè)，分別為(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)數(shù)字2是三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1個(gè)數(shù)字2是三個(gè)不同數(shù)字的平均數(shù)的概率P.故選A.答案A2(2018·廣東深圳一模)兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒(méi)有分到書，另一人分得3本書的概率為()A. B. C. D.解析兩名同學(xué)分3本不同的書，基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)，共8個(gè)，其中一人沒(méi)有分到書，另一人分到3本書的基本事件有2個(gè)，一人沒(méi)有分到書，另一人分得3本書的概率P.故選B.答案B3(2018·河南濮陽(yáng)二模)如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為()A. B. C. D.解析燈泡不亮包括兩種情況：四個(gè)開(kāi)關(guān)都開(kāi)，下邊的2個(gè)都開(kāi)，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開(kāi)，燈泡不亮的概率是×××××××××，燈亮和燈不亮是兩個(gè)對(duì)立事件，燈亮的概率是1，故選C.答案C4(2018·河南安陽(yáng)一模)在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q到三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于的概率是()A. B1C. D.解析設(shè)邊長(zhǎng)為a的正三角形為三角形ABC，如圖所示：ABa，S三角形ABC·a2·sina2，滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于或等于的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，各部分組合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)半徑為的半圓，S陰影··2，使點(diǎn)Q到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于的概率P11.故選B.答案B5在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出五個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字4是取出的五個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)事件A為“數(shù)字4是取出的五個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)”“從八個(gè)數(shù)字中取出五個(gè)數(shù)字”的種數(shù)為nCC56.對(duì)事件A，先考慮數(shù)字4在五個(gè)數(shù)的中間位置，再考慮分別從數(shù)字1,2,3和5,6,7,8中各取兩個(gè)數(shù)字，則事件A包含的基本事件種數(shù)為mCC3×618.由古典概型的概率計(jì)算公式，得P(A).答案B6(2018·重慶一中一模)將4個(gè)不同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，則在至少有一個(gè)盒子為空的條件下，恰好有兩個(gè)盒子為空的概率是()A. B. C. D.解析根據(jù)題意，將4個(gè)不同的小球裝入4個(gè)不同的盒子的放法為44256.若沒(méi)有空盒，有A24(種)放法，有1個(gè)空盒的放法有CCA144(種)，有3個(gè)空盒的放法有C4種，則至少有一個(gè)盒子為空的放法有25624232(種)，故“至少有一個(gè)盒子為空”的概率p1，恰好有兩個(gè)盒子為空的放法有25624144484(種)，故“恰好有兩個(gè)盒子為空”的概率p2，則在至少有一個(gè)盒子為空的條件下，恰好有兩個(gè)盒子為空的概率p.故選A.答案A二、填空題7在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為_(kāi)解析解法一：設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則所求的概率為P(B|A)，因?yàn)镻(AB)，P(A)，所以P(B|A).解法二：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，還有99件產(chǎn)品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率為.答案8. (2018·青島模擬)如圖所示的陰影部分是由x軸，直線x1及曲線yex1圍成的，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是_解析由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，所求概率為.答案9(2018·皖南八校聯(lián)考)某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù)，若選出的男生人數(shù)為，則的方差D()_.解析從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù)，選出的男生人數(shù)可能為1,2,3，其中，P(1)，P(2)，P(3).所以的數(shù)學(xué)期望E()1×2×3×2，D()(12)2×(22)2×(32)2×.答案三、解答題10(2018·廣州綜合測(cè)試)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A).所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.11某學(xué)校組織知識(shí)測(cè)試，設(shè)置A，B，C三組測(cè)試項(xiàng)目供參賽同學(xué)選擇甲、乙、丙三名同學(xué)參加比賽，其中甲參加A組測(cè)試，甲通過(guò)測(cè)試的概率為；乙參加B組測(cè)試，乙通過(guò)測(cè)試的概率為；丙參加C組測(cè)試，C組共有6道試題，丙只能答對(duì)其中4道題根據(jù)規(guī)則，丙只能且必須選擇4道題作答，至少答對(duì)3道才能通過(guò)測(cè)試(1)求丙通過(guò)測(cè)試的概率(2)記A，B，C三組通過(guò)測(cè)試的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望解(1)設(shè)丙通過(guò)測(cè)試為事件A，則P(A).(2)依題意得，1，1，1，的可能取值為0,1,2,3，則有P(0)××，P(1)××××××，P(2)××××××，P(3)××.則的分布列為0123P所以的期望E()0×1×2×3×.12(2018·南昌第一次質(zhì)檢)交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：(1)按照我國(guó)機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定，a950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值解(1)由題意可知，X的可能取值為0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：P(X0.9a)，P(X0.8a)，P(X0.7a)，P(Xa)，P(X1.1a)，P(X1.3a).所以X的分布列為X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP所以E(X)0.9a×0.8a×0.7a×a×1.1a×1.3a×942.(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P3C2.設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為5000,10000.所以Y的分布列為Y500010000P所以E(Y)5000×10000×5000，所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為100×E(Y)500000元