2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算習(xí)題 理 新人教A版(I)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0的值為________. 解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1.根據(jù)題意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e. 答案　e 2.設(shè)y＝x2ex，則y′＝________. 解析　y′＝2xex＋x2ex＝ex. 答案　(2x＋x2)ex 3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，則f′(1)等于________. 解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1. 答案?。? 4.(xx·蘇北四市模擬)設(shè)曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝________. 解析　由y′＝2ax，又點(1，a)在曲線y＝ax2上，依題意得k＝y(tǒng)′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1. 答案　1 5.(xx·湛江調(diào)研)曲線y＝e－2x＋1在點(0，2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為________. 解析　y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲線y＝e－2x＋1在點(0，2)處的切線方程為y＝－2x＋2，易得切線與直線y＝0和y＝x的交點分別為(1，0)，，故圍成的三角形的面積為×1×＝. 答案　 6.(xx·長春質(zhì)量檢測)若函數(shù)f(x)＝，則f′(2)＝________. 解析　∵f′(x)＝，∴f′(2)＝. 答案　 7.(xx·南師附中調(diào)研)如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，其中g(shù)′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________. 解析　由圖形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案　0 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是______. 解析　y＝ax2＋的導(dǎo)數(shù)為y′＝2ax－，直線7x＋2y＋3＝0的斜率為－.由題意得解得則a＋b＝－3. 答案　－3 二、解答題 9.已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限. (1)求P0的坐標(biāo)； (2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程. 解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1. 當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝－1時，y＝－4. 又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標(biāo)為(－1，－4). (2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為－. ∵l過切點P0，點P0的坐標(biāo)為(－1，－4)， ∴直線l的方程為y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0. 10.已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1，0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2. (1)求直線l2的方程； (2)求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積. 解　(1)y′＝2x＋1，f′(1)＝3，所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 設(shè)直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點B(b，b2＋b－2)，則直線l2的方程為y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)， 即y＝(2b＋1)x－b2－2. 因為l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，b＝－. 所以直線l2的方程為y＝－x－. (2)解方程組得 又直線l1，l2與x軸交點坐標(biāo)分別為(1，0)，， S＝××＝. (建議用時：20分鐘) 11.(xx·陜西卷)設(shè)曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為________. 解析　y′＝ex，曲線y＝ex在點(0，1)處的切線的斜率k1＝e0＝1，設(shè)P(m，n)，y＝(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－ (x>0)，曲線y＝ (x>0)在點P處的切線斜率k2＝ － (m>0)，因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點P的坐標(biāo)為(1，1). 答案　(1，1) 12.若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x， ∴f′(x)＝x－a＋(x＞0). ∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點， 即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號). 答案　[2，＋∞) 13.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點A(e，1)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析　函數(shù)f(x)在A(e，1)處的切線方程為y＝x.故問題等價于直線y＝x與函數(shù)y＝(x＋2)·(x－a)在(－∞，1)上有2個公共點，即方程x＝(x＋2)(x－a)在(－∞，1)上有2個不等實根.整理得a＝(x＜1，x≠－2).令g(x)＝(x＜1，x≠－2)，g′(x)＝，令g′(x)＝＝0，得x1＝－2－，x2＝－2＋，并且函數(shù)在(－∞，x1)及(x2，1)上單調(diào)遞增，在(x1，－2)及(－2，x2)上單調(diào)遞減，又g(x1)＝－3－2；g(x2)＝－3＋2；g(1)＝，結(jié)合函數(shù)圖象知a的取值范圍為(－∞，－3－2)∪ 答案　(－∞，－3－2)∪ 14.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程. 解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2， ∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點 P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0.