2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第41課 數(shù)列的遞推關(guān)系與求和要點導(dǎo)學(xué)

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第41課 數(shù)列的遞推關(guān)系與求和要點導(dǎo)學(xué)數(shù)列的遞推關(guān)系已知數(shù)列an中,其中Sn為數(shù)列an的前n項和,并且Sn+1=4an+2(nN*),a1=1.(1) 設(shè)bn=an+1-2an(nN*),求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2) 設(shè)數(shù)列cn滿足cn=(nN*),求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列.思維引導(dǎo)(1) 首先條件中Sn+1=4an+2如何處理,通常要歸一,即一是轉(zhuǎn)化為相鄰三項的關(guān)系;二是轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系,這里是轉(zhuǎn)化為相鄰三項的關(guān)系,接下來根據(jù)等比數(shù)列的定義,易得數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2) 根據(jù)等差數(shù)列的定義,結(jié)合(1)不難證明數(shù)列bn是等比數(shù)列.證明(1) 因為Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2,兩式相減得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),因為bn=an+1-2an,則有bn+1=2bn(nN*),又a1=1,S2=4a1+2Þa2=5,從而b1=a2-2a1=5-2=30,由此可知,數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列.(2) 由(1)知bn=3·2n-1,因為cn=,所以cn+1-cn=-=,將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(nN*),由此可知,數(shù)列cn是公差為、首項c1=的等差數(shù)列.在數(shù)列an中,已知a1=1,an+1=,求an.思維引導(dǎo)對遞推關(guān)系的兩邊取倒數(shù),可以得到與之間的遞推關(guān)系.運用累加法公式,先求出的通項公式,再求出an的通項公式,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運用.解答原式可化為-=n,所以-=n-1,-=n-2, -=1,累加得-=(n-1)+(n-2)+1,所以=+1,所以an=.精要點評求數(shù)列的通項公式,特別是由遞推公式給出數(shù)列時,除迭加、迭代、累乘外,還應(yīng)注意配湊變形法.變形的主要目的是湊出容易解決問題的等差或等比數(shù)列,然后再結(jié)合等差、等比數(shù)列的運算特點解決原有問題.證明問題,可根據(jù)遞推公式寫出前幾項,由此猜測歸納出通項公式,再證明.利用裂項相消法求數(shù)列的和在等比數(shù)列an中,已知S3=,S6=.(1) 求數(shù)列an的通項公式; (2) 記bn=log4a3+log4a4+log4an+2,且cn=,試比較與4的大小.思維引導(dǎo)構(gòu)造方程求數(shù)列an的首項與公比,然后求通項公式;由an求bn,再求cn,求cn的和時,因出現(xiàn)式子,故可用裂項相消法求和.解答(1) 若q=1,則S6=2S3,這與已知S3=且S6=不符,所以q1.因此有化簡得1+q3=9,即q=2,所以a1=,則數(shù)列an的通項公式為an=×2n-1=2n-2.(2) bn=log4a3+log4a4+log4an+2=(log2a3+log2a4+log2an+2) =(1+2+3+n)=,所以cn=4,則=4=4=.又-4=<0,所以.精要點評裂項求和法是求數(shù)列各項之和的常用方法.一般地,對于首項與公差均不為0的等差數(shù)列an,有=,則=,以及有結(jié)論=.特別地,對于an=,有ai=;對于an=,有在等差數(shù)列an中,a7=4,a19=2a9.(1) 求an的通項公式;(2) 設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解答(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d.因為所以解得a1=1,d=. 所以an的通項公式為an=.(2) bn=-, 所以Sn=+=.利用錯位相減法求數(shù)列的和設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足Sn=2-an,n=1,2,3,.(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 若數(shù)列bn滿足b1=1,且bn+1=bn+an,求數(shù)列bn的通項公式;(3) 設(shè)cn=n (3-bn),求數(shù)列cn的前n項和為Tn.思維引導(dǎo)求通項公式時,要根據(jù)遞推關(guān)系進(jìn)行;再由an求出bn的通項公式;對于cn,由于cn=2n,是等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式,故可采取錯位相減法求和.解答(1) 當(dāng)n=1時,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1.因為Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2.兩式相減得an+1-an+Sn+1-Sn=0,即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an.因為an0,所以=(nN*).所以數(shù)列an是首項a1=1、公比為的等比數(shù)列,且an=(nN*).(2) 因為bn+1=bn+an,所以bn+1-bn=,從而有b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=,bn-bn-1=(n=2,3,).將這n-1個等式相加,得bn-b1=1+=2-2.又因為b1=1,所以bn=3-2(n=1,2,3,).(3) 因為cn=n (3-bn)=2n,所以Tn=2.Tn=2.-,得Tn=2+-2n.故Tn=4-4n=8-4n=8-(n=1,2,3,).精要點評(1) 考查了根據(jù)an與Sn的關(guān)系求通項公式an.在已知Sn求an,或是由an與Sn的關(guān)系式求an時,往往要先考慮n=1的特殊情況,然后再結(jié)合an=Sn-Sn-1求通項公式.(2) 考查了累加法求通項公式an.在出現(xiàn)關(guān)系an=an-1+2n或an=an-1+2n或類似關(guān)系時,?？紤]累加法求通項,必要時還要考慮累乘法.(3) 在求數(shù)列的和時采取了錯位相減法.當(dāng)數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列進(jìn)行對應(yīng)相乘時,可采取這種方法求數(shù)列的和.(xx·淮安、宿遷摸底)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),其前n項和Sn=(an-1)(an+2),nN*.(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 設(shè)bn=(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項和T2n.規(guī)范答題(1) 當(dāng)n=1時,S1=(a1-1)(a1+2),解得a1=-1或a1=2.因為a1>0,所以a1=2.(2分)當(dāng)n2時,Sn=(an-1)(an+2),Sn-1=(an-1-1)(an-1+2).兩式相減得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.(6分)又因為an>0,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1.所以an=n+1.(8分)(2) T2n=-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+a2n-2a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1=2(a2+a4+a2n).(11分)又a2,a4,a2n是首項為3、公差為2的等差數(shù)列,所以a2+a4+a2n=n2+2n.故T2n=2n2+4n(14分)1. 在數(shù)列an中,a1=1,an+1=(n=1,2,3,),則a10= .答案解析對an+1=取倒數(shù),得=+1,即-=1,由此可知數(shù)列是以為首項、1為公差的等差數(shù)列,從而=+9×1=10,因此a10=.2. 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列 的前100項和為.答案解析由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)=n,所以=-,所以+=-+-+-=1-=.3. 在數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an+2n,則數(shù)列an的通項公式是an= .答案n·2n-1解析因為an+1=2an+2n,同除以2n+1,得=+,即-=,所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列,所以=,所以an=n·2n-1.4. 已知正項數(shù)列an滿足-(2n-1)an-2n=0.(1) 求數(shù)列an的通項公式an;(2) 令bn=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答(1) 由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是正項數(shù)列,所以an=2n.(2) 由(1)知an=2n,故bn=,所以Tn=.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第81-82頁).