2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第八章 立體幾何初步學(xué)案

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第八章 立體幾何初步學(xué)案 理解空間點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系；會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范地表述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．了解公理1，2，3及公理3的推論1，2，3，并能正確判定；了解平行公理和等角定理． 　　理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，能判定空間兩直線的位置關(guān)系；了解異面直線所成的角． 1. (必修2P24練習(xí)2改編)用集合符號(hào)表示“點(diǎn)P在直線l外，直線l在平面α內(nèi)”為________． 答案：P?l，l?α 解析：考查點(diǎn)、線、面之間的符號(hào)表示． 2. (必修2P28練習(xí)2改編)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝45°，則∠PQR＝________． 答案：45°或135° 解析：由等角定理可知∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)，故答案為45°或135°. 3. (原創(chuàng))若直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平面α外，則________．(填序號(hào)) ① 直線l上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)； ② 直線l上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)； ③ 直線l上所有點(diǎn)都在平面α外； ④ 直線l上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)． 答案：④ 解析：由已知得直線l?α，故直線l上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)． 4. (必修2P31習(xí)題15改編)如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，＝＝λ，＝＝μ，則下列結(jié)論中不正確的是________．(填序號(hào)) ① 當(dāng)λ＝μ時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形； ② 當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形EFGH是梯形； ③ 當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形EFGH一定不是平行四邊形； ④ 當(dāng)λ＝μ時(shí)，四邊形EFGH是梯形． 答案：④ 解析：由＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，同理得FG∥BD 且 ＝μ，當(dāng)λ＝μ時(shí)，EH∥FG且EH＝FG.當(dāng)λ≠μ時(shí)，EH∥FG，但EH≠FG，只有④錯(cuò)誤． 5. (必修2P30練習(xí)2改編)在正方體A1B1C1D1ABCD中，與AB異面的棱有______________________． 答案：A1D1，DD1，CC1，C1B1 1. 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)． 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線． 公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面． 2. 空間兩條直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 共面情況 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 相交直線 在同一平面內(nèi) 有且只有一個(gè) 平行直線 在同一平面內(nèi) 沒有 異面直線 不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 沒有 3. 平行直線的公理及定理 (1) 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． (2) 定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等． 4. 異面直線的判定 (1) 判定定理：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線． (2) 符號(hào)表示：若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線． 5. 異面直線所成的角 (1) 定義：設(shè)a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角． (2) 范圍：. (3) 若異面直線a，b所成的角是直角，就稱異面直線a，b互相垂直．記作a⊥b. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　平面的基本性質(zhì)) ,　　　　　1)　如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F和平面ABCD的交線． 解：如圖，在平面ADD1A1內(nèi)延長(zhǎng)D1F與DA交于一點(diǎn)P，則P∈平面BED1F. ∵ DA?平面ABCD，∴ P∈平面ABCD， ∴ 點(diǎn)P是平面ABCD與平面BED1F的一個(gè)公共點(diǎn)． 又點(diǎn)B是兩平面的一個(gè)公共點(diǎn)， ∴ PB為兩平面的交線． 如圖，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由． 解：顯然點(diǎn)S是平面SBD和平面SAC的一個(gè)公共點(diǎn)，即點(diǎn)S在交線上，由于AB>CD，則分別延長(zhǎng)AC和BD交于點(diǎn)E，如圖所示． ∵ E∈AC，AC?平面SAC，∴ E∈平面SAC. 同理，可證E∈平面SBD， ∴ 點(diǎn)E在平面SBD和平面SAC的交線上，連結(jié)SE， 則直線SE是平面SBD和平面SAC的交線． ,　　　　　　　　　2　共點(diǎn)、共線、共面問題) ,　　　　　2)　如圖，在四邊形ABCD和四邊形ABEF中，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，點(diǎn)G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1) 求證：四邊形BCHG是平行四邊形． (2) C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ (1) 證明：因?yàn)辄c(diǎn)G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，所以GH∥AD，GH＝AD.又BC∥AD，BC＝AD， 所以GH∥BC，且GH＝BC， 所以四邊形BCHG為平行四邊形． (2) 解：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE∥FA，BE＝FA，點(diǎn)G為FA的中點(diǎn)知， BE∥FG，BE＝FG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，BG＝CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 變式訓(xùn)練 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O.求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 證明：如圖，連結(jié)AC，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC. 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1. 所以EF∥A1C1，故A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． ,　　　　　　　　　3　空間直線位置關(guān)系問題) ,　　　　　3)　如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．求證： (1) AM和CN共面； (2) D1B和CC1是異面直線． 證明：(1) 如圖，連結(jié)MN，A1C1，AC. ∵ 點(diǎn)M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，∴ MN∥A1C1. ∵ A1A綊C1C，∴ 四邊形A1ACC1為平行四邊形， ∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC， ∴ A，M，N，C四點(diǎn)共面，即AM和CN共面． (2) ∵ ABCDA1B1C1D1是正方體， ∴ B，C，C1，D1不共面． 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線， 則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， ∴ D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾． ∴ 假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線． 變式訓(xùn)練 已知空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD的中點(diǎn)． (1) 求證：BC與AD是異面直線； (2) 求證：EG與FH相交． 證明：(1) 假設(shè)BC與AD不是異面直線，則BC與AD共面． 不妨設(shè)它們所共平面為α，則B，C，A，D∈α， 所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾． 所以BC與AD是異面直線． (2) 如圖，連結(jié)AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC， 因此EF∥HG；同理EH∥FG，則EFGH為平行四邊形． 又EG，F(xiàn)H是平行四邊形EFGH的對(duì)角線， 所以EG與FH相交． 1. 在下列命題中，不是公理的是________．(填序號(hào)) ① 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線； ② 過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； ③ 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)； ④ 平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行． 答案：④ 解析：④不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；①②③是平面的基本性質(zhì)公理． 2. 一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ① AB⊥EF； ② AB與CM所成的角為60°； ③ EF與MN是異面直線； ④ MN∥CD. 以上結(jié)論中正確的是________．(填序號(hào)) 答案：①③ 解析：把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確． 3. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條． 答案：無(wú)數(shù) 解析：在A1D1，C1D1上任取一點(diǎn)P，M， 過點(diǎn)P，M與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)α∩CD＝Q，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性知，有無(wú)數(shù)條直線與直線A1D1，EF，CD都相交． 4. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1及DD1的中點(diǎn)．求證：∠BGC＝∠FD1E. 證明：∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體的棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)， ∴ CE平行且等于GD1，BF平行且等于GD1，則四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形．則GC∥D1E，GB∥D1F. ∵ ∠BGC與∠FD1E對(duì)應(yīng)兩邊的方向分別相同， ∴ ∠BGC＝∠FD1E. 5. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AA1的中點(diǎn)．求證： (1) C1，O，M三點(diǎn)共線； (2) E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (3) CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 證明：(1) ∵ C1，O，M∈平面BDC1，又C1，O，M∈平面A1ACC1，由公理3知，點(diǎn)C1，O，M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，∴ C1，O，M三點(diǎn)共線． (2) ∵ 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，A1A的中點(diǎn)，∴ EF∥A1B. ∵ A1B∥CD1，∴ EF∥CD1.∴ E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (3) 由(2)可知，E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．∵ EF∥A1B，EF＝A1B，∴ EF＝D1C，∴ D1F，CE為相交直線，記交點(diǎn)為P.則P∈D1F?平面ADD1A1，P∈CE?平面ADCB，∴ P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD，∴ CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 1. 如圖，在正方體ABCDEFMN中，①BM與ED平行；②CN與BM是異面直線；③CN與BE是異面直線；④DN與BM是異面直線．以上四個(gè)命題中，正確的命題是________．(填序號(hào)) 答案： ②④ 解析：觀察圖形，根據(jù)異面直線的定義可知，BM與ED是異面直線，CN與BM是異面直線，CN與BE不是異面直線，DN與BM是異面直線，故①③錯(cuò)誤，②④正確．即正確的命題是②④. 2. 在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角． 解：如圖，取AC的中點(diǎn)P.連結(jié)PM，PN， 則PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN為直線AB與CD所成的角(或所成角的補(bǔ)角)． 則∠MPN＝30°或∠MPN＝150°. 若∠MPN＝30°，因?yàn)镻M∥AB， 所以∠PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補(bǔ)角)． 又AB＝CD，所以PM＝PN，則△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝75°， 即直線AB與MN所成的角為75°. 若∠MPN＝150°，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝15°， 即直線AB與MN所成的角為15°. 故直線AB和MN所成的角為75°或15°. 3. 已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證： (1) 四邊形MNA1C1是梯形； (2) ∠DNM＝∠D1A1C1. 證明：(1) 如圖，連結(jié)AC， 在△ACD中，∵ 點(diǎn)M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)， ∴ MN是三角形ACD的中位線， ∴ MN∥AC，MN＝AC. 由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1， ∴ MN∥A1C1且MN＝A1C1，即MN≠A1C1， ∴ 四邊形MNA1C1是梯形． (2) 由(1)知MN∥A1C1.又∵ ND∥A1D1， ∴ ∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)． 而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形中的銳角， ∴ ∠DNM＝∠D1A1C1. 1. 證明點(diǎn)線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給部分條件先確定一個(gè)平面，然后證明其余的點(diǎn)或線都在平面內(nèi)；二是將所有元素分成幾個(gè)部分，然后分別確定幾個(gè)平面，再證這些平面重合；三是采用反證法． 2. 證明三線共點(diǎn)的方法：通常先證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線是分別經(jīng)過這兩條直線的兩個(gè)平面的一條交線． 3. 異面直線的證明方法：一是應(yīng)用判定定理(過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)；二是采用反證法．判定異面直線時(shí)通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理． 4. 對(duì)于異面直線所成的角，要注意角的范圍是以及兩條直線垂直的定義，平移法是解決此類問題的關(guān)鍵． [備課札記] 第2課時(shí)　直線與平面的位置 關(guān)系(1) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)109～110頁(yè)、(理)111～112頁(yè)) 了解直線與平面的位置關(guān)系，了解線面平行的有關(guān)概念；除了能熟練運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理外，還能運(yùn)用定義判斷位置關(guān)系． ① 要熟練掌握線面平行的定義、判定及性質(zhì).② 要注意線線關(guān)系、線面關(guān)系以及面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化．對(duì)于直線與平面所成的角，點(diǎn)到面的距離了解即可． 1. (必修2P35練習(xí)2改編)給出下列條件：① l∥α；② l與α至少有一個(gè)公共點(diǎn)；③ l與α至多有一個(gè)公共點(diǎn)．則能確定直線l在平面α外的條件為________．(填序號(hào)) 答案：①③ 解析：直線l在平面α外：l∥α或直線l與平面α僅有一個(gè)交點(diǎn)． 2. (必修2P35練習(xí)7改編)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是________． 答案：平行或異面 解析：因?yàn)锳B∥CD，AB?平面α，CD?平面α，所以CD∥平面α，所以CD與平面α內(nèi)的直線可能平行，也可能異面． 3. (必修2P35練習(xí)4改編)在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，與A1F1平行的平面是________． 答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D 解析：在正六棱柱中，易知A1F1∥AF，AF?平面ABCDEF，且A1F1?平面ABCDEF，所以A1F1∥平面ABCDEF.同理，A1F1∥C1D1，C1D1?平面CC1D1D，且A1F1?平面CC1D1D，所以A1F1∥平面CC1D1D.其他各面與A1F1均不滿足直線與平面平行的條件．故答案為平面ABCDEF與平面CC1D1D. 4. (原創(chuàng))P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題： ① OM∥平面PCD；② OM∥平面PBC；③ OM∥平面PDA；④ OM∥平面PBA. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是________． 答案：2 解析：由已知OM∥PD，得OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③. 5. (必修2P41習(xí)題5改編)在四面體ABCD中，點(diǎn)M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________． 答案：平面ABC、平面ABD 解析：如圖，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交CD于E，連結(jié)BN并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，由＝＝，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD. 1. 一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有以下三種： 位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點(diǎn) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 符號(hào)表示 a?α a∩α＝A a∥α 圖形表示 2. 直線與平面平行 判定定理 性質(zhì)定理 文字 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行 符號(hào) 圖形 作用 線線平行?線面平行 線面平行?線線平行


,　　　　　　　　　1　基本概念辨析)
,　　　　　1)　下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為　　　?。? ① 直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α； ② 若直線a在平面α外，則a∥α； ③ 若直線a∥b，直線b?α，則a∥α； ④ 若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線. 答案：1 解析：∵ 直線l雖與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴ l不一定平行于α.∴ ①是假命題.∵ 直線a在平面α外，包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴ a和α不一定平行.∴ ②是假命題.∵ 直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無(wú)公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴ a不一定平行于α.∴ ③是假命題.∵ a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴ a可以與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行.∴ ④是真命題.綜上可知，真命題的個(gè)數(shù)為1. 下列命題中正確的是　　　?。?（填序號(hào)） ① 若直線a不在平面α內(nèi)，則a∥α； ② 若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α； ③ 若直線l與平面α平行，則l與α內(nèi)的任意一條直線都平行； ④ 若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)； ⑤ 平行于同一平面的兩直線可以相交. 答案：④⑤ 解析：如圖①，a∩α＝A時(shí)，a?α，∴ ①錯(cuò)誤；直線l與α相交時(shí)，l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，∴ ②錯(cuò)誤；l∥α?xí)r，α內(nèi)的直線與l平行或異面，∴ ③錯(cuò)誤；l∥α，l與α無(wú)公共點(diǎn)，∴ l與α內(nèi)任一直線都無(wú)公共點(diǎn)，④正確；如圖②，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，∴ ⑤正確.

,　　　　　　　　　2　線面平行的判定)
,　　　　　2)　如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).求證：PA∥平面BDE.
證明：如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE.
在平行四邊形ABCD中，O是AC的中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn)， ∴ OE∥PA. ∵ PA?平面BDE，OE?平面BDE， ∴ PA∥平面BDE.
變式訓(xùn)練 如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中， E，F(xiàn)分別是A1B，AC1的中點(diǎn).求證：EF∥平面ABC.
證明：如圖，連結(jié)A1C，因?yàn)槿庵鵄1B1C1ABC中，四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以點(diǎn)F在A1C上，且為A1C的中點(diǎn). 在△A1BC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)， 所以EF∥BC. 因?yàn)锽C?平面ABC，EF?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點(diǎn).求證：AP∥平面C1MN.
證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中， 因?yàn)辄c(diǎn)M，P分別為棱AB，C1D1的中點(diǎn)，所以AM＝PC1. 又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1， 所以四邊形AMC1P為平行四邊形.從而AP∥C1M. 又AP? 平面C1MN，C1M?平面C1MN， 所以AP∥平面C1MN.
,　　　　　　　　　3　線面平行的性質(zhì))
,　　　　　3)　如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn).若點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長(zhǎng).
解：（解法1）如圖①，取AB1的中點(diǎn)P，連結(jié)NP，PM.
① 因?yàn)辄c(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，所以NP∥BB1. 因?yàn)镃M∥BB1，所以NP∥CM，所以NP與CM共面. 因?yàn)镃N∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP. 所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CM＝NP＝CC1＝2. （解法2）如圖②，設(shè)NC與CC1確定的平面交AB1于點(diǎn)P，連結(jié)NP，PM.
② 因?yàn)镃N∥平面AB1M，CN?平面CNPM，平面AB1M∩平面CNPM＝PM，所以CN∥MP. 因?yàn)锽B1∥CM，BB1?平面CNPM，CM?平面CNPM，所以BB1∥平面CNPM. 又BB1?平面ABB1，平面ABB1∩平面CNPM＝NP， 所以BB1∥NP，所以CM∥NP，所以四邊形CNPM為平行四邊形. 因?yàn)辄c(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，所以CM＝NP＝BB1＝CC1＝2. （解法3）如圖③，取BB1的中點(diǎn)Q，連結(jié)NQ，CQ.
③ 因?yàn)辄c(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，所以NQ∥AB1. 因?yàn)镹Q?平面AB1M，AB1?平面AB1M， 所以NQ∥平面AB1M. 因?yàn)镃N∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC?平面NQC， 所以平面NQC∥平面AB1M. 因?yàn)槠矫鍮CC1B1∩平面NQC＝QC，平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，所以CQ∥MB1. 因?yàn)锽B1∥CC1，所以四邊形CQB1M是平行四邊形， 所以CM＝B1Q＝CC1＝2. （解法4）如圖④，分別延長(zhǎng)BC，B1M，設(shè)交點(diǎn)為S，連結(jié)AS.
④ 因?yàn)镃N∥平面AB1M，CN?平面ABS， 平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS. 由于AN＝NB，所以BC＝CS. 又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1， 所以CM＝BB1＝CC1＝2. 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE∥平面BCC1B1.求證：點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
證明：連結(jié)BC1，因?yàn)镺E∥平面BCC1B1， OE?平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以O(shè)E∥BC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是平行四邊形，AC1∩A1C＝O， 所以點(diǎn)O是AC1的中點(diǎn)， 所以＝＝1，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
1. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，點(diǎn)M，N，P分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn).求證：A1N∥平面AMP.
證明：取C1B1的中點(diǎn)D，連結(jié)A1D，DN，DM，B1C.由于點(diǎn)D，M分別為C1B1，CB的中點(diǎn)，所以DM∥CC1且DM＝CC1，故DM∥AA1且DM＝AA1，則四邊形A1AMD為平行四邊形，所以A1D∥AM.又A1D?平面APM，AM?平面APM，所以A1D∥平面APM.由于D，N分別為C1B1，CC1的中點(diǎn)，所以DN∥B1C. 又點(diǎn)P，M分別為BB1，CB的中點(diǎn)，所以MP∥B1C.
所以DN∥MP. 又DN?平面APM，MP?平面APM， 所以DN∥平面APM. 由于A1D∩DN＝D，所以平面A1DN∥平面APM. 由于A1N?平面A1DN，所以A1N∥平面APM. 2. 如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)M，N分別是AE，CD的中點(diǎn).求證：直線MN∥平面EBC.
證明：取BE中點(diǎn)F，連結(jié)CF，MF. 因?yàn)辄c(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以MF綊AB. 又點(diǎn)N是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn)，所以NC綊AB，所以MF綊NC， 所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF. 又MN?平面EBC，CF?平面EBC，所以MN∥平面EBC. 3. 如圖，在正三棱柱ABCA′B′C′中，D是AA′上的點(diǎn)，點(diǎn)E是B′C′的中點(diǎn)，且A′E∥平面DBC′.試判斷D點(diǎn)在AA′上的位置，并給出證明.
解：點(diǎn)D為AA′的中點(diǎn). 證明如下：如圖，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，EF，
設(shè)EF與BC′交于點(diǎn)O，連結(jié)DO，BE，C′F， 在正三棱柱ABCA′B′C′中，點(diǎn)E是B′C′的中點(diǎn)，所以 EF∥BB′∥AA′，且EF＝BB′＝AA′， 所以四邊形A′EFA是平行四邊形. 因?yàn)锳′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO， 所以A′E∥DO. 在正三棱柱ABC－A′B′C′中，點(diǎn)E是B′C′的中點(diǎn)， 所以EC′∥BC且EC′＝BF，所以四邊形BFC′E是平行四邊形，所以點(diǎn)O是EF的中點(diǎn). 因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛′EFA中， A′E∥DO， 所以點(diǎn)D為AA′的中點(diǎn). 4. 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E是A1C1的中點(diǎn).求證：BE∥平面ACD1.
證明：如圖，連結(jié)B1D1交A1C1于點(diǎn)E，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OD1. ∵ 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形， ∴ D1E∥BO且D1E＝BO， ∴ 四邊形BED1O是平行四邊形， ∴ BE∥OD1. ∵ OD1?平面ACD1，BE?平面ACD1， ∴ BE∥平面ACD1.
5. 如圖，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，點(diǎn)M，N分別是棱PA，CD的中點(diǎn).求證：PC∥平面BMN.
證明：設(shè)AC∩BN＝O，連結(jié)MO，AN. 因?yàn)锳B＝CD，AB∥CD，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)， 所以AB＝CN，AB∥CN， 所以四邊形ABCN為平行四邊形， 所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 又點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，所以MO∥PC. 因?yàn)镸O?平面BMN，PC? 平面BMN， 所以PC∥平面BMN.

1. 如圖，在三棱錐PABC中，點(diǎn)M，N分別為AB，PA的中點(diǎn).求證：PB∥平面MNC. 證明：因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)， 所以MN∥PB. 因?yàn)镸N?平面MNC，PB? 平面MNC， 所以PB∥平面MNC. 2. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求證：BC1∥ 平面A1CD.
證明：連結(jié)AC1，設(shè)交A1C于點(diǎn)O，連結(jié)OD. ∵ 四邊形AA1C1C是矩形，∴ O是AC1的中點(diǎn). ∵ 在△ABC1中， O，D分別是AC1，AB的中點(diǎn)， ∴ OD∥BC1. ∵ OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD， ∴ BC1∥平面A1CD. 3. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P∈BB1（P不與B，B1重合）.PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求證：MN∥平面ABCD.
證明：連結(jié)AC，A1C1， 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中， AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
∴ 四邊形ACC1A1是平行四邊形. ∴ AC∥A1C1. ∵ AC?平面A1BC1，A1C1? 平面A1BC1， ∴ AC∥平面A1BC1. ∵ AC?平面PAC，平面A1BC1∩ 平面PAC＝MN， ∴ AC∥MN. ∵ MN?平面ABCD， AC?平面ABCD， ∴ MN∥平面ABCD.
1. 判定或證明直線與平面平行的常用方法 （1） 利用直線與平面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）. （2） 利用直線與平面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）. （3） 利用平面與平面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α?a∥β）. 注意不管用哪種方法，都應(yīng)將相應(yīng)的條件寫全，缺一不可. 2. 直線與平面平行的性質(zhì)定理的作用是證線線平行，應(yīng)用時(shí)常常需構(gòu)造輔助平面，和在平面幾何中添加輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時(shí)要確認(rèn)這個(gè)平面的存在性. 3. 證明平行問題時(shí)要注意“轉(zhuǎn)化思想”的應(yīng)用，要抓住線線、線面、面面之間的平行關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“空間問題”與“平面問題”之間的轉(zhuǎn)化. [備課札記] 第3課時(shí)　直線與平面的位置 關(guān)系（2） （對(duì)應(yīng)學(xué)生用書（文）111～113頁(yè)、（理）113～115頁(yè)）

　　了解直線與平面的位置關(guān)系，了解空間垂直的有關(guān)概念；熟練運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理. 　　要注意線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化.可以按照要證明的目標(biāo)重新整理知識(shí)點(diǎn).
1. （必修2P38練習(xí)2（3）改編）已知直線l，a，b，平面α.若l∥a，a⊥α，b⊥α，則l與b的位置關(guān)系是　　　　Ｗ. 答案：平行 解析：由線面垂直的性質(zhì)可知，若a⊥α，b⊥α，則a∥b.因?yàn)閘∥a，所以l∥b. 2. 已知兩條異面直線平行于一平面，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是　　　?。?（填序號(hào)） ① 平行；② 垂直；③ 斜交；④ 不能確定. 答案：② 解析：設(shè)a，b為異面直線，a∥平面α，b∥平面α，直線l⊥a，l⊥b.過a作平面β∩α＝a′，則a∥a′，∴ l⊥a′.同理過b作平面γ∩α＝b′，則l⊥b′.∵ a，b異面，∴ a′與b′相交，∴ l⊥α. 3. 設(shè)l，m表示直線，m是平面α內(nèi)的任意一條直線，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的　　　　　條件.（選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 答案：充要 解析：由線面垂直的定義知，直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，則直線與平面垂直，說明是充分條件，反之，直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，說明是必要條件，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的充要條件. 4. （必修2P42習(xí)題9改編）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A，B的任一點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為　　　?。?
答案：4 解析：因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB與△PAC是直角三角形；因?yàn)镻A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC?平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形.故直角三角形的個(gè)數(shù)為4. 5. （必修2P38練習(xí)3改編）在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝1，則點(diǎn)C到平面B1BDD1的距離為　　　　Ｗ. 答案： 解析：連結(jié)AC，則AC⊥BD，
又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1， 所以點(diǎn)C到平面B1BDD1的距離為AC＝.
1. 直線與平面垂直的定義：如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α互相垂直，記作a⊥α，直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足Ｗ. 2. 結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直. 3. 直線與平面垂直 判定定理 性質(zhì)定理 文字 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 符號(hào) 圖形

作用 線線垂直?線面垂直 線面垂直?線線平行 4. 點(diǎn)到平面的距離 從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離. 5. 直線和平面的距離 一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離. 6. 直線與平面所成的角 （1） 斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段. （2） 射影
過平面α外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投影（簡(jiǎn)稱射影），線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內(nèi)的射影，如圖. （3） 直線和平面所成的角 平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角.特別地，如果直線和平面垂直，那么就說這條直線與平面所成的角是直角；如果直線與平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角. [備課札記]


,　　　　　　　　　1　直線與平面垂直的判定)
,　　　　　1)　如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O.若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求證：OD⊥平面A1C1FE.
證明：連結(jié)BD，因?yàn)橹崩庵蠨D1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1.　
因?yàn)榈酌鍭1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1. 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因?yàn)镺D?平面BB1D1D，所以O(shè)D⊥A1C1. 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE，所以O(shè)D⊥平面A1C1FE.
變式訓(xùn)練 如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn).若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC.
證明：因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MN∥PB.又因?yàn)镻A⊥PB，所以PA⊥MN. 因?yàn)锳C＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以CM⊥平面PAB. 因?yàn)镻A?平面PAB，所以CM⊥PA. 又因?yàn)镻A⊥MN，MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM＝M， 所以PA⊥平面MNC.
,　　　　　　　　　2　直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用)
,　　　　　2)　如圖，在四棱錐PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB. （1） 求證：CD⊥AP； （2） 若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB.
證明：（1） 因?yàn)锳D⊥平面PAB，AP?平面PAB， 所以AD⊥AP. 因?yàn)锳P⊥AB，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD. 因?yàn)镃D?平面ABCD，所以CD⊥AP. （2） 因?yàn)镃D⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD　①. 因?yàn)锳D⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD. 因?yàn)锳P⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD?、? 由①②得CD∥AB， 因?yàn)镃D?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB.
變式訓(xùn)練 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交.求證： （1） EF⊥平面AB1C； （2） EF∥BD1.
證明：（1） 在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB∥CD，且A1B1＝AB＝CD， 所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1D∥B1C. 因?yàn)镋F⊥A1D，所以EF⊥B1C. 又因?yàn)镋F⊥AC，AC∩B1C＝C，AC?平面AB1C，B1C ?平面AB1C， 所以EF⊥平面AB1C. （2） 連結(jié)BD，則BD⊥AC.
因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以DD1⊥AC. 因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1?平面BDD1B1，BD?平面BDD1B1， 所以AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1， 所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC?平面AB1C，B1C?平面AB1C， 所以BD1⊥平面AB1C. 又EF⊥平面AB1C， 所以EF∥BD1.
,　　　　　　　　　3　直線與平面垂直的探索題)
,　　　　　3)　在正三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC＝BB1. （1） 若P是CC1上任一點(diǎn)，求證：AP不可能與平面BCC1B1垂直； （2） 試在棱CC1上找一點(diǎn)M，使MB⊥AB1.
（1） 證明：（反證法）假設(shè)AP⊥平面BCC1B1， ∵ BC?平面BCC1B1，∴ AP⊥BC. 又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP?平面ACC1A1，CC1?平面ACC1A1， ∴ BC⊥平面ACC1A1.而AC?平面ACC1A1， ∴ BC⊥AC，這與△ABC是正三角形矛盾， 故AP不可能與平面BCC1B1垂直. （2） 解：M為CC1的中點(diǎn). ∵ 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1， ∴ 四邊形BCC1B1是正方形. ∵ 點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ∴ △B1BD≌△BCM， ∴ ∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB. ∵ ∠BB1D＋∠BDB1＝， ∴ ∠CBM＋∠BDB1＝，∴ BM⊥B1D. ∵ △ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)， ∴ AD⊥BC. ∵ 平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC， ∴ AD⊥平面BB1C1C. ∵ BM?平面BB1C1C，∴ AD⊥BM. ∵ AD∩B1D＝D，∴ BM⊥平面AB1D. ∵ AB1?平面AB1D，∴ MB⊥AB1. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
解：如圖，連結(jié)A1B，CD1，則A1B⊥AB1. ∵ 在正方體ABCDA1B1C1D1中，D1A1⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴ A1D1⊥AB1.
又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B?平面A1BCD1， ∴ AB1⊥平面A1BCD1. 又D1E?平面A1BCD1，∴ AB1⊥D1E. 于是使D1E⊥平面AB1F等價(jià)于使D1E⊥AF. 連結(jié)DE，易知D1D⊥AF， 若有AF⊥平面D1DE，只需證DE⊥AF. ∵ 四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF， 即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F.
1. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，問BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說明理由.
解：假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD.連結(jié)AQ. ∵ PA⊥平面ABCD，且DQ?平面ABCD， ∴ PA⊥DQ. ∵ PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ?平面PAQ，PA?平面PAQ， ∴ DQ⊥平面PAQ. ∵ AQ?平面PAQ，∴ AQ⊥DQ. 設(shè)BQ＝x，則CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝（a－x）2＋1. ∵ AQ2＋DQ2＝AD2，∴ x2＋1＋（a－x）2＋1＝a2， 即x2－ax＋1＝0?。?）. 方程（*）的判別式Δ＝a2－4. ∵ a>0， ∴ 當(dāng)Δ<0，即0<a<2時(shí)，方程（*）無(wú)實(shí)根； 當(dāng)Δ＝0，即a＝2時(shí)，方程（*）有惟一實(shí)根，此時(shí)x＝1； 當(dāng)Δ>0，即a>2時(shí)，方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2.由于x1＋x2＝a>0，x1x2＝1>0，則這兩個(gè)實(shí)根均為正數(shù). 因此，當(dāng)0<a<2時(shí)，BC邊上不存在點(diǎn)Q使PQ⊥QD； 當(dāng)a＝2時(shí)，BC邊上存在惟一一點(diǎn)Q（即BC的中點(diǎn)），使PQ⊥QD； 當(dāng)a>2時(shí)，BC邊上存在不同的兩點(diǎn)Q，使PQ⊥QD. 2. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝AA1. （1） 求證：AC1∥平面BDE； （2） 求證：A1E⊥平面BDE.
證明：（1） 連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE. 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AA1∥CC1且AA1＝CC1，由EC＝AA1，得EC＝CC1， 即點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，于是在△CAC1中，AC1∥OE. 因?yàn)镺E?平面BDE，AC1?平面BDE，所以AC1∥平面BDE. （2） 連結(jié)B1E.設(shè)AB＝a，則在△BB1E中，BE＝B1E＝a，BB1＝2a. 所以BE2＋B1E2＝BB，所以B1E⊥BE. 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BE?平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE. 因?yàn)锽1E∩A1B1＝ B1，B1E?平面A1B1E，A1B1?平面A1B1E，所以BE⊥平面A1B1E. 因?yàn)锳1E?平面A1B1E，所以A1E⊥BE. 同理A1E⊥DE. 又因?yàn)锽E∩DE＝E，BE ?平面BDE，DE ?平面BDE， 所以A1E⊥平面BDE. 3. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA＝AD.求證： （1） CD⊥PD； （2） EF⊥平面PCD.
證明：（1） ∵ PA⊥底面ABCD，∴ CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD， ∴ CD⊥平面PAD，∴ CD⊥PD. （2） 如圖，取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，F(xiàn)G.
∵ 點(diǎn)G，F(xiàn)分別是PD，PC的中點(diǎn)， ∴ GF綊CD，∴ GF綊AE， ∴ 四邊形AEFG是平行四邊形，∴ AG∥EF. ∵ PA＝AD，G是PD的中點(diǎn)， ∴ AG⊥PD，∴ EF⊥PD. ∵ CD⊥平面PAD，AG?平面PAD， ∴ CD⊥AG，∴ EF⊥CD. ∵ PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，∴ EF⊥平面PCD. 4. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證： （1） DE∥平面AA1C1C； （2） BC1⊥AB1.
證明：（1） 由題意知，點(diǎn)E為B1C的中點(diǎn)，又點(diǎn)D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC. 因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. （2） 因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1. 因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC. 因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 5. 如圖，在四邊形ABEF中，AF⊥BF，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直. （1） 求證：AF⊥平面CBF； （2） 設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF.
證明：（1） 因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，在矩形ABCD中，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB， 所以CB⊥平面ABEF. 又AF?平面ABEF，則AF⊥CB. 又AF⊥BF，且BF∩BC＝B，BF，BC?平面CBF， 所以AF⊥平面CBF. （2） 設(shè)DF的中點(diǎn)為N，如圖，連結(jié)AN，NM，則MN綊CD. 又AO綊CD，則MN綊AO， 所以四邊形MNAO為平行四邊形， 所以O(shè)M∥AN. 又AN?平面DAF，OM?平面DAF， 所以O(shè)M∥平面DAF.

【示例】?。ū绢}模擬高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，滿分14分） 如圖，四棱錐PABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
（1） 求證：AP∥平面MBD； （2） 若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD. 學(xué)生錯(cuò)解：證明：（1） 如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM. 則點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).又點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥PA. 因?yàn)镺M?平面MBD，AP?平面MBD，
所以AP∥平面MBD. （2） 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD. 因?yàn)锳D⊥PB，所以AD⊥平面PBD. 因?yàn)锽D?平面PBD，所以AD⊥BD. 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PD⊥BD. 因?yàn)锽D⊥AD，所以BD⊥平面PAD. 錯(cuò)因分析：本題（2）中利用直線與平面垂直的判定定理時(shí)，條件交待不全，導(dǎo)致失分. 審題引導(dǎo)： 使用有關(guān)定理，必須寫全條件，并且不能出現(xiàn)多余條件，嚴(yán)格按照定理描述進(jìn)行表達(dá). 規(guī)范解答：
證明：（1） 如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM. 因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).（2分） 又點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥PA.（4分） 因?yàn)镺M?平面MBD，AP?平面MBD， 所以AP∥平面MBD.（6分） （2） 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PD⊥AD.（8分） 因?yàn)锳D⊥PB，PD∩PB＝P，PD?平面PBD，PB?平面PBD， 所以AD⊥平面PBD.（10分） 因?yàn)锽D?平面PBD，所以AD⊥BD.（12分） 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PD⊥BD. 因?yàn)锽D⊥AD，AD∩PD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD， 所以BD⊥平面PAD.（14分）
1. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn).若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝　　　?。?
答案：90° 解析：∵ 在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1，∴ B1C1⊥MN. ∵ MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，B1M?平面C1B1M，B1C1?平面C1B1M，∴ MN⊥平面C1B1M，∴ MN⊥C1M，∴ ∠C1MN＝90°. 2. 如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE＝BC，AE⊥BE， M為CE上一點(diǎn)，且BM⊥平面ACE. （1） 求證：AE⊥BC； （2） 如果點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ADE.
證明：（1） 因?yàn)锽M⊥平面ACE，AE?平面ACE， 所以BM⊥AE. 因?yàn)锳E⊥BE，BE∩BM＝B，BE，BM?平面EBC， 所以AE⊥平面EBC. 因?yàn)锽C?平面EBC，所以AE⊥BC. （2） 取DE中點(diǎn)H，連結(jié)MH，AH. 因?yàn)锽M⊥平面ACE，EC?平面ACE，所以BM⊥EC. 因?yàn)锽E＝BC，所以點(diǎn)M為CE的中點(diǎn). 所以MH為△EDC的中位線.所以MH綊DC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC綊AB， 故MH綊AB. 因?yàn)辄c(diǎn)N為AB中點(diǎn)，所以MH綊AN.所以四邊形ANMH為平行四邊形，所以MN∥AH. 因?yàn)镸N?平面ADE，AH?平面ADE，所以MN∥平面ADE. 3. 如圖，已知矩形ABCD，過A點(diǎn)作SA⊥平面ABCD，再過A點(diǎn)作AE⊥SB交SB于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EF⊥SC交SC于點(diǎn)F.
（1） 求證：AF⊥SC； （2） 若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD. 證明：（