2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練24 矩形、菱形、正方形練習(xí) 湘教版

2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練24 矩形、菱形、正方形練習(xí) 湘教版 |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.[xx·益陽(yáng)] 下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是 (　　) A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)角線互相垂直 C.對(duì)角線相等 D.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 2.[xx·濱州] 下列命題,其中是真命題的為(　　) A.一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D.一組鄰邊相等的矩形是正方形 3.[xx·蘭州] 如圖K24-1,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ADB=30°,AB=4,則OC= (　　) 圖K24-1 A.5 B.4 C.3.5 D.3 4.[xx·湘潭] 如圖K24-2,已知點(diǎn)E,F,G,H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn),則四邊形EFGH是(　　) 圖K24-2 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 5.[xx·日照] 如圖K24-3,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,添加下列條件,不能判定四邊形ABCD是菱形的是 (　　) 圖K24-3 A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 6.[xx·宿遷] 如圖K24-4,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,∠BAD=60°,則△OCE的面積是 (　　) 圖K24-4 A. B.2 C.2 D.4 7.[xx·天津] 如圖K24-5,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是 (　　) 圖K24-5 A.AB B.DE C.BD D.AF 8.[xx·徐州] 若菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6 cm和8 cm,則其面積為　　　　 cm2.  9.[xx·樂(lè)山] 如圖K24-6,四邊形ABCD是正方形,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使AE=AC,連接CE,則∠BCE的度數(shù)是　　　　.  圖K24-6 10.[xx·株洲] 如圖K24-7,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點(diǎn),則PQ的長(zhǎng)度為　　　　.  圖K24-7 11.[xx·錦州] 如圖K24-8,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,連接OH,若OB=4,S菱形ABCD=24,則OH的長(zhǎng)為　　　　.  圖K24-8 12.[xx·常德] 如圖K24-9,正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上,若設(shè)AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系為　　　　　　　　　.  圖K24-9 13.[xx·義烏] 如圖K24-10為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)G在對(duì)角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F,若小敏行走的路程為3100 m,則小聰行走的路程為　　　　m.  圖K24-10 14.[xx·吉林] 如圖K24-11,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且BE=CF,求證:△ABE≌△BCF. 圖K24-11 15.[xx·湘西州] 如圖K24-12,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE,CE. (1)求證:△ADE≌△BCE; (2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長(zhǎng). 圖K24-12 |拓展提升| 16.[xx·紹興] 小敏思考解決如下問(wèn)題: 原題:如圖K24-13①,點(diǎn)P,Q分別在菱形ABCD的邊BC,CD上,∠PAQ=∠B,求證:AP=AQ. (1)小敏進(jìn)行探索,若將點(diǎn)P,Q的位置特殊化:把∠PAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF,使AE⊥BC,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,如圖②,此時(shí)她證明了AE=AF.請(qǐng)你證明. (2)受(1)的啟發(fā),在原題中,添加輔助線:如圖③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F.請(qǐng)你繼續(xù)完成原題的證明. (3)如果在原題中添加條件:AB=4,∠B=60°,如圖①.請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案. 圖K24-13 參考答案 1.C　[解析] 菱形的對(duì)角線互相平分、垂直,且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,菱形是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,菱形的對(duì)角線不一定相等.因此選C. 2.D 3.B　[解析] 由題意可知,四邊形ABCD為矩形,則AC=BD,OC=AC.因?yàn)椤螦DB=30°,所以在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=BD=8,OC=AC=4,故選B. 4.B 5.B　[解析] ∵AO=CO,BO=DO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.當(dāng)AB=AD時(shí),根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,能判定四邊形ABCD是菱形;當(dāng)AC=BD時(shí),根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,不能判定四邊形ABCD是菱形;當(dāng)AC⊥BD時(shí),根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,能判定四邊形ABCD是菱形;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠ABO=∠CBO,∴∠ABO=∠ADO,∴AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形.故選B. 6.A　[解析] 過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線,垂足為F.∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,∴AD=CD=4,∴OE=CE=2.∵∠BAD=60°, ∴∠COE=∠OCE=30°,∴EF=1,CF=,∴OC=2.∴△OCE的面積是×2×1=.故選A. 7.D　[解析] 取CD的中點(diǎn)E',連接AE',PE', 由正方形的軸對(duì)稱的性質(zhì)可知EP=E'P,AF=AE', ∴AP+EP=AP+E'P, ∴AP+EP的最小值是AE', 即AP+EP的最小值是AF. 故選D. 8.24 9.22.5°　[解析] ∵四邊形ABCD是正方形,∴∠CAB=∠BCA=45°.在△ACE中,∵AC=AE,∴∠ACE=∠AEC=(180°- ∠CAB)=67.5°,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°. 10.2.5　[解析] ∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=BD,∴OD=BD=5.∵點(diǎn)P,Q分別是AO,AD的中點(diǎn),∴PQ是△AOD的中位線,∴PQ=DO=2.5. 11.3 12.y=2x2-4x+4(0<x<2)　[解析] 由題中條件可知,圖中的四個(gè)直角三角形是全等三角形,設(shè)AE=x,則DE=2-x,AF=DE=2-x,在Rt△AEF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面積y=2x2-4x+4(0<x<2). 13.4600　[解析] 連接GC,由四邊形ABCD為正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四邊形GECF為矩形可得GC=EF,所以EF=AG.因?yàn)椤螧DC=45°,EG⊥CD,所以GE=DE.小敏行走的路線為B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100(m).小聰行走的路線為B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m). 14.證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°. 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(SAS). 15.解:(1)證明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B. ∵E是AB的中點(diǎn),∴AE=BE. 在△ADE與△BCE中, ∴△ADE≌△BCE(SAS). (2)∵AB=6,E是AB的中點(diǎn),∴AE=BE=3. 在Rt△ADE中,AD=4,AE=3,根據(jù)勾股定理可得, DE===5. ∵△ADE≌△BCE,∴DE=CE=5.又∵CD=AB=6, ∴DE+CE+CD=5+5+6=16,即△CDE的周長(zhǎng)為16. 16.[解析] (1)首先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后證明△AEB≌△AFD即可. (2)先求出∠EAP=∠FAQ,再證明△AEP≌△AFQ即可. (3)可以分三個(gè)不同的層次:①直接求菱形本身其他內(nèi)角的度數(shù)或邊的長(zhǎng)度,也可求菱形的周長(zhǎng);②可求PC+CQ,BP+QD, ∠APC+∠AQC的值;③可求四邊形APCQ的面積、△ABP與△AQD的面積和、四邊形APCQ周長(zhǎng)的最小值等. 解:(1)證明:如圖①, 在菱形ABCD中, ∠B+∠C=180°, ∠B=∠D,AB=AD. ∵∠EAF=∠B, ∴∠C+∠EAF=180°, ∴∠AEC+∠AFC=180°. ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=∠AEC=90°, ∴∠AFC=90°,∠AFD=90°, ∴△AEB≌△AFD, ∴AE=AF. (2)證明:如圖②, ∵∠PAQ=∠EAF=∠B, ∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ. ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEP=∠AFQ=90°. ∵AE=AF, ∴△AEP≌△AFQ, ∴AP=AQ. (3)答案不唯一,舉例如下: 層次1:①求∠D的度數(shù).答案:∠D=60°. ②分別求∠BAD,∠BCD的度數(shù). 答案:∠BAD=∠BCD=120°. ③求菱形ABCD的周長(zhǎng).答案:16. ④分別求BC,CD,AD的長(zhǎng).答案:4,4,4. 層次2:①求PC+CQ的值.答案:4. ②求BP+QD的值.答案:4. ③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°. 層次3:①求四邊形APCQ的面積.答案:4. ②求△ABP與△AQD的面積和.答案:4. ③求四邊形APCQ周長(zhǎng)的最小值. 答案:4+4.