云南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練（七）以圓為背景的綜合計算與證明題練習(xí)

云南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練（七）以圓為背景的綜合計算與證明題練習(xí) |類型1|　圓與切線有關(guān)的問題 1.[xx·南充] 如圖T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC為直徑作☉O交AB于點D,E為BC的中點,連接DE并延長交AC的延長線于點F. (1)求證:DE是☉O的切線; (2)若CF=2,DF=4,求☉O直徑的長. 圖T7-1 2.[xx·沈陽] 如圖T7-2,BE是☉O的直徑,點A和點D是☉O上的兩點,過點A作☉O的切線交BE延長線于點C. (1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù); (2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑的長. 圖T7-2 |類型2|　圓與平行四邊形結(jié)合的問題 3.如圖T7-3,AB是半圓O的直徑,點C,D為半圓O的三等分點,過點C作CE⊥AD,交AD的延長線于點E. (1)求證:CE為半圓O的切線; (2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說明理由. 圖T7-3 4.如圖T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點M是AC的中點,以AB為直徑作☉O分別交AC,BM于點D,E. (1)求證:MD=ME; (2)填空:①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時,DE=　　　　;  ②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為　　　　時,四邊形ODME是菱形.  圖T7-4 |類型3|　圓與三角函數(shù)結(jié)合的問題 5.[xx·咸寧] 如圖T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O與邊BC,AC分別交于D,E兩點,過點D作DF⊥AC,垂足為點F. (1)求證:DF是☉O的切線; (2)若AE=4,cosA=,求DF的長. 圖T7-5 6.[xx·金華、麗水] 如圖T7-6,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連接AD.已知∠CAD=∠B. (1)求證:AD是☉O的切線; (2)若BC=8,tanB=,求☉O的半徑. 圖T7-6 |類型4|　圓與相似三角形結(jié)合的問題 7.[xx·天門] 如圖T7-7,AB為☉O的直徑,C為☉O上一點,AD與過點C的切線互相垂直,垂足為D,AD交☉O于點E,連接CE,CB,AC. (1)求證:CE=CB; (2)若AC=2,CE=,求AE的長. 圖T7-7 8.如圖T7-8,AB,BC,CD分別與☉O相切于點E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm. (1)求證:BO⊥CO; (2)求BE和CG的長. 圖T7-8 參考答案 1.[解析] (1)連接OD,欲證DE是☉O的切線,需證OD⊥DE,即需證∠ODE=90°,而∠ACB=90°,連接CD,根據(jù)“等邊對等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,進(jìn)而得出∠ODE=90°,從而得證. (2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解. 解:(1)證明:連接OD,CD. ∵AC是☉O的直徑, ∴∠ADC=90°. ∴∠BDC=90°. 又E為BC的中點, ∴DE=BC=CE. ∴∠EDC=∠ECD. ∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD. ∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°. ∴∠ODE=90°.∴DE是☉O的切線. (2)設(shè)☉O的半徑為x. 在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2, 即x2+42=(x+2)2,解得x=3. ∴☉O的直徑為6. 2.解:(1)如圖,連接OA, ∵AC為☉O的切線,OA是☉O半徑, ∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°. ∵∠ADE=25°, ∴∠AOE=2∠ADE=50°. ∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C. ∵∠OAC=90°, ∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°. ∴OA=OC. 設(shè)☉O的半徑為r,∵CE=2,∴r=(r+2). ∴r=2.∴☉O的半徑為2. 3.解:(1)證明:如圖,連接OD, ∵點C,D為半圓O的三等分點, ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°. ∵OA=OD,∴△AOD為等邊三角形, ∴∠DAO=60°,∴AE∥OC. ∵CE⊥AD,∴CE⊥OC, ∴CE為半圓O的切線. (2)四邊形AOCD為菱形. 理由:∵OD=OC,∠COD=60°, ∴△OCD為等邊三角形,∴CD=CO. 同理:AD=AO. ∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC, ∴四邊形AOCD為菱形. 4.解:(1)證明:在Rt△ABC中, ∵點M是AC的中點,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA. ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形, ∴∠ADE+∠ABE=180°, 又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA. 同理可證:∠MED=∠A, ∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME. (2)①2 [解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB, ∴=,又AD=2DM, ∴=,∴=,∴DE=2. ②60° [解析] 當(dāng)∠A=60°時,△AOD是等邊三角形,這時易證∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等邊三角形,且全等,∴四邊形ODME是菱形. 5.解:(1)證明:連接OD. ∵OB=OD,∴∠ODB=∠B. 又∵AB=AC,∴∠C=∠B, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°, ∴∠ODF=∠DFC=90°, ∴DF是☉O的切線. (2)過點O作OG⊥AC,垂足為G.∴AG=AE=2. ∵cosA=,∴OA==5, ∴OG==. ∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°, ∴四邊形OGFD是矩形,∴DF=OG=. 6.解:(1)證明:連接OD. ∵OB=OD,∴∠3=∠B. ∵∠B=∠1,∴∠3=∠1. 在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°, ∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°. ∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切線. (2)設(shè)☉O的半徑為r. 在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×=4, ∴AB===4. ∴OA=4-r. 在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=, ∴CD=AC·tan∠1=4×=2, ∴AD2=AC2+CD2=42+22=20. 在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2, ∴(4-r)2=r2+20.解得r= . 故☉O的半徑是 . 7.解:(1)證明:連接OC, ∵CD為☉O的切線,∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3. 又∵OA=OC,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2,∴CE=CB. (2)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°. ∵AC=2,CB=CE=, ∴AB===5. ∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2, ∴△ADC∽△ACB. ∴==,即==, ∴AD=4,DC=2. 在Rt△DCE中,DE===1, ∴AE=AD-ED=4-1=3. 8.解:(1)證明:∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵AB,BC,CD分別與☉O相切于點E,F,G, ∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB, ∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB, ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°, ∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO. (2)如圖,連接OF,則OF⊥BC. ∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴=. ∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm, ∴BC==10(cm), ∴=,∴BF=3.6 cm. ∵AB,BC,CD分別與☉O相切, ∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF. ∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), ∴CG=CF=6.4 cm.