江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）1(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球(1)若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；(2)在(1)的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望解：(1)兩個(gè)球顏色不同的情況共有C·4296(種)(2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123P所以E(X)0×1×2×3×.2某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為p1，乙的命中率為p2.在射擊比賽活動中，每人射擊兩發(fā)子彈，則完成一次檢測在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“和諧組”(1)若p2，求該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率；(2)若計(jì)劃在2019年每月進(jìn)行1次檢測，記這12次檢測中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X，如果E(X)5，求p2的取值范圍解：(1)記該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P，則P×·×.即該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為.(2)該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P×Cp2(1p2)pp2p.因?yàn)樵撔〗M在這12次檢測中獲得“和諧組”的次數(shù)XB(12，P)，所以E(X)12P.由E(X)5得125，解得p2.因?yàn)閜21，所以p2的取值范圍為.3從集合M1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集a，b，c(1)求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率；(2)記a，b，c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為(如集合3,4,5中3和4相鄰，4和5相鄰，2)，求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E()解：(1)從9個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同元素，其基本事件總數(shù)為nC.記“a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2”為事件A.由題意，a，b，c均不相鄰，可利用插空法假設(shè)有6個(gè)元素排成一列，則6個(gè)元素之間和兩端共有7個(gè)空位，現(xiàn)另取3個(gè)元素插入空位，共有C種插法，然后將這9個(gè)元素，從左到右編號，依次為1,2,3，9，則插入的這3個(gè)元素中任意兩者之差的絕對值均不小于2，所以事件A包含的基本事件數(shù)mC.故P(A).所以a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率為.(2)的所有可能取值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的概率分布為012P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×.4已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實(shí)驗(yàn)小組對該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，若該實(shí)驗(yàn)小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立)，用表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值(1)求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求不等式x2x1>0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C×2×2，P(2)C×3×1C×1×3，P(4)C×4×0C×0×4.所以隨機(jī)變量的概率分布為024P數(shù)學(xué)期望E()0×2×4×.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當(dāng)0時(shí)，代入x2x1>0，得1>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時(shí)，代入x2x1>0，得2x22x1>0，即22>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時(shí)，代入x2x1>0，得4x24x1>0，其解集為x，不滿足題意所以不等式x2x1>0的解集為R的概率PP(0)P(2).B組大題增分練1(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨(dú)立規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級加1分，有兩門學(xué)科獲A等級加2分，有三門學(xué)科獲A等級加3分，四門學(xué)科獲A等級則加5分記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值(1)求X1的數(shù)學(xué)期望；(2)求X2的分布列解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級為事件Ai，i0,1,2,3,4.X1的可能取值為0,1,2,3,5.則P(Ai)Ci4i，即P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，則X1的分布列為X101235P所以E(X1)0×1×2×3×5×.(2)X2的可能取值為0,2,4，則P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列為X2024P2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點(diǎn)P處分別向A，B，C三個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，每人向三個(gè)目標(biāo)各射擊一次每人每次射擊每個(gè)目標(biāo)均相互獨(dú)立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，.(1)設(shè)X表示甲擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩人共擊中目標(biāo)數(shù)為2個(gè)的概率解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，由(1)可知，P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).則P(X0，Y2)×，P(X1，Y1)×，P(X2，Y0)×， 所以P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0).所以甲、乙兩人共擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設(shè)P1，P2，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如P1P4P5)，共6×212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120°的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的分布列為SP所以E(S)×××.4一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(kN*)，且游戲費(fèi)仍退還給參加者記參加者玩1次游戲的收益為X元(1)求概率P(X0)的值；(2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值解：(1)事件“X0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，則P(X0)3××2.(2)依題意得，X的可能值為k，1,1,0，且P(Xk)3，P(X1)3，P(X1)3×2×，結(jié)合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為E(X)k×(1)×1×，為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，所以k110，即kmin110.故k的最小值為110.