(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五單元 計(jì)數(shù)原理 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(四十五)二項(xiàng)式定理命題3角度——求系數(shù)、定特項(xiàng)、會(huì)賦值 理
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(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五單元 計(jì)數(shù)原理 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(四十五)二項(xiàng)式定理命題3角度——求系數(shù)、定特項(xiàng)、會(huì)賦值 理
(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五單元 計(jì)數(shù)原理 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(四十五)二項(xiàng)式定理命題3角度求系數(shù)、定特項(xiàng)、會(huì)賦值 理一、選擇題1.3展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()A120B160C200 D240解析:選B因?yàn)?6,其展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1C·6r·(2x)rC2rx2r6,令2r60,可得r3,故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C·23160.2在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A74 B121C74 D121解析:選D展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.3(x2)2(1x)5中x7的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差的絕對(duì)值為()A5 B3C2 D0解析:選A常數(shù)項(xiàng)為C×22×C4,x7的系數(shù)為C×C(1)51,因此x7的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差的絕對(duì)值為5.4若m的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式中的系數(shù)是()A21 B21C7 D7解析:選A由題意可知2m128,m7,展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1C(3x)7r·rC37r(1)rx,令7r3,解得r6,的系數(shù)為C376(1)621.5在(1x)6(1y)4的展開(kāi)式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)f(m,n),則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45 B60C120 D210解析:選C在(1x)6的展開(kāi)式中,xm的系數(shù)為C,在(1y)4的展開(kāi)式中,yn的系數(shù)為C,故f(m,n)C·C.從而f(3,0)C20,f(2,1)C·C60,f(1,2)C·C36,f(0,3)C4,所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)2060364120.6若(x1)81a1xa2x2a8x8,則a5()A56 B56C35 D35解析:選B(x1)8展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1Cx8r(1)r,令r3,得a5C(1)356.7設(shè)(1x)na0a1xa2x2anxn,若a1a2an63,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A15x2 B20x3C21x3 D35x3解析:選B(1x)na0a1xa2x2anxn,令x0,得a01.令x1,得(11)na0a1a2an64,n6.又(1x)6的展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)最大,(1x)6的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4Cx320x3.8(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)若5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A10 B20C30 D40解析:選D令x1,得(1a)(21)51a2,所以a1.因此5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為5的展開(kāi)式中x的系數(shù)與的 系數(shù)的和.5的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1C(2x)5rrC25rx52r·(1)r.令52r1,得r2,因此5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C252×(1)280;令52r1,得r3,因此5的展開(kāi)式中的系數(shù)為C253×(1)340,所以5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為804040.二、填空題9若a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4,則a2a3a4_.解析:x4(x1)14C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C,對(duì)照a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4,得a2C,a3C,a4C,所以a2a3a4CCC14.答案:1410已知a (sin xcos x)dx,則二項(xiàng)式6的展開(kāi)式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)是_解析:a (sin xcos x)dx(cos xsin x) 2,則66,展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1C(2)6rr(1)rC·26r·x3r,令3r2,得r1.故含x2項(xiàng)的系數(shù)是(1)1·C·261192.答案:19211已知(x1)2n的展開(kāi)式中沒(méi)有x2項(xiàng),nN*,且5n8,則n_.解析:因?yàn)?x1)2n(x22x1)n,則當(dāng)?shù)?個(gè)括號(hào)取x2時(shí),第2個(gè)括號(hào)不能有常數(shù)項(xiàng),而當(dāng)n8時(shí),展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)C;當(dāng)?shù)?個(gè)括號(hào)取2x時(shí),第2個(gè)括號(hào)不能含有x項(xiàng),而當(dāng)n5時(shí),展開(kāi)式中含有x項(xiàng)Cx;當(dāng)?shù)?個(gè)括號(hào)取1時(shí),第2個(gè)括號(hào)不能含有x2項(xiàng),而當(dāng)n6時(shí),展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)Cx2.由上可知n7.答案:712若(ax1)6的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a的值為_(kāi),展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為_(kāi)解析:因?yàn)?的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1Cx62r,所以(ax1)6的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)為a·Cx52r,令52r3,解得r4,故a·C30,解得a2.令x1,得(21)×664.答案:264三、解答題13已知在n的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大. (1)判斷展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng),若存在,求出常數(shù)項(xiàng);若不存在,說(shuō)明理由; (2)求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng). 解:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的只有第5項(xiàng),即C最大,n8,Tr1C()8rr(1)r2rCx.若存在常數(shù)項(xiàng),則0, 即3r16,r,又rN,矛盾, 不存在常數(shù)項(xiàng)(2)若Tr1為有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù), 因?yàn)?r8,rN,所以r0,4,8,時(shí),Tr1為有理項(xiàng),即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng),它們是T1x4,T5x,T9x2.14已知n的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)na0a1xa2x2anxn.(1)求a0的值;(2)求系數(shù)最大的項(xiàng)解:(1)n的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的系數(shù)分別為:1,C×,C×2,它們成等差數(shù)列,2C×1C×2,即n29n80,解得n8或n1(舍去),由na0a1xa2x2anxn, 令x0,可得a08.(2)8的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1Cx8r·rrCx8r, 由解得2r3, r2或3,系數(shù)最大的項(xiàng)是7x5或7x6.1(x2y1)6的展開(kāi)式中含x3y項(xiàng)的系數(shù)為()A15 B60C60 D120解析:選D法一:由于x2y1中含有三項(xiàng),可以看成(x1)2y6,要得到含x3y的項(xiàng),由T2C(x1)5·(2y)12(x1)5y可得,要含有x3,則對(duì)于(x1)5,T3Cx310x3,即含x3y的項(xiàng)為120x3y.法二:由二項(xiàng)式定理可知,含x3y的項(xiàng)即Cx3C(2y)·C12120x3y,故含x3y項(xiàng)的系數(shù)為120.2(1xx2)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)解析:6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1Cx6r·r(1)rCx62r,令62r0,得r3,則T4C·(1)3C;令62r1,得r(舍去);令62r2,得r4,則T5C(1)4x2,(1xx2)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為CC15205.答案:5