（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測（四十一）雙曲線 文

（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測（四十一）雙曲線 文對點練(一)雙曲線的定義和標準方程1若實數(shù)k滿足0k9，則曲線1與曲線1的()A離心率相等B虛半軸長相等C實半軸長相等D焦距相等解析：選D由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由，得兩雙曲線的焦距相等2已知雙曲線C的漸近線方程為y±2x，且經(jīng)過點(2,2)，則C的方程為()A.1B.1C.1D.1解析：選A由題意，設雙曲線C的方程為x2(0)，因為雙曲線C過點(2,2)，則22，解得3，所以雙曲線C的方程為x23，即1.3已知雙曲線x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上一點P使e，則·的值為()A3B2 C3D2解析：選B由題意得，在PF1F2中，由正弦定理得，e2，又因為|PF1|PF2|2，結合這兩個條件得，|PF1|4，|PF2|2，由余弦定理可得cosF1F2P，則·2，故選B.4(2018·河南新鄉(xiāng)模擬)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1解析：選D不妨設B(0，b)，由2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得×1，即·，又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，雙曲線C的方程為1，故選D.5設雙曲線1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|AF2|的最小值為()A.B11 C12D16解析：選B由題意，得所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，顯然，當AB垂直于x軸時其長度最短，|AB|min2·3，故(|BF2|AF2|)min11.6(2018·河北武邑中學月考)實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程為_解析：2a2,2b4.當焦點在x軸時，雙曲線的標準方程為x21；當焦點在y軸時，雙曲線的標準方程為y21.答案：x21或y217設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|2且F1AF245°，延長AF2交雙曲線右支于點B，則F1AB的面積等于_解析：由題意可得|AF2|2，|AF1|4，則|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245°，所以ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，則|AB|BF1|2，所以其面積為×2×24.答案：4對點練(二)雙曲線的幾何性質(zhì)1(2018·廣州模擬)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±2x，則雙曲線C的離心率為()A.B. C.D.解析：選B依題意知2，雙曲線C的離心率e .故選B.2(2018·安徽黃山模擬)若圓(x3)2y21上只有一點到雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.解析：選A不妨取漸近線為bxay0，由題意得圓心到漸近線bxay0的距離d2，化簡得bc，b2c2，c2a2，e，故選A.3(2018·湖北四地七校聯(lián)考)雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過點F1及虛軸的一個端點，且點F2到直線l的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為()A.B.C. D. 解析：選D設虛軸的一個端點為B，則SF1BF2b×2ca×，即b×2ca×，4c2(c2a2)a2(a22c2)，4e46e210，解得e2，e(舍負)故選D.4設雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B, C兩點若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A±B± C±1D±解析：選C由題設易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，·1，整理得ab.漸近線方程為y±x，即y±x，漸近線的斜率為±1.5(2018·江西五市部分學校聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點為(1,0)，若雙曲線上存在點P，使得P到y(tǒng)軸與到x軸的距離的比值為2，則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.解析：選D法一：由雙曲線的焦點為(1,0)，可知c1.由雙曲線上存在點P，使得P到y(tǒng)軸與到x軸的距離的比值為2，可知>，所以8b2>a2，即8(1a2)>a2，所以0<a<.法二：由雙曲線的焦點為(1,0)，可知c1.由雙曲線上存在點P，使得P到y(tǒng)軸與到x軸的距離的比值為2，不妨設P在第一象限，且P(x0，y0)，則y0x0，代入雙曲線方程得x>a2，可知8b2>a2，即8(1a2)>a2，所以0<a<.6(2018·山西重點中學聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，若在雙曲線上存在點P滿足2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A(1，B(1,2C，)D2，)解析：選D設O為坐標原點，由2|，得4|2c(2c為雙曲線的焦距)，|c，又由雙曲線的性質(zhì)可得|a，于是ac，e2.故選D.7過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F1作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A，B，若，則雙曲線的漸近線方程為_解析：由得x，由解得x，不妨設xA，xB，由可得c，整理得b3a.所以雙曲線的漸近線方程為3x±y0.答案：3x±y08(2018·安徽池州模擬)已知橢圓1的右焦點F到雙曲線E：1(a>0，b>0)的漸近線的距離小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍是_解析：橢圓1的右焦點F為(2,0)，不妨取雙曲線E：1(a>0，b>0)的一條漸近線為bxay0，則焦點F到漸近線bxay0的距離d<，即有2b<c，4b2<3c2，4(c2a2)<3c2，e<2，e>1，1<e<2.答案：(1,2)大題綜合練遷移貫通1已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)點M(3，m)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)求證：·0；(3)求F1MF2的面積解：(1)e，雙曲線的實軸、虛軸相等則可設雙曲線方程為x2y2.雙曲線過點(4，)，1610，即6.雙曲線方程為1.(2)證明：不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則(23，m)，(23，m)·(32)×(32)m23m2，M點在雙曲線上，9m26，即m230，·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m±.F1MF2的高h|m|，SF1MF2×4×6.2(2018·湛江模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為，求雙曲線的離心率解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為y±x，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以雙曲線方程為1.(2)設點A的坐標為(x0，y0)，所以直線AO的斜率滿足·()1，所以x0y0，依題意，圓的方程為x2y2c2，將代入圓的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以點A的坐標為，代入雙曲線方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因為a2b2c2，所以將b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因為e>1，所以e，所以雙曲線的離心率為.3已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標原點(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·2，求k的取值范圍解：(1)設雙曲線C2的方程為1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故雙曲線C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得k21且k2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，即x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范圍為.