高中數(shù)學(xué)必修4 《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》教案

課題：從哥本哈根氣候峰會談起 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（教案）教材：高中數(shù)學(xué) 人教A版 必修4 第一章1教學(xué)目標(biāo)l 知識與技能（1）能根據(jù)三角函數(shù)的局部圖像求出三角函數(shù)的解析式；（2）能根據(jù)已知三角函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，并根據(jù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)；（3）能夠?qū)嶋H問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，解決一些簡單的實際問題。l 思想與方法（1）讓學(xué)生體驗周期性問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?；（2）解決問題的過程中，再次深刻體會“數(shù)形結(jié)合”的方法和思想。l 情感和態(tài)度（1）讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用；（2）培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識。2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)l 教學(xué)重點(diǎn)：不同層次地用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化的實際問題。l 教學(xué)難點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建 立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題3教學(xué)方法與手段本課積極將數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)進(jìn)行整合，采用多種技術(shù)手段，主要特點(diǎn)如下：（1）教學(xué)過程中要創(chuàng)造讓學(xué)生親歷實踐建模過程的機(jī)會，在學(xué)習(xí)過程中不斷給予鼓勵，幫助學(xué)生建立信心，消除畏難情緒。（2）通過圖片，flash和幾何畫板動畫等直觀形象的手段，介紹實際問題涉及的知識背景，消除學(xué)生對問題的陌生感，幫助建立數(shù)學(xué)模型。4教學(xué)流程設(shè)計引入：哥本哈根聯(lián)合國氣候變化大會關(guān)鍵詞1：惠州08年月平均氣溫變化問題。數(shù)學(xué)問題：由三角函數(shù)局部圖像求函數(shù)解析式。關(guān)鍵詞2：水輪機(jī)某點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系式相關(guān)問題。數(shù)學(xué)問題：由函數(shù)解析式畫圖像，求通過圖像研究性質(zhì)。關(guān)鍵詞3：為提高太陽能熱水器的利用率而設(shè)計的建筑問題。數(shù)學(xué)問題：已知參數(shù)范圍，構(gòu)建函數(shù)模型，求目標(biāo)參數(shù)的取值范圍。教學(xué)活動：學(xué)生獨(dú)立解決問題，展示學(xué)生解題案例，教師點(diǎn)評。教學(xué)活動：學(xué)生獨(dú)立作圖，學(xué)生上黑板展示作圖過程，教師給予點(diǎn)評。教學(xué)活動：學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師參與討論，共同探究解決問題。課堂小結(jié)5教學(xué)過程【引言】哥本哈根聯(lián)合國氣候變化大會l 設(shè)計時間：2分鐘l 設(shè)計意圖：以哥本哈根聯(lián)合國氣候變化大會為背景，引入正題。l 教學(xué)活動：師 2009年12月7日，聯(lián)合國氣候變化大會在丹麥?zhǔn)锥几绫竟e行，“氣候變暖”，“節(jié)能減排”，“低碳”等環(huán)保關(guān)鍵詞再次吸引了全地球人的關(guān)注?！敖裉欤憔G色了嗎？”成為了網(wǎng)絡(luò)上一句最有號召力的口號。但你可有想過，這個全球最大的課題其實蘊(yùn)藏著許多周期變化的現(xiàn)象，而這些現(xiàn)象可以用我們數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，大家所熟悉的三角函數(shù)模型來詮釋。今天，就讓我們舉幾個簡單的例子，來體會一下三角函數(shù)的價值和應(yīng)用。生 興奮地進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)。【教學(xué)環(huán)節(jié)1】關(guān)鍵詞一：氣候變化l 設(shè)計時間：8分鐘l 設(shè)計意圖：讓學(xué)生充分利用列表和圖像提供的信息，數(shù)形結(jié)合確定待定系數(shù)，理解函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)與圖像之間的關(guān)系。l 教學(xué)活動知識背景氣候變化指氣候平均狀態(tài)統(tǒng)計學(xué)意義上的巨大改變或持續(xù)較長一段時間的（典型的為10年或更長）氣候變動。問題探究1下表是2008年惠州全年月平均氣溫的不完整數(shù)據(jù)，其中1月和6月的數(shù)據(jù)不慎丟失，而其溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，請根據(jù)其局部圖像（如下圖），求出函數(shù)解析式，并由此估計1月和6月的平均氣溫。2008年惠州月平均氣溫統(tǒng)計 （單位：）1月2月3月4月5月6月1417.522247月8月9月10月11月12月29.53027.5252216.5 師前面我們已經(jīng)學(xué)過由圖像求解析式的問題，那讓我們一起來回顧一下參數(shù)的確定方法吧！生看最值，看平衡位置，看周期，看特殊點(diǎn)。師很好！這個氣溫變化的問題，實際上就是由三角函數(shù)圖像求解析式的問題，相信大家可獨(dú)立解決?。?分鐘時間，讓學(xué)生獨(dú)立完成，并展示學(xué)生的解答過程，給予點(diǎn)評。）師解答過程中有一點(diǎn)需要關(guān)注：值的確定能用最值點(diǎn)代入固然最好，但用平衡點(diǎn)代入也未嘗不可，但需要區(qū)別平衡點(diǎn)所在區(qū)域的單調(diào)性。問題小結(jié)實際問題數(shù)學(xué)問題惠州08年月平均氣溫變化問題由三角函數(shù)局部圖像求解析式。【教學(xué)環(huán)節(jié)2】關(guān)鍵詞二：潮汐能l 設(shè)計時間：8分鐘l 設(shè)計意圖：學(xué)會根據(jù)三角函數(shù)的解析式畫出其圖像，然后根據(jù)圖像研究該函數(shù)的性質(zhì)。l 教學(xué)活動：知識背景因海水漲落及潮水流動所產(chǎn)生的能量成為潮汐能，潮汐能是一種可再生的零碳能源。潮汐能的利用方式主要是發(fā)電，發(fā)電原理是利用高、低潮位之間的落差，推動水輪機(jī)旋轉(zhuǎn)，帶動發(fā)電機(jī)發(fā)電，其中的水輪機(jī)就是一個重要的機(jī)件。問題探究2現(xiàn)有一水輪機(jī)裝置如圖，水輪機(jī)一半浸在水中，一半露出水面。為觀測水輪機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)情況，在水輪機(jī)的外圈設(shè)置一觀測點(diǎn)A，以A點(diǎn)剛好在位于水面上為初始位置，根據(jù)分析可知A點(diǎn)到水面的距離和水輪轉(zhuǎn)過的角度滿足函數(shù)y=|sinx|，請畫出該函數(shù)的圖像，并由圖像觀察周期。師雖然題目已經(jīng)給出了實際問題的數(shù)學(xué)模型，但為什么這個函數(shù)是y=|sinx|？有同學(xué)能回答嗎？生學(xué)生思考后回答。師（點(diǎn)評）其實水輪機(jī)的本質(zhì)是一個單位圓，“A點(diǎn)到水面的距離”就是正弦線的長度，所以是y=|sin x|。師接來的問題是y=|sinx|的圖像怎么畫？先讓我們用課件來看看y=|x|的圖像怎么畫。生提問學(xué)生回答，然后課件展示y=|x|的圖像的畫法。師類比y=|x|的畫法，請大家在草稿紙上畫出y=|sinx|的圖像，請一位同學(xué)上來演示他的畫圖過程并寫出該函數(shù)的周期。（學(xué)生演示畫圖過程，老師給予點(diǎn)評）問題小結(jié)實際問題數(shù)學(xué)問題水輪機(jī)A點(diǎn)到水面的距離和水輪轉(zhuǎn)過的角度滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=|sinx|，求周期。由三角函數(shù)相關(guān)的解析式畫函數(shù)圖像，并由圖像研究函數(shù)性質(zhì)。【教學(xué)環(huán)節(jié)3】關(guān)鍵詞三：太陽能l 設(shè)計時間：25分鐘l 設(shè)計意圖：1、引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解題意，培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力。并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與建模能力。2、通過對復(fù)雜問題的分解，以數(shù)形結(jié)合的方法，問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行連續(xù)的觀察、思考和判斷。l 教學(xué)活動：知識背景太陽能是另一種常見的“零碳能源”，在樓頂上裝太陽能熱水器已經(jīng)不是什么新鮮的事情。但若要使太陽能在我們?nèi)粘５纳钪谐掷m(xù)發(fā)展，房屋的建筑需注意什么問題呢？問題探究3設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40°)的一幢高為的樓房北面，間距為處蓋一新樓。新樓樓頂要裝太陽能熱水器。為使太陽能熱水器得以充分利用，則新樓頂層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，問所建新樓高度應(yīng)該滿足什么條件？師這個問題比較復(fù)雜，所以希望大家能充分閱讀題目，理解題意！（留2-3分鐘時間讓學(xué)生讀題）師閱讀題目后，題目中讓你讀不懂的地方在哪里？誰來說一說！生正午太陽高度角，太陽直射緯度，緯度，三者概念有點(diǎn)模糊，為什么三個量之間的關(guān)系是？師我們借助圖像來幫助理解。（幾何畫板課件展示問題1的分析過程）師三個參數(shù)中，哪個是定值？哪個是變量？生緯度為定值，正午太陽高度角和太陽直射緯度為變量。師對一個復(fù)雜的問題常?？梢苑纸鉃閹讉€簡單的問題來解決。下面我們把問題進(jìn)行分解：師問題1：正午太陽高度角，樓高和影子之間有什么關(guān)系？生引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，觀察得出結(jié)論。師問題2：當(dāng)一年四季交替，太陽直射緯度如何變化？樓房的影子又隨之如何變化？生學(xué)生分小組討論，討論后派代表發(fā)言，闡述討論的結(jié)果。觀察幾何畫板動畫演示，直觀感知變化情況：太陽直射點(diǎn)會在南北回歸線之間移動，在間變化，由圖知影子在到間變化，由與的關(guān)系和與的關(guān)系，可求得，所以影子在此范圍內(nèi)變化。師問題3：新樓的高度應(yīng)滿足什么條件？生觀察幾何畫板動畫演示，分析影子與樓高的關(guān)系，得出結(jié)果：黃色區(qū)域全年正午曬不到太陽，紅色區(qū)域有時曬得到太陽，有時曬不到太陽；PC以外的區(qū)域全年正午都能曬到太陽，在樓距為的B處建樓，高于此臨界值便能滿足條件，由比例關(guān)系知此臨界值為，所以新樓高度應(yīng)。師問題到此就全部解決了。師生回顧總結(jié)整個問題的解決過程，本題表面是為使提高太陽能熱水器的利用率而設(shè)計的建筑問題，其本質(zhì)是由與的函數(shù)關(guān)系和l與由的函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)由與的關(guān)系，即兩個函數(shù)的復(fù)合，由此就能由直射緯度由算出影子的范圍，并最后解決新樓樓高問題。這個分析過程，地理知識必不可少，函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵，分類討論也有重要作用。即：實際問題數(shù)學(xué)問題為使提高太陽能熱水器的利用率而設(shè)計的建筑問題。已知，且，求的取值范圍。 問題拓展如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為的樓房北面，蓋一新樓，新樓高度為。新樓樓頂要裝太陽能熱水器，為使太陽能熱水器得以充分利用，則新樓頂層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，問所建新樓與舊樓的間距有什么要求？ 師生 閱讀理解，觀察對比，共同分析兩問題的異同在相同的情景下，將“固定樓距，求樓高范圍”改為“固定樓高，求樓距范圍”，問題的數(shù)學(xué)模型是一樣的。對求解過程給出點(diǎn)撥后，解題過程留給學(xué)生課后完成?！菊n堂小結(jié)】l 設(shè)計時間：2分鐘l 設(shè)計意圖：歸納總結(jié)，思想升華l 教學(xué)活動師今天我們以環(huán)保為主題，形式上是以氣溫變化圖，潮汐能的水輪機(jī)，太陽能的利用為例子，實際上是解決由圖像求解析式，由解析式畫圖，和在實際問題中提煉三角函數(shù)模型的過程。而事實上，不僅在環(huán)保這個課題上，在其他的科學(xué)或生活領(lǐng)域，三角函數(shù)都可以作為刻畫周期現(xiàn)象的最有利工具，關(guān)鍵是我們要善于用“建?！钡乃枷肴マD(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)只有“用”起來，才能體現(xiàn)她的價值。附件：學(xué)生課堂練習(xí)紙關(guān)鍵詞1：解：關(guān)鍵詞2 關(guān)鍵詞3解：課題：從哥本哈根氣候峰會談起 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用（教案說明）授課教師：惠州市第一中學(xué) 廖偉君教材：高中數(shù)學(xué) 人教A版 必修4 第一章三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下單獨(dú)一節(jié)來學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是三角函數(shù)整章的尾聲。本課是三角函數(shù)的簡單應(yīng)用的第一課時，主要內(nèi)容有三個層次：第一、已知圖像求解析式；第二、已知解析式求圖像；第三、從實際問題中提煉出三角函數(shù)模型，解決數(shù)學(xué)問題，并最后解決實際問題。 本課的教學(xué)設(shè)計打破常規(guī)教法，在教學(xué)模式上大膽創(chuàng)新，具體表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)：一、以“建?！彼枷霝橹行?，以“環(huán)保”話題為主線，大膽改造例題，源于課本而高于課本！為了突出本課重在“應(yīng)用”的實質(zhì)，教學(xué)設(shè)計中對例題做了大膽的改造，與課本原題的對比如下：課本原題改造后例題例1如圖，某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（1）求這一天614時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式問題探究1下表是2008年惠州全年月平均氣溫的不完整數(shù)據(jù)，其中1月和6月的數(shù)據(jù)不慎丟失，而其溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，請根據(jù)其局部圖像（如下圖），求出函數(shù)解析式，并由此估計1月和6月的平均氣溫。2008年惠州月平均氣溫統(tǒng)計 （單位：）1月2月3月4月5月6月1417.522247月8月9月10月11月12月29.53027.5252216.5例2畫出函數(shù)的圖象并觀察其周期問題探究2現(xiàn)有一水輪機(jī)裝置如圖，水輪機(jī)一半浸在水中，一半露出水面。為觀測水輪機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)情況，在水輪機(jī)的外圈設(shè)置一觀測點(diǎn)A，以A點(diǎn)剛好在位于水面上為初始位置，根據(jù)分析可知A點(diǎn)到水面的距離和水輪轉(zhuǎn)過的角度滿足函數(shù)，請畫出該函數(shù)的圖像，并由圖像觀察周期。例3如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？問題探究3設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40°)的一幢高為的樓房北面，間距為處蓋一新樓。新樓樓頂要裝太陽能熱水器。為使太陽能熱水器得以充分利用，則新樓頂層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，問所建新樓高度應(yīng)該滿足什么條件？由上表的對比不難看出，3個問題的本質(zhì)是一樣的。不同在于，改造后的例題穿上了“環(huán)?！钡耐庖拢沟迷瓉肀容^松散的3個問題，有了一條主線貫穿，不管在形式還是內(nèi)容上都更為豐富，也更能體現(xiàn)本課應(yīng)用的實質(zhì)。改造后的例題有了“環(huán)?！弊鳛閷嶋H問題的背景，教學(xué)過程中便能更有針對性的體現(xiàn)“建?！钡乃枷牒瓦^程。如改后的例題1“氣溫變化問題”，雖然氣溫的函數(shù)圖像已畫出，但仍可引導(dǎo)學(xué)生思考：“怎么由表格的數(shù)據(jù)得到函數(shù)的圖像？”這實際就是用散點(diǎn)圖做函數(shù)擬合的過程；又如改后的例2“水輪機(jī)問題”，雖然題目也已給出函數(shù)模型，但這模型怎么建立的？這也不難看出水輪機(jī)就是單位圓，距離就是正弦線的本質(zhì)。例題的改造，目的是為了突出“環(huán)?！敝骶€，凸顯“建?！彼枷耄瑢嵺`證明是可行的，本課教學(xué)的內(nèi)容可謂“源于課本而高于課本”！二、探究過程以“問題串”的形式層層引導(dǎo)，有效突破重難點(diǎn)。例3“太陽能”問題是本課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，“重”體現(xiàn)在要學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程；“難”體現(xiàn)在實際問題涉及地理知識，背景較為復(fù)雜。于是對這個問題的處理，我們采用了“問題串”形式： “、之間的關(guān)系為什么是？”；“正午太陽高度角，樓高和影子之間有什么關(guān)系？”；“四季交替，太陽直射緯度如何變化？樓房的影子又隨之如何變化？”；“新樓的高度應(yīng)滿足什么條件？”。將一個復(fù)雜的問題分解為幾個較為簡單的為題，引導(dǎo)學(xué)生，層層遞進(jìn)，積極探究，最終有效突破重難點(diǎn)。三、教學(xué)環(huán)節(jié)以學(xué)生為主體，突出“以生為本”的教學(xué)理念。三個例題對應(yīng)的三個教學(xué)環(huán)節(jié)，都是以學(xué)生為主體來設(shè)置教學(xué)活動。例1氣溫問題，在做簡單知識性回顧后，讓學(xué)生獨(dú)立完成求解析式的過程，并展示學(xué)生案例，給予點(diǎn)評；例2水輪機(jī)問題，通過圖像畫法的鋪墊，也將畫圖的全過程讓學(xué)生自己完成，并讓學(xué)生上黑板板演；例3太陽能問題，以學(xué)生自己提出疑問，分小組討論，派代表發(fā)言等師生互動的形式，積極探究，達(dá)到整節(jié)課的高潮。教學(xué)過程中，時刻以學(xué)生為主，以學(xué)生為本，真正體現(xiàn)新課標(biāo)的教學(xué)理念。四、有效利用多媒體，傳統(tǒng)黑板板演與現(xiàn)代化技術(shù)相結(jié)合。本課課件以ppt為平臺，綜合使用了幾何畫板，flash等多種技術(shù)，在每個教學(xué)環(huán)節(jié)適當(dāng)?shù)牡胤蕉加行У乩昧硕嗝襟w技術(shù)，特別是例3太陽能問題中，以幾何畫板形象動態(tài)展示樓房隨太陽直射緯度的變化而變化的過程，幫助學(xué)生理解和思考，充分體現(xiàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用價值。但與此同時，關(guān)鍵步驟和問題的講解仍借助了傳統(tǒng)的黑板板演，因為只有通過黑板的書寫，才能達(dá)到師生同步探究，同步思考，同步解決問題的教學(xué)效果，這是多媒體技術(shù)所不能取代的。