鉛錘高求三角形面積法

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作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法 ------------二次函數(shù)教學(xué)反思 最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經(jīng)過研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. D B A O y x P C B A O y x B C 鉛垂高 水平寬 h a 圖1 例1．（2013深圳）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由. 解：（1）B（1，） （2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1, ），得，因此 （3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=—1，當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長最小. 設(shè)直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)x=－1時(shí)，，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，/3）. （4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D. 當(dāng)x=－時(shí)，△PAB的面積的最大值為，此時(shí). 例2．(2014益陽) 如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：把A（3,0）代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的圖-2 x C O y A B D 1 1 坐標(biāo)為 把，代入中 解得：所以 (2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(１,4)所以當(dāng)x＝１時(shí)，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方單位) (3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，則由S△PAB=S△CAB得化簡得：解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為 例3．（2015江津）如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn)，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由. 解：(1)將A(1，0)，B(－3，0)代中得∴ ∴拋物線解析式為： (2)存在。 理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 ∴直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)， 此時(shí)△AQC周長最小 ∵ ∴C的坐標(biāo)為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解 ∴∴Q(－1，2) （3）答：存在。理由如下： 設(shè)P點(diǎn)∵若有最大值，則就最大，∴ ＝＝ 當(dāng)時(shí)，最大值＝ ∴最大＝ 當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為 同學(xué)們可以做以下練習(xí)： 1．（2015浙江湖州）已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）； （2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點(diǎn)C在此拋物線上； （3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 2．（湖北省十堰市2014）如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)M ，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3) 如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)． 圖① 圖② 3.(2015年恩施) 如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B 兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)， 點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn). （1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式． （2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． （3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積. 圖11 解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO． 連結(jié)PP 則PE⊥CO于E，∴OE=EC= =． ∴= 解得=，=（不合題意，舍去） ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，） （3）過點(diǎn)P作軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x－3）. = 當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大 此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積． 25．（2015綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G． （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長； （3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)K運(yùn)動到什么位置時(shí)，△EFK的面積最大？并求出最大面積． K N C E D G A x y O B F C E D G A x y O B F 【解析】（1）由題意，得 解得，b =－1． 所以拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，）． （2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M．因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ． ∴ △CDH的周長最小值為CD + DR + CH =． 設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3． 所以直線BD的解析式為y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB， 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直線EF的解析式為y =x +． 聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點(diǎn)H（，）． （3）如圖所示，設(shè)K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N． 則 KN = yK－yN =－（t +）=． 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +． 即當(dāng)t =－時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（－，）． 7