鉛錘高求三角形面積法

作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法 ------------二次函數(shù)教學反思最近教學二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經(jīng)過研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法在課堂上我還風趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. DBAOyxPCBAOyx BC鉛垂高水平寬h a 圖1例1．（2013深圳）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.解：（1）B（1，）（2）設拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點B（1, ），得，因此（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=—1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小.設直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當x=－1時，，因此點C的坐標為（－1，/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當x=－時，△PAB的面積的最大值為，此時.例2．(2014益陽) 如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)設拋物線的解析式為：把A（3,0）代入解析式求得所以設直線AB的解析式為：由求得B點的圖-2xCOyABD11坐標為 把，代入中 解得：所以 (2)因為C點坐標為(１,4)所以當x＝１時，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方單位)(3)假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，則由S△PAB=S△CAB得化簡得：解得，將代入中，解得P點坐標為例3．（2015江津）如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.解：(1)將A(1，0)，B(－3，0)代中得∴ ∴拋物線解析式為： (2)存在。

理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 ∴直線BC與的交點即為Q點， 此時△AQC周長最小 ∵ ∴C的坐標為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點坐標即為的解 ∴∴Q(－1，2)（3）答：存在理由如下：設P點∵若有最大值，則就最大，∴＝＝當時，最大值＝ ∴最大＝ 當時，∴點P坐標為同學們可以做以下練習：1．（2015浙江湖州）已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC1）填空：∠PCB=____度，P點坐標為（ ， ）；（2）若P，A兩點在拋物線y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；（3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點）上，是否存在一點M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由2．（湖北省十堰市2014）如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B (－3，0)，與y軸交于點C．(1) 求拋物線的解析式；(2) 設拋物線的對稱軸與軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3) 如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．圖① 圖②3.(2015年恩施) 如圖11，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積. 圖11解：（1）將B、C兩點的坐標代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達式為： （2）存在點P，使四邊形POPC為菱形．設P點坐標為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO．連結(jié)PP 則PE⊥CO于E，∴OE=EC= =．∴= 解得=，=（不合題意，舍去）∴P點的坐標為（，）（3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點的坐標為（x，x－3）.= 當時，四邊形ABPC的面積最大此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積．25．（2015綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．KNCEDGAxyOBFCEDGAxyOBF【解析】（1）由題意，得 解得，b =－1．所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）．（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點為B，連結(jié)BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．∴ △CDH的周長最小值為CD + DR + CH =．設直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3．所以直線BD的解析式為y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直線EF的解析式為y =x +．聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）．（3）如圖所示，設K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．則 KN = yK－yN =－（t +）=．所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．即當t =－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）． 7。