（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差教學(xué)案

第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX服從兩點(diǎn)分布XB(n，p)E(X)p(p為成功概率)npD(X)p(1p)np(1p)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小()(3)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)()答案：(1)(2)(3)×教材衍化1(選修2­3P68A組T1改編)已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)_解析：E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案：2(選修2­3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_解析：E(X)0×0.41×0.32×0.23×0.11.E(Y)0×0.31×0.52×0.20.9，因?yàn)镋(Y)<E(X)所以乙技術(shù)好答案：乙易錯(cuò)糾偏(1)期望、方差的性質(zhì)不熟導(dǎo)致錯(cuò)誤；(2)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式用法不當(dāng)1已知兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y滿足X2Y4，且XN(1，22)，則E(Y)，D(Y)依次是_解析：由XN(1，22)得E(X)1，D(X)4.又X2Y4，所以Y2，所以E(Y)2E(X)，D(Y)D(X)1.答案：，12在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響記乙能答對的題數(shù)為Y，則Y的數(shù)學(xué)期望為_解析：由題意知Y的可能取值為0，1，2，3，且YB，則E(Y)3×2.答案：2離散型隨機(jī)變量的均值、方差的求解(高頻考點(diǎn))離散型隨機(jī)變量的均值、方差的求解，比較大小，求實(shí)際問題中的均值、方差是浙江新高考的熱點(diǎn)主要命題角度有：(1)直接求均值、方差；(2)兩個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差大小比較；(3)實(shí)際問題中的均值、方差的求解角度一直接求均值、方差 (1)(2019·高考浙江卷)設(shè)0<a<1，隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P則當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，()AD(X)增大BD(X)減小CD(X)先增大后減小DD(X)先減小后增大(2)隨機(jī)變量的取值為0，1，2.若P(0)，E()1，則D()_【解析】(1)由題意可得，E(X)(a1)，所以D(X)，所以當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D(X)先減小后增大故選D.(2)設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()×0×1.【答案】(1)D(2)角度二兩個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差大小比較 已知隨機(jī)變量i滿足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2.若0p1p2，則()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)【解析】根據(jù)題意得，E(i)pi，D(i)pi(1pi)，i1，2，因?yàn)?<p1<p2<，所以E(1)<E(2)令f(x)x(1x)，則f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(p1)<f(p2)，即D(1)<D(2)，故選A.【答案】A角度三實(shí)際問題中的均值、方差的求解 (2020·臺州市書生中學(xué)高三質(zhì)檢)公園游園活動有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色之外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，摸出3個(gè)白球的概率，獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)【解】(1)設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i0，1，2，3)，則P(A3)·.設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則BA2A3.又P(A2)··，且A2，A3互斥，所以P(B)P(A2)P(A3).(2)由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，P(X0)；P(X1)C；P(X2).所以X的分布列為X012P所以E(X)0×1×2×.求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是求分布列，只要有了分布列，就可以依據(jù)定義求數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差，同時(shí)還要注意隨機(jī)變量aXb的方差可用D(aXb)a2D(X)求解 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為_解析：記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則YB(1 000，0.1)，所以E(Y)1 000×0.1100.又X2Y，所以E(X)E(2Y)2E(Y)200.答案：200均值、方差的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))本考點(diǎn)屬于均值、方差的簡單應(yīng)用主要命題角度有：(1)已知均值、方差求參數(shù)；(2)已知均值、方差求最值問題角度一已知均值、方差求參數(shù) (1)(2020·杭州高三質(zhì)檢)體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目的考試規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為m(m0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)1.75，則m的取值范圍是()A. B.C. D.(2)(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)若X是離散型隨機(jī)變量，P(Xa)，P(Xb)，且ab，又已知E(X)，D(X)，則ab的值為()A1 B2C3 D4【解析】(1)X的可能取值為1，2，3，因?yàn)镻(X1)m，P(X2)(1m)m，P(X3)(1m)2，所以E(X)m2m(1m)3(1m)2m23m3，由E(X)1.75，即m23m31.75，解得m或m(舍去)，所以0m.(2)由E(X)，D(X)得，解方程組可得ab3.【答案】(1)C(2)C角度二已知均值、方差求最值問題 (1)一個(gè)射箭運(yùn)動員在練習(xí)時(shí)只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運(yùn)動員在練習(xí)時(shí)射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c0，1)，如果已知該運(yùn)動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)取最小值時(shí)，c的值為()A. B.C. D0(2)A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2 X22%8%12%P0.20.50.3在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；將x(0x100)萬元投資項(xiàng)目A，100x萬元投資項(xiàng)目B，f(x)表示投資項(xiàng)目A所得利潤的方差與投資項(xiàng)目B所得利潤方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值【解】(1)選A.由該運(yùn)動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a9b9，所以10，當(dāng)且僅當(dāng)，即a9b時(shí)，取得最小值，解得此時(shí)c1ab1.(2)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)5×0.810×0.26，D(Y1)(56)2×0.8(106)2×0.24.E(Y2)2×0.28×0.512×0.38，D(Y2)(28)2×0.2(88)2×0.5(128)2×0.312.由題意，得f(x)DD D(Y1) D(Y2)x23(100x)2(4x2600x30 000)4(x75)27 500所以當(dāng)x75時(shí)，f(x)取得最小值3.(1)已知均值、方差求參數(shù)的思路依據(jù)均值、方差的計(jì)算公式列方程(方程組)或不等式，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解(2)已知均值(方差)求最值問題的一般思路構(gòu)造函數(shù)求最值構(gòu)造基本不等式求最值 1一個(gè)籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0，1)已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為()A. B.C. D.解析：選A.由題意知該運(yùn)動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為E0×c2×b3×a3a2b2.由均值不等式知3a2b2，所以22，即ab.2(2020·嘉興市高考模擬)已知隨機(jī)變量的分布列如下：012Pba2則E()的最小值為_，此時(shí)b_解析：由題意可得：ba21，即ba2，b0，1，a1，1E()0a22()a2a1(a)2，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號，此時(shí)b.答案：均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 (2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)學(xué)校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都為，且每題正確完成與否互不影響(1)求考生甲正確完成題目個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識分析比較甲、乙兩考生哪位實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)及哪位通過考查的可能性大？【解】(1)由題意知X的可能取值為1，2，3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以，考生甲正確完成題目數(shù)的分布列為X123P所以E(X)1×2×3×2.(2)設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題目個(gè)數(shù)為Y，因?yàn)閅B，其分布列為：P(Yk)C·，k0，1，2，3，所以E(Y)3×2.又因?yàn)镈(X)(12)2×(22)2×(32)2×，D(Y)3××，所以D(X)D(Y)又因?yàn)镻(X2)0.8，P(Y2)0.74，所以P(X2)P(Y2)從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望來看，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差來看，甲較穩(wěn)定；從至少完成2道題的概率來看，甲獲得通過的可能性較大，因此，可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計(jì)中常用來描述X的分散程度(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定 甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，射擊次數(shù)相同，已知兩名運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，他們比賽成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：環(huán)數(shù)擊中頻率選手78910甲0.20.150.3乙0.20.20.35請你根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)估計(jì)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率；(2)若從甲、乙運(yùn)動員中只能挑選一名參加某大型比賽，請你從隨機(jī)變量均值意義的角度，談?wù)勛屨l參加比較合適？解：(1)記甲運(yùn)動員擊中n環(huán)為事件An(n7，8，9，10)；乙運(yùn)動員擊中n環(huán)為事件Bn(n7，8，9，10)，甲運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件A9A10，乙運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件B9B10，根據(jù)已知事件A9與事件A10互斥，事件B9與事件B10互斥，事件A9A10與B9B10相互獨(dú)立，則P(A9A10)P(A9)P(A10)10.20.150.65，P(B9B10)P(B9)P(B10)0.20.350.55.所以甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率等于0.65×0.550.357 5.(2)設(shè)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)分別為隨機(jī)變量X、Y，根據(jù)已知得X、Y的可能取值為7，8，9，10.甲運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)X的分布列為X78910P0.20.150.30.35甲運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)X的均值E(X)7×0.28×0.159×0.310×0.358.8.乙運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)Y的概率分布列為Y78910P0.20.250.20.35乙運(yùn)動員射擊環(huán)數(shù)Y的均值E(Y)7×0.28×0.259×0.210×0.358.7.因?yàn)镋(X)>E(Y)，所以從隨機(jī)變量均值意義的角度看，選甲去比較合適核心素養(yǎng)系列22數(shù)據(jù)分析利用期望與方差進(jìn)行決策某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買則每個(gè)500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一應(yīng)選用哪個(gè)？【解】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)當(dāng)n19時(shí)，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.當(dāng)n20時(shí)，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量1，2的期望，當(dāng)E(1)E(2)時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用D(1)，D(2)來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度，偏離程度小的更好(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近(3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時(shí)，一般先計(jì)算期望，若相等，則由方差來確定哪一個(gè)更好若E(1)與E(2)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(1)與E(2)比較接近且方差相差不大時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定 基礎(chǔ)題組練1若隨機(jī)變量X的分布列為 XCP1，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()AE(X)D(X)0BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)CDE(X)D(X)C解析：選B.E(X)C×1C，D(X)(E(X)C)2×10，故選B.2(2020·稽陽市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機(jī)變量的分布列如下，且滿足E()2，則E(ab)的值為()123PabcA.0B1C2 D無法確定，與a，b有關(guān)解析：選B.因?yàn)镋()2，則a2b3c2，又abc1，聯(lián)立兩式可得ac，2ab1，E(ab)aE()b2ab1.3(2018·高考浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是012P則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，()AD()減小 BD()增大CD()先減小后增大 DD()先增大后減小解析：選D.由題可得E()p，所以D()p2p，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D()先增大后減小故選D.4設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)(k2，4，6，8，10)，則D(X)等于()A5 B8C10 D16解析：選B.因?yàn)镋(X)(246810)6，所以D(X)(4)2(2)20222428.5設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，則()AE()3.5，D()3.52BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5DE()3.5，D()解析：選B.隨機(jī)變量的分布列為123456P從而E()1×2×3×4×5×6×3.5，D()(13.5)2×(23.5)2×(33.5)2×(43.5)2×(53.5)2×(63.5)2×.6如圖，將一個(gè)各面都凃了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0×1×2×3×.7(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)2，則D(2X3)()X02aPpA.2 B3C4 D5解析：選C.由題意可得，p1，解得p，因?yàn)镋(X)2，所以0×2×a×2，解得a3.D(X)(02)2×(22)2×(32)2×1.D(2X3)4D(X)4.故選C.8(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()A5 B5.25C5.8 D4.6解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)3×4×5×6×5.25.9罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為()A. B.C. D.解析：選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則XB，所以D(X)4××.10已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1，2)個(gè)球放入甲盒中(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i1，2)；(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i1，2)，則()Ap1>p2，E(1)<E(2) Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2) Dp1<p2，E(1)<E(2)解析：選A.隨機(jī)變量1，2的分布列為112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)<E(2)因?yàn)閜1·，p2··，p1p2>0，所以p1>p2.11某射擊運(yùn)動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，則y的值為_解析：由題意知，x0.10.3y1，又E()3x4×0.15×0.36y4.3，兩式聯(lián)立解得y0.2.答案：0.212已知X的分布列為X101P且YaX3，E(Y)，則a的值為_解析：E(X)1×0×1×，E(Y)E(aX3)aE(X)3a3，所以a2.答案：213設(shè)口袋中有黑球、白球共9個(gè)從中任取2個(gè)球，若取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為_解析：設(shè)白球有m個(gè)，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0×1×2，即×2，解得m3.答案：314隨機(jī)變量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則D()的值是_解析：由題意可得解得所以D()×××.答案：15已知隨機(jī)變量的分布列為101P那么的數(shù)學(xué)期望E()_，設(shè)21，則的數(shù)學(xué)期望E()_解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E()1×0×1×，E()E(21)2E()12×1.答案：16(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個(gè)班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為_，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A).隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)01×2×3×.答案：17從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有_種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_解析：從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為X012PE(X)01×2×.答案：48綜合題組練1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為X01234P所以E(X)0×1×2×3×4×1.5，D(X)(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a±2，又E(Y)aE(X)b，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4，所以或2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解：(1)由題意得2，3，4，5，6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D(1)2·(2)2·(3)2·，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.3C1：yaxb，a，b1，2，3，4，5，C2：x2y22.(1)求C1，C2有交點(diǎn)的概率P(A)；(2)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線axyb0的距離為d，若C1，C2有交點(diǎn)，則db22(a21)當(dāng)b1時(shí)，a1，2，3，4，5；當(dāng)b2時(shí)，a1，2，3，4，5；當(dāng)b3時(shí)，a2，3，4，5；當(dāng)b4時(shí)，a3，4，5；當(dāng)b5時(shí)，a4，5.共5543219種情況，所以P(A).(2)當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，直線與圓相離，有6種情況；當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，直線與圓相切，b22(a21)，只有a1，b2這1種情況；當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，由(1)知直線與圓相交，有18種情況所以E()0×1×2×.4(2020·溫州八校聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤1(萬元)的概率分布列如下表所示：1110120170Pm0.4n且1的期望E(1)120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0p1)和1p .若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與2的關(guān)系如下表所示：X012241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求2的分布列；(3)若E(1)E(2)，則選擇投資乙項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍解：(1)由題意得解得m0.5，n0.1.(2)2的可能取值為41.2，117.6，204，P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)，P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(2204)p(1p)，所以2的分布列為241.2117.6204Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E(2)41.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6，由E(1)E(2)，得12010p210p117.6，解得0.4p0.6，即當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是(0.4，0.6)21