（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項(xiàng)式定理教學(xué)案

第3講二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式定理(1)定理：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)(2)通項(xiàng)：第k1項(xiàng)為Tk1Cankbk(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C(k0，1，2，n)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)(ab)n的展開式中的第r項(xiàng)是Canrbr.()(2)在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)()(3)在(ab)n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)()(4)通項(xiàng)Tr1Canrbr中的a和b不能互換()(5)(ab)n展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同()答案：(1)×(2)×(3)(4)(5)×教材衍化1(選修2­3P31例2(1)改編)(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)為_解析：Tk1C(2x)kC2kxk，當(dāng)k2時，x2的系數(shù)為C·2240.答案：402(選修2­3P31例2(2)改編)若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，所以n6，Tk1C·x6k·Cx62k，當(dāng)62k0，即當(dāng)k3時為常數(shù)項(xiàng)，T4C20.答案：203(選修2­3P41B組T5改編)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為_解析：令x1，則a0a1a2a3a40，令x1，則a0a1a2a3a416，兩式相加得a0a2a48.答案：8易錯糾偏(1)混淆“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”致誤；(2)配湊不當(dāng)致誤1在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_解析：由題意得2n32，所以n5.令x1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為(12)51.答案：12已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，則a8_解析：因?yàn)?1x)102(1x)10，所以其展開式的通項(xiàng)公式為Tr1(1)r210r·C(1x)r，令r8，得a84C180.答案：180二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)(高頻考點(diǎn))二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題主要命題角度有：(1)求展開式中的某一項(xiàng)；(2)求展開式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)；(3)由已知條件求n的值或參數(shù)的值角度一求展開式中的某一項(xiàng) (2019·高考浙江卷)在二項(xiàng)式(x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是_【解析】該二項(xiàng)展開式的第k1項(xiàng)為Tk1C()9kxk，當(dāng)k0時，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為16；當(dāng)k1，3，5，7，9時，展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為5.【答案】165角度二求展開式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) (1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15B20C30 D35【解析】(1x)6展開式的通項(xiàng)Tr1Cxr，所以(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C1×C30，故選C.【答案】C角度三由已知條件求n的值或參數(shù)的值 (2020·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)若二項(xiàng)式(ax)6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若A4B，則a_【解析】Tr1(1)rC(ax)6r()r(1)ra6rCx6r.令6r3得r2，則 Aa4C15a4；令6r0得r4，則B(1)4a2C15a2，又由A4B得15a44×15a2，則a2.【答案】2與二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的解題策略(1)求展開式中的第n項(xiàng)，可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)直接求出第n項(xiàng)(2)求展開式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第r1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可(3)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù) 1若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值等于()A3 B4C5 D6解析：選C.Tr1C(x6)nrCx6nr，當(dāng)Tr1是常數(shù)項(xiàng)時，6nr0，即nr，又nN*，故n的最小值為5，故選C.2(2020·金華十校期末調(diào)研)在()n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n_；展開式中常數(shù)項(xiàng)是_解析：在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n8.所以Tr1C(1)rCx82r.由82r0，得r4.所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是(1)4C.答案：8二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或各項(xiàng)系數(shù)和 (1)在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng)(2)(2020·寧波十校聯(lián)考)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_【解析】(1)依題意可知Tr1C(1)rx223r，0r11，rZ，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是C與C.當(dāng)r6時，T7Cx4，故系數(shù)最大的項(xiàng)是第七項(xiàng)(2)令x0，得到a0a1a2a9(2m)9，令x2，得到a0a1a2a3a9m9，所以有(2m)9m939，即m22m3，解得m1或3.【答案】(1)七(2)1或3(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝?x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：令x2，得到a0a1a2a9(4m)9，令x0，得到a0a1a2a3a9(m2)9，所以有(4m)9(m2)939，即m26m50，解得m1或5.答案：1或5賦值法的應(yīng)用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5. 1在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A15 B20C30 D120解析：選A.因?yàn)槎?xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，又二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第4項(xiàng)，所以展開式中共有7項(xiàng)，所以n6，展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x2)6rCx123r，令123r0，則r4，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5C15.2已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_解析：由題意知a4為含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4C×12×C×22C×13×C×216，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5C×13×C×224.答案：164二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 設(shè)aZ，且0a13，若512 018a能被13整除，則a()A0 B1C11 D12【解析】512 018a(521)2 018aC522 018C522 017C×52×(1)2 017C×(1)2 018a.因?yàn)?2能被13整除，所以只需C×(1)2 018a能被13整除，即a1能被13整除，所以a12.【答案】D(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個式子整除即可(2)求余數(shù)問題時，應(yīng)明確被除式f(x)與除式g(x)(g(x)0)，商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍 1(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)二項(xiàng)式(nN*)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為an，bn，則()A2n13 B2(2n11)C2n1 D1解析：選C.二項(xiàng)式(nN*)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，各項(xiàng)系數(shù)和為，所以an2n，bn，所以2n1，故選C.2求證：3n>(n2)·2n1(nN*，n>2)證明：因?yàn)閚N*，且n>2，所以3n(21)n展開后至少有4項(xiàng)(21)n2nC·2n1C·212nn·2n12n1>2nn·2n1(n2)·2n1，故3n>(n2)·2n1(nN*，n>2)基礎(chǔ)題組練1(2020·金華十校期末調(diào)研)在(x24)5的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)為()A20 B40C80 D160解析：選D.Tr1C(x2)5r(4)r(4)rCx102r，令102r6，解得r2，所以含x6的項(xiàng)的系數(shù)為(4)2C160.2(2020·臺州高三期末考試)已知在()n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n()A9 B8C7 D6解析：選D.因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，由C()n5()5()n5C·xn6，可得n60，解得n6.故選D.3(2020·溫州市普通高中?？?在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為()A15 B45C135 D405解析：選C.由題意64，n6，Tr1Cx6r3rCx6，令63，r2，32C135.4(2020·湖州市高三期末考試)若(x)(2x)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A40 B20C40 D20解析：選C.令x1，(1a)×(21)52，解得a1.所以(2x)5的通項(xiàng)公式Tr1C(2x)5r()r(1)r25rCx52r，令52r1，52r1.解得r3或2.所以該展開式中常數(shù)項(xiàng)(1)322C(1)2×23C40.5(x2x1)10的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為()A210 B210C30 D30解析：選A.(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)Cx2(x1)9C(x1)10，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為：CCC(C)210.6(x2xy)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A10 B20C30 D60解析：選C.(x2xy)5的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x2x)5r·yr，令r2，則T3C(x2x)3y2，又(x2x)3的展開式的通項(xiàng)為C(x2)3k·xkCx6k，令6k5，則k1，所以(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC30，故選C.7已知(axb)6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與18，則(axb)6的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為()A1 B1C32 D64解析：選D.由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知x4項(xiàng)的系數(shù)為Ca4b2，x5項(xiàng)的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得，解得ab±2，故(axb)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(ab)664，選D.8在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60C120 D210解析：選C.因?yàn)閒(m，n)CC，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC120.9(2020·義烏調(diào)研測試)若(x2a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A. B.C1 D2解析：選D.因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為Tr1Cx10r·Cx102r，所以(x2a)的展開式中含x6的項(xiàng)為x2·Cx4aCx6(CaC)x6，則CaC30，解得a2，故選D.10(2020·臺州模擬)(x2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是()A68y7 B112x3y4C672x2y5 D1 344x2y5解析：選C.設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有即即解得又因?yàn)閞Z，所以r5.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T6Cx2·25y5672x2y5.故選C.11(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)在二項(xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是_解析：因?yàn)樵诙?xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n8，展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C·(1)r·x82r，令82r2，則r3，所以展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是C56.答案：5612(2020·溫州中學(xué)高三?？?已知(1xx2)(nN*)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且2n8，則n_解析：因?yàn)榈耐?xiàng)公式為Tr1Cxnr·x3rCxn4r，故當(dāng)n4r0，1，2時存在常數(shù)項(xiàng)，即n4r，4r1，4r2，故n2，3，4，6，7，8時為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)n5時沒有常數(shù)項(xiàng)符合題設(shè)答案：513若直線xay10與2xy50垂直，則二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為_解析：由兩條直線垂直，得1×2a×(1)0，得a2，所以二項(xiàng)式為，其通項(xiàng)公式Tr1C(2x2)5r·(1)r25rCx103r，令103r4，解得r2，所以二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為23C80.答案：8014已知(1x)5的展開式中xr(rZ且1r5)的系數(shù)為0，則r_.解析：依題意，(1x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Cxr，故展開式為(x55x410x310x25x1)，故可知展開式中x2的系數(shù)為0，故r2.答案：215(2020·杭州市高考模擬)若(2x)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則n_；展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_解析：因?yàn)?2x)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n64，則n6；根據(jù)(2x)n(2x)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C·(1)r·(2x)6r·x2rC·(1)r·26r·x63r，令63r0，求得r2，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C·24240.答案：624016(2020·浙江東陽中學(xué)高三檢測)已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，則a0_；(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2_解析：由(12x)7a0a1xa2x2a7x7，觀察：可令x0得：(12×0)7a0a1×0a7×01，a01.(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)2(a0a1a7)a0a2a4a6(a1a3a5a7)，則可令x1得：(12×1)7a0a1a2a71，再可令x1得：(12×1)7a0a1a2a3a7372 187，可得：(a0a2a4a6)2(a1a3a5a7)21×2 1872 187.答案：12 18717設(shè)f(x)是(x2)6展開式中的中間項(xiàng)，若f(x)mx在區(qū)間，上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：(x2)6的展開式中的中間項(xiàng)為第四項(xiàng)，即f(x)C(x2)3()3x3，因?yàn)閒(x)mx在區(qū)間，上恒成立，所以mx2在，上恒成立，所以m(x2)max5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是5，)答案：5，)綜合題組練1CCCC(nN*)的值為()A2n B22n1C2n1 D22n11解析：選D.(1x)2nCCxCx2Cx3Cx2n.令x1，得CCCCC22n；再令x1，得CCC(1)rCCC0.兩式相加，可得CCC122n11.2(2020·杭州七校聯(lián)考)若(xy)9按x的降冪排列的展開式中，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，且xy1，xy<0，則x的取值范圍是()A. B.C. D(1，)解析：選D.二項(xiàng)式(xy)9的展開式的通項(xiàng)是Tr1C·x9r·yr.依題意，有由此得解得x>1，即x的取值范圍為(1，)3若的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為A，B，C，且滿足4A9(CB)，則展開式為x2的系數(shù)為_解析：易得A1，B，C，所以有49，即n27n80，解得n8或n1(舍)在中，因?yàn)橥?xiàng)Tr1Cx8r·x82r，令82r2，得r3，所以展開式中x2的系數(shù)為.答案：4已知(xtan 1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則tan _解析：的通項(xiàng)為Tr1C·x4r·，令4r3，則r1，所以的展開式中x3的系數(shù)是C·5，(xtan 1)5的通項(xiàng)為TR1C·(xtan )5R，令5R2，得R3，所以(xtan 1)5的展開式中x2的系數(shù)是C·tan25，所以tan2，所以tan ±.答案：±5(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)設(shè)m，nN，f(x)(1x)m(1x)n.(1)當(dāng)mn5時，若f(x)a5(1x)5a4(1x)4a1(1x)a0，求a0a2a4的值；(2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9，當(dāng)m，n變化時，求x2系數(shù)的最小值解：(1)當(dāng)mn5時，f(x)2(1x)5，令x0，則f(0)a5a4a1a02，令x2，則f(2)a5a4a1a02×35，所以a0a2a4351244.(2)由題意得f(x)展開式中x的系數(shù)是CCmn9，x2系數(shù)為CC，又，因?yàn)閙，nN，所以當(dāng)m4或m5時最小，最小值為16.6(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知.(1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：(1)通項(xiàng)Tr1C·(2x)r22rnCxr，由題意知C，C，C成等差數(shù)列，所以2CCC，所以n14或7.當(dāng)n14時，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)的系數(shù)為22×714C3 432；當(dāng)n7時，第4、5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，其系數(shù)分別為22×37C，22×47C70.(2)由題意知CCC79，所以n12或n13(舍)所以Tr122r12Cxr.由得所以r10.所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T1122×1012·Cx10(2x)10.13