（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)案 文

第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率第一節(jié)抽樣方法、用樣本估計(jì)總體本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表；2.樣本的數(shù)字特征.突破點(diǎn)(一)抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地取出n個(gè)個(gè)體作為樣本(nN)，如果每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣(2)最常用的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法2系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣3分層抽樣一般地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾個(gè)部分，然后按各個(gè)部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個(gè)部分稱為“層”4三種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣均為不放回抽樣，且抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等從總體中逐個(gè)抽取是后兩種方法的基礎(chǔ)總體中的個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體抽樣分層抽樣將總體分成幾層，分層按比例進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖6頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連結(jié)頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線7莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”抽樣方法類型(一)簡單隨機(jī)抽樣1抽簽法的步驟第一步，將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；第二步，將這N個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；第三步，將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；第四步，從箱中每次抽取1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取k次；第五步，將總體中與抽取的號(hào)簽的編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出2隨機(jī)數(shù)表法的步驟第一步，將個(gè)體編號(hào)；第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)開始；第三步，從選定的數(shù)開始，按照一定抽樣規(guī)則在隨機(jī)數(shù)表中選取數(shù)字，取足滿足要求的數(shù)字就得到樣本的號(hào)碼例1(1)以下抽樣方法中是簡單隨機(jī)抽樣的序號(hào)是_在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)；某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見；用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)(2)總體由編號(hào)為01，02，19,20的20個(gè)個(gè)體組成利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為_7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481解析(1)不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；是簡單隨機(jī)抽樣(2)由題意知前5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為08,02,14,07,01.答案(1)(2)01類型(二)系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟例2(1)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為_(2)湖南衛(wèi)視為了解觀眾對(duì)我是歌手的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時(shí)，需剔除_個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為_解析(1)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為20，每組抽取一人，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間481,720的數(shù)目為(720480)÷2012.(2)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時(shí)，應(yīng)先用簡單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號(hào)為1,2,3，500，并均勻分成50段，每段含10個(gè)個(gè)體所以需剔除2個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為10.答案(1)12(2)210易錯(cuò)提醒用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，取k，即先從總體中用簡單隨機(jī)抽樣的方法剔除(Nnk)個(gè)個(gè)體，且剔除多余的個(gè)體不影響抽樣的公平性類型(三)分層抽樣進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比例3(1)(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取_件(2)(2018·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為357，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n_.(3)某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人).籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為_解析(1)應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60×18(件)(2)依題意得×n18，解得n90，即樣本容量為90.(3)由題意知，解得a30.答案(1)18(2)90(3)30方法技巧分層抽樣的解題策略(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣(4)抽樣比. 頻率分布直方圖和莖葉圖類型(一)頻率分布直方圖例4(1)(2018·揚(yáng)州市考前調(diào)研)隨著社會(huì)的發(fā)展，食品安全問題漸漸成為社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)，為了提高學(xué)生的食品安全意識(shí)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加食品安全知識(shí)競賽，成績的頻率分布直方圖如下圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，若該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為3 000，則成績不超過60分的學(xué)生人數(shù)大約為_(2)某地政府調(diào)查了工薪階層1 000人的月工資收入，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對(duì)月工資收入的滿意程度，要用分層抽樣的方法從調(diào)查的1 000人中抽出100人做電話詢?cè)L，則(30,35(百元)月工資收入段應(yīng)抽出_人解析(1)由圖知，成績不超過60分的學(xué)生的頻率為(0.0050.01)×200.3，所以成績不超過60分的學(xué)生人數(shù)大約為0.3×3 000900.(2)月工資收入落在(30,35(百元)內(nèi)的頻率為1(0.020.040.050.050.01)×510.850.15，所以(30,35(百元)月工資收入段應(yīng)抽出100×0.1515(人)答案(1)900(2)15方法技巧1繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意的兩點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率2與頻率分布直方圖計(jì)算有關(guān)的兩個(gè)關(guān)系式(1)×組距頻率；(2)頻率，此關(guān)系式的變形為樣本容量，樣本容量×頻率頻數(shù)類型(二)莖葉圖1莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)2莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等例5某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論解(1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過觀察莖葉圖可以看出：品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差方法技巧莖葉圖問題的求解策略(1)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表問題時(shí)，要充分對(duì)這個(gè)圖表提供的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對(duì)某些問題作出判斷(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖數(shù)據(jù)求出樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.某工廠的質(zhì)檢人員對(duì)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品，采用隨機(jī)數(shù)法抽取10件檢查，對(duì)100件產(chǎn)品采用下面的編號(hào)方法：1,2,3，100；001,002，100；00,01,02，99；01,02,03，100.其中正確的序號(hào)是_解析：根據(jù)隨機(jī)數(shù)法編號(hào)可知，編號(hào)位數(shù)不統(tǒng)一答案：2.(2018·南京市高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400,300名學(xué)生為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為_解析：400×16.答案：163.甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為_解析：分層抽樣中各層的抽樣比相同樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有50件，則乙設(shè)備生產(chǎn)的有30件在4 800件產(chǎn)品中，甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為53，所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)為×4 8001 800(件)答案：1 8004.為了了解本班學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)游戲的態(tài)度，高三(6)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對(duì)60名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)為：01,02,03，60，已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09，則抽取的學(xué)生中最大的編號(hào)為_解析：由最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09可知，抽取時(shí)的分段間隔是6.即抽取10名同學(xué)，其編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號(hào)為39×657.答案：575.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為135號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績?cè)趨^(qū)間139,151上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是_解析：35÷75，因此可將編號(hào)為135的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個(gè)數(shù)據(jù)，在區(qū)間139,151上共有20個(gè)數(shù)據(jù)，分在20÷54個(gè)小組中，每組取1人，共取4人答案：46.某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，則圖中x的值等于_解析：依題意，0.054×1010×x0.01×100.006×10×31，解得 x0.018.答案：0.018突破點(diǎn)(二)樣本的數(shù)字特征 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s .(2)方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中xi(i1,2,3，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)(3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差相比，都是衡量樣本數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，但方差因?yàn)閷?duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了平方運(yùn)算，夸大了樣本的偏差程度3平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1a，mx2a，mxna的平均數(shù)為ma，方差為m2s2.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神” 樣本的數(shù)字特征1.用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似實(shí)際應(yīng)用中，需先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，分析穩(wěn)定情況2若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小考法(一)與頻率分布直方圖交匯命題例1某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替當(dāng)w3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)解(1)由用水量的頻率分布直方圖，知該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1，(1,1.5，(1.5,2，(2,2.5，(2.5,3內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：組號(hào)12345678分組2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為4×0.16×0.158×0.210×0.2512×0.1517×0.0522×0.0527×0.0510.5(元)方法技巧頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和考法(二)與莖葉圖交匯命題例2(1)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，則x，y的值分別是_(2)(2017·南京三模)如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為_解析(1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17, 故y7，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，解得x7.(2)由莖葉圖知，得分較為穩(wěn)定的那名運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該是乙，他在五場比賽中得分分別為8,9,10,13,15，所以他的平均得分為×(89101315)11，其方差為s2×(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案(1)7,7(2)6.8易錯(cuò)提醒在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義樣本數(shù)據(jù)與優(yōu)化決策例3甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是_解析由題目表格中數(shù)據(jù)可知，丙平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明成績好，且技術(shù)穩(wěn)定，所以最佳人選是丙答案丙方法技巧利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.如圖是某學(xué)校舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)上七位評(píng)委為某體操項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為_解析：依題意，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是80×(4×367)85，所剩數(shù)據(jù)的方差是×3×(8485)2(8685)2(8785)21.6.答案：85,1.62.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_解析：甲乙9，s×(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s×(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定答案：甲3.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.08×0.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2，2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5中的頻率分別為0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.040.080.5×a0.200.260.5×a0.060.040.021，解得a0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.1236 000.(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.040.080.150.200.260.150.880.85，而前5組的頻率之和為0.040.080.150.200.260.730.85，所以2.5x3.由0.30×(x2.5)0.850.73，解得x2.9.所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)4.某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差解：(1)由題可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是401921.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為(193×283×295×304×313×3240)30，這20名工人年齡的方差為s2 (xi)212.6.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測 重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運(yùn)算能力1某學(xué)校為了了解某年高考數(shù)學(xué)的考試成績，在高考后對(duì)該校1 200名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽取120名考生作為樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；從10名家長中隨機(jī)抽取3名參加座談會(huì)，記這項(xiàng)調(diào)查為，則完成，這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是_解析：在中，文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好；在中，抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，宜采用簡單隨機(jī)抽樣法答案：分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法2(2018·江蘇省淮安市高三期中)某校高三年級(jí)500名學(xué)生中，血型為O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人為研究血型與色弱之間的關(guān)系，現(xiàn)用分層抽樣的方法從這500名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則應(yīng)抽取_名血型為AB的學(xué)生解析：在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，所以血型為AB的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為50×6.答案：63(2018·常州模擬)某地區(qū)有高中學(xué)校10所，初中學(xué)校30所，小學(xué)學(xué)校60所現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取20所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康檢查，則應(yīng)抽取初中學(xué)校_所解析：抽樣比為20%，所以應(yīng)抽取初中學(xué)校30×20%6所答案：64(2018·徐州市高三年級(jí)期中)已知一組數(shù)據(jù)：87，x,90,89,93的平均數(shù)為90，則該組數(shù)據(jù)的方差為_解析：由題意(87x908993)90，得到x91，所以方差s2(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24.答案：4練?？碱}點(diǎn)檢驗(yàn)高考能力一、填空題1(2017·蘇州暑假測試)已知等差數(shù)列an的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d_.解析：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值為a3，所以方差為(2d)2(d)20d2(2d)22d28，解得d±2.答案：±22(2018·南通模擬)如圖是甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中得分的莖葉圖，則成績較穩(wěn)定(方差較小)的那一位同學(xué)的方差為_解析：甲(8889909192)90；乙(8789909193)90.s(8890)2(8990)2(9090)2(9190)2(9290)2(4141)2；s(8790)2(8990)2(9090)2(9190)2(9390)2(9119)4.答案：23如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在30,35)，35,40)，40,45的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則年齡在35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為_解析：由題意得，年齡在20,25)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.01×50.05，25,30)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.07×50.35，又30,35)，35,40)，40,45的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則其頻率也成等差數(shù)列，又30,45的頻率為10.050.350.6，則年齡在35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.6÷30.2.答案：0.24(2018·南通中學(xué)高三月考)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛則z的值為_解析：這個(gè)月生產(chǎn)的轎車共有100300150450z6001 600z(輛)，A類轎車400輛，所以，得z400.答案：4005(2018·鹽城模擬)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為_解析：(x1x2x3x4x5)，(x1x2x3x4x5)，s2xxxxx5()22，s，s2(2x1)2(2x2)2(2x3)2(2x4)2(2x5)25(2)24s2，所以s2s2.答案：26(2018·連云港模擬)如圖是一次攝影大賽上7位評(píng)委給某參賽作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91分復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是_解析：分類計(jì)算，(1)當(dāng)x1時(shí)，(8991919292)91; (2)當(dāng)x2時(shí)×(8991929292)91.2，不合題意，所以x1.答案：1 7在樣本頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其他10個(gè)小長方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為_解析：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x4x1，所以x0.2，故中間一組的頻數(shù)為160×0.232.答案：328某公司300名員工2017年年終獎(jiǎng)金情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工中年終獎(jiǎng)金在1.41.6萬元的共有_人解析：由頻率分布直方圖知年終獎(jiǎng)金低于1.4萬元或者高于1.6萬元的頻率為(0.20.80.81.01.0)×0.20.76，因此，年終獎(jiǎng)金在1.41.6萬元間的頻率為10.760.24，所以300名員工中年終獎(jiǎng)金在1.41.6萬元間的員工人數(shù)為300×0.2472.答案：729高一(1)班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知6號(hào)，32號(hào)，45號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是_解析：由題意得各組間距為13，因?yàn)樵诘谝唤M中抽取的是6，所以以下各組依次應(yīng)該抽?。?1319,62×1332,63×1345，即另一個(gè)編號(hào)為19.答案：1910(2018·泰州質(zhì)檢)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(單位：環(huán))如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是_解析：甲×(9.89.910.11010.2)10，乙×(9.410.310.89.79.8)10，s×(9.810)2(9.910)2(10.110)2(1010)2(10.210)2×(0.040.010.010.04)0.02，s×(9.410)2(10.310)2(10.810)2(9.710)2(9.810)2×(0.360.090.640.090.04)0.244.因?yàn)閟s，所以甲的成績最穩(wěn)定，其方差為0.02.答案：0.02二、解答題11(2017·北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.020.04)×100.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為10.60.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.010.020.040.02)×100.9，故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1，故分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.155.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.020.04)×10×10060，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×260，女生人數(shù)為1006040，男生和女生人數(shù)的比例為604032.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為32.12隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)應(yīng)用軟件層出不窮現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取50個(gè)商家，對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下：(1)試估計(jì)使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)；(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：能否認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%?如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會(huì)選擇哪款？說明理由解：(1)依題意可得，使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)為55.使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.0625×0.3435×0.1245×0.0455×0.465×0.0440.(2)使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家的比例估計(jì)值為0.040.200.560.8080%75%.故可以認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%.使用B款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.0425×0.235×0.5645×0.1455×0.0465×0.023540，所以選B款訂餐軟件第二節(jié)概率本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.隨機(jī)事件的頻率與概率；2.古典概型與幾何概型；3.互斥事件與對(duì)立事件.突破點(diǎn)(一)隨機(jī)事件的頻率與概率 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1事件的分類2頻率和概率(1)若在相同的條件下，隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則稱為事件A發(fā)生的頻率；當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率可以作為隨機(jī)事件A的概率的近似值 (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率，記作P(A).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”隨機(jī)事件的頻率與概率事件A發(fā)生的頻率是利用頻數(shù)m除以試驗(yàn)總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動(dòng)幅度越來越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗(yàn)次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率典例(2018·湖北七市聯(lián)考)某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購物者進(jìn)行調(diào)查這1 000名購物者2016年網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9，購物金額的頻率分布直方圖如下：電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關(guān)系如下：購物金額分組0.3,0.5)0.5,0.6)0.6,0.8)0.8,0.9發(fā)放金額50100150200(1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1 000名購物者購物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率解(1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3x0.50.5x0.60.6x0.80.8x0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為：96.(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由(1)有P(y150)P(0.6x0.8)0.28，P(y200)P(0.8x0.9)0.02，從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為P(y150)P(y150)P(y200)0.280.020.3.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“×”表示未購買.商品顧客人數(shù) 甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×××(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為0.2，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為0.6，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為0.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大2如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑解：(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有121216444(人)，用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為所用時(shí)間(分鐘)10202030304040505060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；記事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2.突破點(diǎn)(二)古典概型與幾何概型 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1基本事件在1次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件基本事件的特點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件都是不可能同時(shí)發(fā)生的；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的2古典概型具有以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型：(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的3古典概型的概率公式如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，則事件A發(fā)生的概率為：P(A).4幾何概型的定義設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)，這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d 的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型5幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性6幾何概型的概率公式P(A).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”古典概型古典概型的概率計(jì)算往往與實(shí)際問題結(jié)合緊密，解決問題的一般步驟如下：第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否為古典概型，若滿足有限性和等可能性，則進(jìn)行下一步第二步，在理解題意的基礎(chǔ)上，若基本事件的個(gè)數(shù)較少，可用列舉法、列表法或樹狀圖法將基本事件一一列出，求出基本事件的總數(shù)n，并在這些基本事件中找出題目要求的事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率例1(1)(2017·蘇北三市三模)現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個(gè)字將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成“中國夢”的概率是_. (2)(2018·蘇州高三暑假測試)有五條線段，其長度分別為2,3,4,5,7.現(xiàn)任取三條，則這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是_解析(1)把這三張卡片排序有“中”“國”“夢”，“中”“夢”“國”，“國”“中”“夢”，“國”“夢”“中”，“夢”“中”“國”，“夢”“國”“中”，共計(jì)6種，能組成“中國夢” 的只有1種，概率為.(2)從長度分別為2,3,4,5,7的五條線段中任取三條，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10個(gè)基本事件，記“這三條線段可以構(gòu)成三角形”為事件A，則事件A包含了(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5個(gè)基本事件，所以這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是.答案(1)(2)方法技巧1古典概型計(jì)算三步曲第一，本試驗(yàn)是不是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè)2確定基本事件的方法(1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可列舉計(jì)算；(2)列表法、樹狀圖法 幾何概型例2(1)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為_(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AMAC的概率為_(3)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_(4)在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_解析(1)設(shè)|AC|x，則|BC|12x，所以x(12x)20，解得2x10，故所求概率P.(2)過點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N，使ANAC，如圖所示顯然當(dāng)射線CM處在ACN內(nèi)時(shí)，AMAC.又A45°，所以ACN67.5°，故所求概率為P.(3)因?yàn)閒(x)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，故矩形ABCD的面積為2×36，陰影部分的面積為×3×1，故P.(4)正方體的體積為：2×2×28，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×r3××13，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：11.答案(1)(2)(3)(4)1方法技巧1與長度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解2與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段如本例中的第(2)題極易求錯(cuò)3與面積有關(guān)的幾何概型求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解4與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)ab，bc時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312)等若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是_解析：由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個(gè)；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個(gè)；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個(gè)所以共有666624個(gè)三位數(shù)當(dāng)b1時(shí)，有214,213,314,412,312,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”故這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P.答案：2.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線axby0與圓(x2)2y22有公共點(diǎn)的概率為_解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36