（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 理

第六章 數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的性質(zhì).突破點(diǎn)(一)數(shù)列的通項(xiàng)公式 1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))2數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式3數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，即anf(an1)(或anf(an1，an2)等)，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列an的遞推公式4Sn與an的關(guān)系已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成立1判斷題(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(3)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫(xiě)出數(shù)列an的任何一項(xiàng)()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)×(2)(3)(4)×2填空題(1)已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)答案：an2n1(nN*)(2)已知數(shù)列an中，a11，an1，則a2_.答案：(3)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Snn21，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_答案：an利用數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，需要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)之間的關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系 例1(1)(2018·江西鷹潭一中期中)數(shù)列1，4,9，16,25，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aann2Ban(1)nn2Can(1)n1n2Dan(1)n(n1)2(2)(2018·山西太原五中調(diào)考)把1,3,6,10,15，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的圓點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)則第7個(gè)三角形數(shù)是()A27B28C29D30解析(1)法一：該數(shù)列中第n項(xiàng)的絕對(duì)值是n2，正負(fù)交替的符號(hào)是(1)n1，故選C.法二：將n2代入各選項(xiàng)，排除A，B，D，故選C.(2)觀察三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是該項(xiàng)的序號(hào)，即anan1n(n2)所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算可知，第7個(gè)三角形數(shù)是a7a67a567156728.故選B.答案(1)C(2)B方法技巧由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的思路方法(1)分式形式的數(shù)列，分別求分子、分母的通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系(2)若第n項(xiàng)和第n1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么符號(hào)用(1)n或(1)n1或(1)n1來(lái)調(diào)控(3)對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，這就需要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，可使用添項(xiàng)、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納提醒根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式利用了不完全歸納法，其蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為an通過(guò)紐帶：anSnSn1(n2)，根據(jù)題目已知條件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通過(guò)構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn(1)n1·n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解(1)a5a6S6S4(6)(4)2，當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(1)n1·n(1)n·(n1)(1)n1·n(n1)(1)n1·(2n1)，又a1也適合此式，所以an(1)n1·(2n1)(2)因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S16；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)12·3n12，由于a1不適合此式，所以an方法技巧已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來(lái)寫(xiě)利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)例3(1)在數(shù)列an中，a12，an1an3n2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(3)在數(shù)列an中a11，an13an2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(4)已知數(shù)列an中，a11，an1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)因?yàn)閍n1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a12×(3×11)，符合上式，所以ann2.(2)因?yàn)閍nan1(n2)，所以an1an2，a2a1.由累乘法可得ana1····(n2)又a11符合上式，an.(3)因?yàn)閍n13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3.又a112，所以an12·3n1，所以an2·3n11.(4)an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(n1)×，an(nN*)方法技巧典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式方法示例an1anf(n)疊加法a11，an1an2nan1anf(n)疊乘法a11，2nan1AanB (A0,1，B0)化為等比數(shù)列a11，an12an1an1 (A，B，C為常數(shù))化為等差數(shù)列a11，an11.(2018·湖南衡陽(yáng)二十六中期中)在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，中，x的值為()A11B12 C13D14解析：選C觀察所給數(shù)列的項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它相鄰的前兩項(xiàng)的和，所以x5813，故選C.2.數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aan(1)n1(nN*)Ban(1)n1(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)解析：選D所給數(shù)列各項(xiàng)可寫(xiě)成：，通過(guò)對(duì)比各選項(xiàng)，可知選D.3.(2018·黑龍江雙鴨山一中期末)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an4，nN*，則an()A2n1B2nC2n1D2n2解析：選A因?yàn)镾n2an4，所以n2時(shí)，有Sn12an14, 兩式相減可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1，即 2(n2)因?yàn)镾1a12a14，所以a14，所以an2n1.4.(2018·山東濰坊期中)在數(shù)列an中，a12，an1anln，則an()A2ln nB2(n1)ln nC2nln nD1nln n解析：選A法一：由已知得an1anlnln，而an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，n2，所以anlnlnln2ln2ln n2，n2.當(dāng)n1時(shí)，a12ln 12.故選A.法二：由anan1lnan1lnan1ln nln(n1)(n2)，可知anln nan1ln(n1)(n2)令bnanln n，則數(shù)列bn是以b1a1ln 12為首項(xiàng)的常數(shù)列，故bn2，所以2anln n，所以an2ln n故選A.突破點(diǎn)(二)數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)(1)已知函數(shù)f(x)，設(shè)anf(n)(nN*)，則an是_數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)答案：遞增(2)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann29n，則該數(shù)列第_項(xiàng)最大答案：4或5(3)現(xiàn)定義an5nn，其中nN*，則an是_數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)答案：遞增(4)對(duì)于數(shù)列an，“an1>|an|(n1,2，)”是“an為遞增數(shù)列”的_條件答案：充分不必要數(shù)列的單調(diào)性(1)數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同，其自變量的取值是不連續(xù)的，只能取正整數(shù)，所以在求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的，故不應(yīng)漏掉等號(hào)(2)數(shù)列是自變量不連續(xù)的函數(shù)，不能對(duì)數(shù)列直接求導(dǎo)判斷單調(diào)性要先寫(xiě)出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去例1(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為annn，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)為()A.B C.D(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2tn1，若an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A(6，)B(，6)C(，3)D解析(1)法一(作差比較法)：an1an(n1)n1nn·n，當(dāng)n<2時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n2時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>2時(shí)，an1an<0，即an1<an.所以a1<a2a3，a3>a4>a5>>an，所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2a32×2.故選A.法二(作商比較法)：，令>1，解得n<2；令1，解得n2；令<1，解得n>2.又an>0，故a1<a2a3，a3>a4>a5>>an，所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2a32×2.故選A.(2)法一：因?yàn)閍n是單調(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)于任意的nN*，都有an1>an，即2(n1)2t(n1)1>2n2tn1，化簡(jiǎn)得t>4n2，所以t>4n2對(duì)于任意的nN*都成立，因?yàn)?n26，所以t>6.故選A.法二：設(shè)f(n)2n2tn1，其圖象的對(duì)稱軸為n，要使an是遞增數(shù)列，則<，即t>6.故選A.答案(1)A(2)A方法技巧1判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法(1)作差比較法an1an>0數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；an1an<0數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；an1an0數(shù)列an是常數(shù)列(2)作商比較法an>0時(shí)>1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；<1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列an<0時(shí)>1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；<1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列2.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)數(shù)列的周期性數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性相類似求解數(shù)列的周期問(wèn)題時(shí)，通常是求出數(shù)列的前n項(xiàng)觀察規(guī)律確定出數(shù)列的一個(gè)周期，然后再解決相應(yīng)的問(wèn)題例2(1)(2018·黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列xn滿足xn2|xn1xn|(nN*)，若x11，x2a(a1，a0)，且xn3xn對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立，則數(shù)列xn的前2 017項(xiàng)和S2 017()A672B673 C1 342D1 345(2)(2018·廣東四校聯(lián)考)數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a2 018()A2B1 C2D解析(1)x11，x2a(a1，a0)，x3|x2x1|a1|1a，x1x2x31a(1a)2，又xn3xn對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立，數(shù)列xn的周期為3，所以數(shù)列xn的前2 017項(xiàng)和S2 017S672×31672×211 345.故選D.(2)數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，a21，a3，a42，可知此數(shù)列有周期性，周期T3，即an3an，則a2 018a672×32a21.故選B.答案(1)D(2)B 方法技巧周期數(shù)列的常見(jiàn)形式與解題方法(1)周期數(shù)列的常見(jiàn)形式利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列(2)解決此類題目的一般方法根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和1.(2018·安徽名校聯(lián)盟考前模擬)在數(shù)列an中，若對(duì)任意的nN*均有anan1an2為定值，且a12，a93，a984，則數(shù)列an的前100項(xiàng)的和S100()A132B299C68D99解析：選B因?yàn)閷?duì)任意的nN*均有anan1an2為定值，所以anan1an2an1an2an3，所以an3an，所以數(shù)列an是周期數(shù)列，且周期為3.故a2a984，a3a93，a100a12，所以S10033(a1a2a3)a100299.故選B.2.(2018·山東棗莊第八中學(xué)階段性檢測(cè))已知數(shù)列，欲使它的前n項(xiàng)的乘積大于36，則n的最小值為()A7B8C9D10解析：選B由數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積····>36，得n23n70>0，解得n<10或n>7.又因?yàn)閚N*，所以n的最小值為8，故選B.3.已知函數(shù)f(x)(a>0，且a1)，若數(shù)列an滿足anf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,1)BC(2,3)D(1,3)解析：選C因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以解得2<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)4.(2018·遼寧重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列an中，a11，an1ansin，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S2 018()A0B2 018C1 010D1 009解析：選C由a11及an1ansin，得an1ansin，所以a2a1sin 1，a3a2sin0，a4a3sin0，a5a4sin1，a6a5sin1，a7a6sin0，a8a7sin0，可見(jiàn)數(shù)列an為周期數(shù)列，周期T4，所以S2 018504(a1a2a3a4)a1a21 010.全國(guó)卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2015·全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.答案：2(2014·全國(guó)卷)數(shù)列 an滿足 an1 , a82，則a1 _.解析：將a82代入an1，可求得a7；再將a7代入an1，可求得a61；再將a61代入an1，可求得a52；由此可以推出數(shù)列an是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以a1a7.答案：3(2013·全國(guó)卷)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.解析：當(dāng)n1時(shí)，由已知Snan，得a1a1，即a11；當(dāng)n2時(shí)，由已知得到Sn1an1，所以anSnSn1anan1，所以an2an1，所以數(shù)列an為以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以an(2)n1.答案：(2)n14(2016·全國(guó)卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式解：(1)由題意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因此an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以.故an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an. 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 小題對(duì)點(diǎn)練點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)對(duì)點(diǎn)練(一)數(shù)列的通項(xiàng)公式1在數(shù)列an中，a11，an1(nN*)，則是這個(gè)數(shù)列的()A第6項(xiàng)B第7項(xiàng)C第8項(xiàng)D第9項(xiàng)解析：選B由an1可得，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故1(n1)×n，即an，由，解得n7，故選B.2(2018·南昌模擬)在數(shù)列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，則的值是()A.B C.D解析：選C由已知得a21(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，×.3(2018·河南鄭州一中考前沖刺)數(shù)列an滿足：a11，且對(duì)任意的m，nN*，都有amnamanmn，則()A.BC.D解析：選Da11，且對(duì)任意的m，nN*都有amnamanmn，an1ann1，即an1ann1，用累加法可得ana1，2，2，故選D.4(2018·甘肅天水檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1BC.n1Dn1解析：選D因?yàn)閍n1Sn1Sn，所以Sn2an12(Sn1Sn)，所以，所以數(shù)列Sn是以S1a11為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以Snn1.故選D.5(2018·蘭州模擬)在數(shù)列1,2，中2是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)解析：數(shù)列1,2，即數(shù)列，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an，2，n26，故2是這個(gè)數(shù)列的第26項(xiàng)答案：266(2018·河北冀州中學(xué)期中)已知數(shù)列an滿足a11，且ann(an1an)(nN*)，則a3_，an_.解析：由ann(an1an)，可得，則an·····a1×××××1n(n2)，a33.a11滿足ann，ann.答案：3n7(2018·福建晉江季延中學(xué)月考)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nann1(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：已知a12a23a3nann1，將n1代入，得a12；當(dāng)n2時(shí)，將n1代入得a12a23a3(n1)an1n，兩式相減得nan(n1)n1，an，an答案：an對(duì)點(diǎn)練(二)數(shù)列的性質(zhì)1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN*)則下列說(shuō)法正確的是()A這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為B.是該數(shù)列中的項(xiàng)C數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)D數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列解析：選Can.令n10，得a10.故選項(xiàng)A不正確，令，得9n300，此方程無(wú)正整數(shù)解，故不是該數(shù)列中的項(xiàng)因?yàn)閍n1，又nN*，所以數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an<1，所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確，故選C.2(2018·湖北黃岡中學(xué)期中)已知數(shù)列an中，a1，an1，則a2 018()A2B CD3解析：選Da1，a23，a32，a4，a5，數(shù)列an是周期數(shù)列且周期T4，a2 018a23，故選D.3(2018·河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an滿足an1anan1(n2)，a1m，a2n，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S2 017的值為()A2 017nmBn2 017mCmDn解析：選C根據(jù)題意計(jì)算可得a3nm，a4m，a5n，a6mn，a7m，a8n，因此數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，且a1a2a60，所以S2 017S336×61a1m.故選C.4(2018·安徽淮南模擬)已知an中，ann2n，且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(2，)B2，)C(3，)D3，)解析：選Can是遞增數(shù)列，nN*，an1>an，(n1)2(n1)>n2n，化簡(jiǎn)得>(2n1)，>3.故選C.5(2018·北京海淀區(qū)模擬)數(shù)列an的通項(xiàng)為an(nN*)，若a5是an中的最大值，則a的取值范圍是_解析：當(dāng)n4時(shí)，an2n1單調(diào)遞增，因此n4時(shí)取最大值，a424115.當(dāng)n5時(shí)，ann2(a1)n2.a5是an中的最大值，解得9a12.a的取值范圍是9,12答案：9,12大題綜合練遷移貫通1(2018·東營(yíng)模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)令n1，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2時(shí)，Tn12Sn1(n1)2，則SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S11也滿足上式，所以Sn2an2n1(n1)，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12(n1)1，兩式相減得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因?yàn)閍1230，所以數(shù)列an2是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列所以an23×2n1，所以an3×2n12，當(dāng)n1時(shí)也成立，所以an3×2n12.2(2018·浙江舟山模擬)已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)由Snaan(nN*)可得，a1aa1，解得a11，a10(舍)S2a1a2aa2，解得a22(負(fù)值舍去)；同理可得a33，a44.(2)因?yàn)镾na，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn1a，得an(anan1)(aa)，所以(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以ann.3(2018·山西太原月考)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，a2a532，a3a412，又?jǐn)?shù)列bn滿足bn2log2an1，Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和(1)求Sn; (2)若對(duì)任意nN*，都有成立，求正整數(shù)k的值解：(1)因?yàn)閍n是等比數(shù)列，則a2a5a3a432，又a3a412，且an是遞增數(shù)列，所以a34，a48，所以q2，a11，所以an2n1.所以bn2log2an12log22n2n.所以Sn242nn2n.(2)令cn，則cn1cn.所以當(dāng)n1時(shí)，c1<c2；當(dāng)n2時(shí)，c3c2；當(dāng)n3時(shí)，cn1cn<0，即c3>c4>c5>，所以數(shù)列cn中最大項(xiàng)為c2和c3.所以存在k2或3，使得任意的正整數(shù)n，都有.第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.等差數(shù)列基本量的計(jì)算；2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用；3.等差數(shù)列的判定與證明.突破點(diǎn)(一)等差數(shù)列基本量的計(jì)算 1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.1判斷題(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()答案：(1)×(2)(3)(4)2填空題(1)已知等差數(shù)列an，a520，a2035，則an_.答案：15n(2)已知等差數(shù)列5,4，3，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為_(kāi)答案：2(3)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6_.答案：12(4)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.答案：6等差數(shù)列基本量的計(jì)算典例(1)(2017·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4D8(2)(2018·安徽江南十校模擬)九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中均屬章有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等問(wèn)各得幾何”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢(qián)，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”(“錢(qián)”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問(wèn)題中，E所得為()A.錢(qián)B錢(qián) C.錢(qián)D錢(qián)(3)(2018·南昌模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，S3S4S5.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；令bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由得即解得故選C.(2)由題意，設(shè)A所得為a4d，B所得為a3d，C所得為a2d，D所得為ad，E所得為a，則解得a，故E所得為錢(qián)故選A.(3)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S3S4S5，可得a1a2a3a5，即3a2a5，所以3(1d)14d，解得d2.an1(n1)×22n1.由，可得bn(1)n1·(2n1)T2n1357(4n3)(4n1)(2)×n2n.答案(1)C(2)A方法技巧解決等差數(shù)列基本量計(jì)算問(wèn)題的思路(1)在等差數(shù)列an中，a1與d是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可(2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問(wèn)題，主要圍繞著通項(xiàng)公式ana1(n1)d和前n項(xiàng)和公式Snna1d，在兩個(gè)公式中共涉及五個(gè)量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三個(gè)量，選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠?組)可求出剩余的兩個(gè)量1(2018·武漢調(diào)研)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a78，a22，則數(shù)列an的公差d等于()A1B2C3D4解析：選C法一：由題意可得解得d3.法二：a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則正整數(shù)m的值為_(kāi)解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，數(shù)列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m×10，解得正整數(shù)m的值為5.答案：53(2018·福州模擬)已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a44a31.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a9a3n.解：(1)依題意知，ana12(n1)，an>0.因?yàn)閍2a44a31，所以(a12)(a16)4(a14)1，所以a4a150，解得a11或a15(舍去)，所以an2n1.(2)a1a3a9a3n(2×11)(2×31)(2×321)(2×3n1)2×(13323n)(n1)2×(n1)3n1n2.突破點(diǎn)(二)等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(5)S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)，遇見(jiàn)S奇，S偶時(shí)可分別運(yùn)用性質(zhì)及有關(guān)公式求解(6)an，bn均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則.(7)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an的首項(xiàng)相同，公差是an的公差的.(1)(2018·岳陽(yáng)模擬)在等差數(shù)列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8_.答案：100(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若，則_.答案：(3)(2018·天水模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.答案：60(4)等差數(shù)列an中，已知a5>0，a4a7<0，則an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)解析：Sn的最大值為S5.答案：S5等差數(shù)列的性質(zhì)例1(1)(2018·銀川模擬)已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m的值為()A8B12 C6D4(2)(2018·山西太原模擬)在等差數(shù)列an中，2(a1a3a5)3(a8a10)36，則a6()A8B6 C4D3(3)(2018·湖北武漢調(diào)研)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S44，S612，則S2()A1B0 C1D3解析(1)由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，得4a832，a88，m8.故選A.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1a3a5)3(a8a10)2×3a33×2a96×2a636，得a63，故選D.(3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，即2(S4S2)S2S6S4，因此S20.答案(1)A(2)D(3)B方法技巧利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)如果an為等差數(shù)列，mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出現(xiàn)amn，am，amn等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am(amnamn)轉(zhuǎn)化為求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等提醒一般地，amanamn，等號(hào)左、右兩邊必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然也可以是amnamn2am.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題等差數(shù)列的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn均為n的函數(shù)，通常利用函數(shù)法或通項(xiàng)變號(hào)法解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題例2等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且S5S12，則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值？解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S5S12得5a110d12a166d，da1<0.法一(函數(shù)法)：Snna1dna1·a1(n217n)a12a1，因?yàn)閍1>0，nN*，所以當(dāng)n8或n9時(shí)，Sn有最大值法二(通項(xiàng)變號(hào)法)：設(shè)此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則即解得即8n9，又nN*，所以當(dāng)n8或n9時(shí)，Sn有最大值方法技巧求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)通項(xiàng)變號(hào)法a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.1.(2018·陜西咸陽(yáng)模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S954，則a2a4a9()A9B15 C18D36解析：選C由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，可得S99a554，a56，則a2a4a9a1a5a93a518.故選C.2.(2018·遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若m>1，且am1am1a0，S2m138，則m等于()A38B20 C10D9解析：選C因?yàn)閍m1am1a0，所以am1am12ama，顯然am0，所以am2.又因?yàn)镾2m1(2m1)am38.所以將am2代入可得(2m1)×238，解得m10，故選C.3.(2018·成都模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a4a7a109，S14S377，則使Sn取得最小值時(shí)n的值為()A4B5 C6D7解析：選B根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4a7a103a79，得a73.S14S311a977，解得a97，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n11.當(dāng)n6時(shí)，an>0；當(dāng)n5時(shí)，an<0，所以使Sn取得最小值的n的值為5.4.(2018·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S13<0，S12>0，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為()A第5項(xiàng)B第6項(xiàng) C第7項(xiàng)D第8項(xiàng)解析：選C根據(jù)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式Sn，因?yàn)樗杂傻?所以數(shù)列an中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為第7項(xiàng)突破點(diǎn)(三)等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明典例(2018·湖北華中師大一附中期中)已知數(shù)列an滿足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn15，求數(shù)列|bn|的前n項(xiàng)和Tn.解(1)n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)，nan1(n1)an2n(n1)，2，數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為2，首項(xiàng)為2，22(n1)2n.(2)由(1)知an2n2，bn152n15，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Snn214n.令bn2n150，解得n7.5.當(dāng)n7時(shí)，數(shù)列|bn|的前n項(xiàng)和Tnb1b2bnSnn214n.當(dāng)n8時(shí)，數(shù)列|bn|的前n項(xiàng)和Tnb1b2b7b8bn2S7Sn2×(7214×7)n214nn214n98.Tn方法技巧等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列an，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列提醒判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2a1d這一關(guān)鍵條件1(2016·浙江高考)如圖，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列Dd是等差數(shù)列解析：選A由題意，過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，An，An1，分別作直線B1Bn1的垂線(圖略)，高分別記為h1，h2，h3，hn，hn1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，hn，hn1，成等差數(shù)列，又Sn×|BnBn1|×hn，|BnBn1|為定值，所以Sn是等差數(shù)列故選A.2(2018·岳陽(yáng)模擬)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)可得2n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.當(dāng)n1時(shí)，a1不適合上式故an全國(guó)卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2017·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A24B3C3D8解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項(xiàng)的和S66×1×(2)24.2(2016·全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100B99 C98D97解析：選C法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.故選C.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.故選C.3(2013·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S100，S1525，則nSn 的最小值為_(kāi)解析：由已知解得a13，d，那么nSnn2a1d.由于函數(shù)f(x)在x處取得極小值，因而檢驗(yàn)n6時(shí)，6S648，而n7時(shí)，7S749.nSn 的最小值為49.答案：494(2014·全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由解：(1)由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11.兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 小題對(duì)點(diǎn)練點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)對(duì)點(diǎn)練(一)等差數(shù)列基本量的計(jì)算1設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，則n()A5B6 C7D8解析：選D由題意知Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36，解得n8.2在等差數(shù)列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，則m的值為()A37B36 C20D19解析：選Aama1a2a99a1d36da37，m37.故選A.3在數(shù)列an中，若a12，且對(duì)任意正整數(shù)m，k，總有amkamak，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(3n1)BCn(n1)D解析：選C依題意得an1ana1，即an1ana12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an22(n1)2n，Snn(n1)，故選C.4(2018·太原一模)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1()A1B0 C.D解析：選B由題知，a2a42a32，又a2a4，數(shù)列an單調(diào)遞增，a2，a4.公差d.a1a2d0.對(duì)點(diǎn)練(二)等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S918，an430(n>9)，若Sn336，則n的值為()A18B19C20D21解析：選D因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以S99a518，a52，Sn×3216n336，解得n21，故選D.2(2018·南陽(yáng)質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列an是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n等于()A5B6C5或6