（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第一節(jié) 函數(shù)及其表示學(xué)案（理）（含解析）

第一節(jié) 函數(shù)及其表示1函數(shù)的概念(1)定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，記為yf(x)，xA.(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)(5)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法2分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)小題體驗(yàn)1(2019·無錫一中期中測(cè)試)函數(shù)f(x)ln(x2x)的定義域?yàn)開解析：由題意知，x2x0，即x0或x1.則函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(1，)答案：(，0)(1，)2已知f()x1，則f(2)_.解析：令2，則x4，所以f(2)3.答案：33(2019·海頭高級(jí)中學(xué)高三期中)若函數(shù)f(x)則f()f()_.答案：54已知函數(shù)f(x)若f(x)2，則x_.解析：依題意得當(dāng)x1時(shí)，3x2，所以xlog32；當(dāng)x1時(shí)，x2，x2(舍去)故xlog32.答案：log321求函數(shù)的解析式時(shí)要充分根據(jù)題目的類型選取相應(yīng)的方法，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域2分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個(gè)函數(shù)，不要誤解為是“由幾個(gè)函數(shù)組成”求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論小題糾偏1(2019·常州一中檢測(cè))若函數(shù)f(x)則f_.解析：因?yàn)?，所以flog2，又因?yàn)閘og21，所以f22.答案：2(2018·蘇州中學(xué)測(cè)試)已知f(x)的定義域?yàn)閤|x0，滿足3f(x)5f1，則函數(shù)f(x)的解析式為_解析：用代替3f(x)5f1中的x，得3f5f(x)3x1，所以×5×3得f(x)x(x0)答案：f(x)x(x0)題組練透1(2018·常州期末)函數(shù)ylg(x2)的定義域?yàn)開解析：由題意可得解得2x1，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?2,1答案：(2,12(2018·南通中學(xué)高三測(cè)試)函數(shù)y的定義域?yàn)開解析：由函數(shù)y得解得即1x1且x，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?答案：3若函數(shù)yf(x)的定義域是1,2 019，則函數(shù)g(x)的定義域是_解析：令tx1，由已知函數(shù)的定義域?yàn)?,2 019，可知1t2 019.要使函數(shù)f(x1)有意義，則有1x12 019，解得0x2 018，故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?，2 018所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是解得0x1或1x2 018.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,1)(1，2 018答案：0,1)(1,2 0184(2018·南京師范大學(xué)附中模擬)函數(shù)f(x)的定義域是_解析：由題意得log (2x3)002x31x2，即函數(shù)f(x)的定義域是.答案：謹(jǐn)記通法函數(shù)定義域的求解策略(1)已知函數(shù)解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解(2)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解(3)抽象函數(shù)：若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa，b時(shí)的值域典例引領(lǐng)(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(2)已知fx2，求f(x)的解析式；(3)已知flg x，求f(x)的解析式；(4)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式；(5)已知f(0)1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式解：(1)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(2)(配湊法)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.(3)(換元法)令1t得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.(4)(解方程組法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，×2，得，3f(x)2x12x.即f(x).所以f(x)的解析式是f(x).(5)(賦值法)令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y，所以f(y)y2y1，即f(x)x2x1.由題悟法求函數(shù)解析式的5種方法配湊法由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式換元法對(duì)于形如yf(g(x)的函數(shù)解析式，令tg(x)，從中求出x(t)，然后代入表達(dá)式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍待定系數(shù)法先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的系數(shù)解方程組法已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程求出f(x)賦值法給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式即時(shí)應(yīng)用1(2019·如皋測(cè)試)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)x2，則f(x)_.解析：設(shè)f(x)kxb，由f(f(x)x2，可得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2，所以k21，kbb2，解得k1，b1，即f(x)x1.答案：x12已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：(換元法)設(shè)t1，則x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：(配湊法)因?yàn)閤2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.鎖定考向分段函數(shù)作為考查函數(shù)知識(shí)的最佳載體，一直是高考命題的熱點(diǎn)，解題過程中常滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想，高考對(duì)分段函數(shù)的常見的命題角度有：(1)分段函數(shù)的求值問題；(2)求參數(shù)或自變量的值與范圍；(3)分段函數(shù)與不等式問題 題點(diǎn)全練角度一：分段函數(shù)的求值問題1設(shè)函數(shù)f(x)則f_.解析：因?yàn)?10，所以f，則fftan 1.答案：1角度二：求參數(shù)或自變量的值與范圍2已知f(x)若f(a)，則a_.解析：若a0，由f(a)得，a，解得a；若a0，則|sin a|，a，解得a.綜上可知，a或.答案：或角度三：分段函數(shù)與不等式問題3(2018·如東期末)設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(2x1)f(x1)成立的x的取值范圍是_解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2exf(x)，且為增函數(shù)，同理當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)，且為減函數(shù)，所以f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，且左減右增要使f(2x1)f(x1)，則需|2x1|x1|，兩邊平方化簡(jiǎn)得x22x0，解得x2或x0，故所求x的取值范圍是(， 2)(0，)答案：(，2)(0，)通法在握1分段函數(shù)的求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)2分段函數(shù)與不等式問題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來演練沖關(guān)1(2019·姜堰中學(xué)測(cè)試)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，xR，f(x90)則f(10)f(100)的值為_解析：因?yàn)閒(10)f(10090)lg 1002，f(100)f(1090)(10)10，所以f(10)f(100)2108.答案：82(2018·無錫高三第一學(xué)期期末)已知函數(shù)f(x)g(x)x22x2.若存在aR，使得f(a)g(b)0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：當(dāng)x時(shí)，f(x)11，此時(shí)f(x)11在上單調(diào)遞減，易求得f(x)7,1)；當(dāng)x時(shí)，f(x)log，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，易求得f(x)(，2)，f(x)的值域?yàn)?，2)故存在aR，使得f(a)g(b)0g(b)f(a)(，2)b22b22b(2,0)答案：(2,0)3(2018·南通期末)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x22)f(x)0的解集為_解析：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，所以f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)也是增函數(shù)，所以不等式f(x22)f(x)0 f(x22)f(x)x22x，解得2x1，所以原不等式的解集為(2,1)答案：(2,1)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019·淮安調(diào)研)函數(shù)f(x)的定義域是_解析：由lg(5x2)0，得5x21，即x24，解得2x2.函數(shù)f(x)的定義域是2,2答案：2,22(2018·蘇州高三期中調(diào)研)函數(shù)y的定義域?yàn)開解析：由解得x1，且x2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,2)(2，)答案：(1,2)(2，)3已知f2x5，且f(a)6，則a_.解析：令tx1，則x2t2，f(t)2(2t2)54t1，則4a16，解得a.答案：4已知f(x)是一次函數(shù)，滿足3f(x1)6x4，則f(x)_.解析：設(shè)f(x)axb(a0)，則f(x1)a(x1)baxab，依題設(shè)，3ax3a3b6x4，則f(x)2x.答案：2x5(2019·鹽城?？?已知函數(shù)f(x)若f(0)3，則f(a)_.解析：因?yàn)閒(0)3，所以a23，即a5，所以f(a)f(5)9.答案：96設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(2)_，函數(shù)f(x)的值域是_解析：因?yàn)閒(2)，所以f(f(2)f.當(dāng)x1時(shí)，f(x)(0,1)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)3，)，所以f(x)3，)答案：3，)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2019·如東高級(jí)中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)則f(2)f(log212)_.解析：因?yàn)閒(2)1log243，f(log212)2log21216，所以f(2)f(log212)9.答案：92(2018·蘇州期末)函數(shù)f(x)的值域?yàn)開解析：畫出f(x)的圖象如圖所示，可看出函數(shù)的值域?yàn)?，1答案：(，13(2018·南京名校聯(lián)考)f(x)則f_.解析：因?yàn)閒log32，所以ff(2)29.答案：94(2019·南通調(diào)研)函數(shù)f(x)lg(x1)的定義域是_解析：由題意得x1且x1，所以函數(shù)f(x)的定義域是(1,1)(1，)答案：(1,1)(1，)5(2018·啟東中學(xué)檢測(cè))已知函數(shù)yf(x21)的定義域?yàn)?，則函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)開解析：因?yàn)閥f(x21)的定義域?yàn)?，所以x，x211,2，所以yf(x)的定義域?yàn)?，2答案：1,26已知具有性質(zhì)：ff(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：yx；yx；y其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)的序號(hào)是_解析：對(duì)于，f(x)x，fxf(x)，滿足；對(duì)于，fxf(x)，不滿足；對(duì)于，f即f故ff(x)，滿足綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是.答案：7(2019·揚(yáng)州一模)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(g(2)_.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)2x2f(x)，所以f(x)2x2，即g(x)2x2.所以g(2)2222，f(g(2)f(2)2222.答案：28已知函數(shù)f(x)若f(1)，則f(3)_.解析：由f(1)，可得a，所以f(3)2.答案：9(2019·泰州一調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)若f(x)2，則x的取值范圍是_解析：不等式f(x)2可化為或解得x或x1.答案：(，1)10(2019·無錫一中月考) 已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)logf(x)的定義域是_解析：要使函數(shù)g(x)有意義，需f(x)0，由f(x)的圖象可知，當(dāng)x(2,8時(shí)，f(x)0.答案：(2,811(2019·南京金陵中學(xué)月考)二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，函數(shù)yf(x)的圖象恒在直線y2xm的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)由f(0)1，可設(shè)f(x)ax2bx1(a0)，故f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2axab，由題意得解得故f(x)x2x1.(2)由題意，得x2x12xm，即x23x1m，對(duì)x1,1恒成立令g(x)x23x1，則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)minm，又因?yàn)間(x)在1,1上遞減，所以g(x)ming(1)1，故m1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，1)12(2018·南京期末)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(1)1，f(1)5，且圖象過原點(diǎn)(1)求二次函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知集合U1,4，B，求UB.解：(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，因?yàn)閒(1)1，f(1)5，且圖象過原點(diǎn)，所以解得a3，b2，所以f(x)3x22x.(2)y3，當(dāng)x1,4時(shí)，函數(shù)y3是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，y取得最小值1；當(dāng)x4時(shí)，y取得最大值，所以B，又集合U1,4，故UB.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a_.解析：當(dāng)a0時(shí)，1a1,1a1.由f(1a)f(1a)得22aa1a2a，解得a，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，1a1,1a1，由f(1a)f(1a)得1a2a22aa，解得a，所以a的值為.答案：2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)2f(x)，若當(dāng)0x2時(shí)，f(x)x(2x)，則當(dāng) 4x2時(shí)，f(x)_.解析：由題意知f(x4)2f(x2)4f(x)，當(dāng)4x2時(shí)，0x42，所以f(x)f(x4)(x4)2(x4)(x4)(x2)，所以當(dāng)4x2時(shí)，f(x)(x4)(x2)答案：(x4)(x2)3行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))滿足下列關(guān)系：ymxn(m，n是常數(shù))如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))的關(guān)系圖(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度解：(1)由題意及函數(shù)圖象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.因?yàn)閤0，所以0x70.故行駛的最大速度是70千米/時(shí)13