2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第4課時(shí) 基本不等式練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第4課時(shí) 基本不等式練習(xí) 理1已知a，b(0，1)且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2B2C2ab Dab答案D解析只需比較a2b2與ab.由于a，b(0，1)，a2<a，b2<b，a2b2<ab.2下列函數(shù)中，最小值為4的是()AyxBysinx(0<x<)Cy4exexDylog3xlogx3(0<x<1)答案C解析注意基本不等式等號(hào)成立的條件是“ab”，同時(shí)考慮函數(shù)的定義域，A中x的定義域?yàn)閤|xR，且x0，函數(shù)沒有最小值；B中若sinx取到最小值4，則sin2x4，顯然不成立D中沒有最小值故選C.3設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是 ()A. a<b<< Ba<<<bCa<<b< D. <a<<b答案B解析方法一(特值法)：代入a1，b2，則有0<a1<<1.5<b2.方法二(直接法)：我們知道算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系，其余各式作差(作商)比較即可，答案為B.4若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0，2 B2，0C2，) D(，2答案D解析2x2y22(當(dāng)且僅當(dāng)2x2y時(shí)等號(hào)成立)，2xy，得xy2，故選D.5若x，y是正數(shù)，則(x)2(y)2的最小值是()A3 B.C4 D.答案C解析原式x2y24.當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取“”號(hào)6已知a>0，且b>0，若2ab4，則的最小值為()A. B4C. D2答案C解析42ab2，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b2時(shí)取等號(hào)7若x<0，則函數(shù)yx2x的最小值是()A B0C2 D4答案D解析yx2x224，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)8(2015·湖南，文)若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2C2 D4答案C解析方法一：由已知得，且a>0，b>0，abb2a2，ab2.方法二：由題設(shè)易知a>0，b>0，2，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)取“”號(hào)，選C.9(2017·金山模擬)函數(shù)y(x>1)的最小值是()A22 B22C2 D2答案A解析x>1，x1>0.yx122222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，取等號(hào)10已知不等式(xy)()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A2 B4C6 D8答案B解析(xy)()1a·a1a2(1)2，當(dāng)且僅當(dāng)a·，即ax2y2時(shí)“”成立(xy)()的最小值為(1)29.a4.11設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿足x2y21，m2n23，那么mxny的最大值是()A. B2C. D.答案A解析方法一：設(shè)xsin，ycos，msin，ncos，其中，R.mxnysinsincoscoscos()故選A.方法二：由已知(x2y2)·(m2n2)3，即m2x2n2y2n2x2m2y23，m2x2n2y22(nx)·(my)3，即(mxny)23，mxny.12已知x，y，z(0，)，且滿足x2y3z0，則的最小值為()A3 B6C9 D12答案A13(2017·四川成都外國語學(xué)校)若正數(shù)a，b滿足：1，則的最小值為()A16 B9C6 D1答案C解析方法一：因?yàn)?，所以abab，即(a1)·(b1)1，所以22×36.方法二：因?yàn)?，所以abab，b9a10(b9a)()1016106.方法三：因?yàn)?，所以a1，所以(b1)22×36.14(1)當(dāng)x>1時(shí)，x的最小值為_；(2)當(dāng)x4時(shí)，x的最小值為_答案(1)5(2)解析(1)x>1，x1>0.xx11215.(當(dāng)且僅當(dāng)x1.即x3時(shí)“”號(hào)成立)x的最小值為5.(2)x4，x13.函數(shù)yx在3，)上為增函數(shù)，當(dāng)x13時(shí)，y(x1)1有最小值.15若a>0，b>0，ab1，則ab的最小值為_答案解析ab()2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)yx在x(0，上為減函數(shù)ab的最小值為4.16已知a>b>0，求a2的最小值答案16思路由b(ab)求出最大值，從而去掉b，再由a2，求出最小值解析a>b>0，ab>0.b(ab)2.a2a2216.當(dāng)a2且bab，即a2，b時(shí)等號(hào)成立a2的最小值為16.17(2017·江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且，求xy的最小值答案16解析由，化為3(2y)3(2x)(2y)·(2x)，整理為xyxy8.x，y均為正實(shí)數(shù)，xyxy828，()2280，解得4，即xy16，當(dāng)且僅當(dāng)xy4時(shí)取等號(hào)，xy的最小值為16.18(2018·遼寧撫順一中月考)某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心x(0<x<20)厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用根據(jù)檢測發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與x2成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)右腳的干擾度與400x2成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)x10時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為0.065.(1)將臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y表示為x的函數(shù)；(2)求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值答案(1)y(0<x<20)(2)解析(1)由題意得y(0<x<20)，當(dāng)x10時(shí)，y0.065，代入上式，得k9.所以y(0<x<20)(2)y()(400x2)x249132，當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)取“”所以臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值為.1下列命題中正確的是()A函數(shù)yx的最小值為2B函數(shù)y的最小值為2C函數(shù)y23x(x>0)的最小值為24D函數(shù)y23x(x>0)的最大值為24答案D解析yx的定義域?yàn)閤|x0，當(dāng)x>0時(shí)，有最小值2，當(dāng)x<0時(shí)，有最大值2，故A項(xiàng)不正確；y2，取不到“”，故B項(xiàng)不正確；x>0時(shí)，3x2·4，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x時(shí)取“”，y2(3x)有最大值24，故C項(xiàng)不正確，D項(xiàng)正確2(2014·重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析因?yàn)閘og4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且即a>0，b>0，所以1(a>0，b>0)，ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選擇D項(xiàng)3(2016·人大附中月考)設(shè)a，b，c均大于0，則“abc1”是“abc”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析，當(dāng)abc1時(shí)，(bc)(ca)(ab)abc.故abc1abc.反過來，若ab1，c4，有abc，但abc1，“abc1”是“abc”的充分不必要條件4(2017·山東師大附中月考)已知a，b，cR，且abbcca1，那么下列不等式中正確的是()Aa2b2c22 B(abc)23C.2 Dabc(abc)答案B解析a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加可知2(a2b2c2)2(bcabac)，a2b2c21.a2b2c22ab2bc2ca12.(abc)23.5已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4C5 D6答案B解析由題意知ab1，則mb2b，na2a，mn2(ab)44(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立)6已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，則W的最大值為_答案2解析方法一：由可得2，當(dāng)且僅當(dāng)3x2y，即x，y時(shí)等號(hào)成立方法二：易知W>0，W23x2y2·102·10()2()210(3x2y)20，W2，當(dāng)且僅當(dāng)3x2y，即x，y時(shí)等號(hào)成立7已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則的最小值為_答案解析由條件可知a，b，c>0且b2ac，即b，故2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，令t，則yt在2，)上單調(diào)遞增，故其最小值為2，即的最小值為.8(2018·河南鄭州外國語學(xué)校月考)某城鎮(zhèn)人口第二年比第一年增長m%，第三年比第二年增長n%，若這兩年的平均增長率為p%，則p與的大小關(guān)系為()Ap> BpCp Dp答案C解析依題意得(1m%)(1n%)(1p%)2，所以1p%1，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立，所以p，故選C.9已知不等式x25axb>0的解集為x|x>4或x<1(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若0<x<1，f(x)，求f(x)的最小值答案(1)a1，b4(2)9解析(1)因?yàn)椴坏仁絰25axb>0的解集為x|x>4或x<1，所以x25axb0的兩根分別為1和4，由根與系數(shù)的關(guān)系得5a14，b1×4，所以a1，b4.(2)由(1)知f(x)，所以f(x)()x(1x)5，因?yàn)?<x<1，所以0<1x<1，所以>0，>0，所以f(x)529，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)等號(hào)成立所以f(x)的最小值為9.10.如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比現(xiàn)有制箱材料60 m2，問a，b各為多少m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔面積忽略不計(jì))答案a6 m，b3 m解析設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，根據(jù)題意可知：y，其中k是比例系數(shù)且k>0.依題意要使y最小，只需求ab的最大值由題設(shè)，得4b2ab2a60(a>0，b>0)，即a2bab30(a>0，b>0)a2b2，2·ab30.當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“”號(hào)，ab有最大值當(dāng)a2b時(shí)有2·ab30，即b22b150.解之得b13，b25(舍去)，a2b6.故當(dāng)a6 m，b3 m時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小11某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，每次購買面粉需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%)，該廠是否應(yīng)考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由答案(1)10天(2)應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件解析(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，則其購買量為6x噸由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)6×26×19x(x1)設(shè)每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y19x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時(shí)取等號(hào)所以該廠每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(2)若該廠家接受此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉設(shè)該廠接受此優(yōu)惠條件后，每隔x(x35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y29x(x1)9006×1 800×0.909x9 729(x35)令f(x)x(x35)，x2>x135，則f(x1)f(x2)(x1)(x2).因?yàn)閤2>x135，所以x1x2<0，x1·x2>100，即x1x2100>0.所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)所以f(x)x在35，)上為增函數(shù)所以當(dāng)x35時(shí)，y2有最小值，約為10 069.7.此時(shí)y2<10 989，所以該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件