2022屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測
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2022屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測
2022屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測1(2014·新課標卷) 設F1,F2分別是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|5|F1N|,求a,b. (1)根據c及題設知M(c,),因為,所以2b23ac,將b2a2c2代入2b23ac,得2c23ac2a20,解得或2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意,原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2) 是線段MF1的中點,故4,即b24a,由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設N(x1,y1),由題意知y1<0,則 即 代入C的方程,得1.將及c代入得1,解得a7,b24a28,故a7,b2.2(2016·北京卷)已知橢圓C:1過A(2,0),B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值 (1)由題意得a2,b1,所以橢圓C的方程為y21.又c,所以離心率e.(2)證明:設P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x4y4.又A(2,0),B(0,1),所以直線PA的方程為y(x2)令x0,得yM,從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0,得xN,從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值3(2017·湖南省六校聯(lián)考)在圓x2y21上任取一個動點P,作PQx軸于Q,M滿足2,當P在圓上運動時,M 的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)曲線C與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A,B,直線ykx(k>0)與曲線C交于E,F,當四邊形AEBF面積最大時,求k的值 (1)設M(x,y),P(x0,y0),則 得 而P(x0,y0)在圓x2y21上,即xy1,故x21,此即曲線C的方程(2)由(1)知A(1,0),B(0,2),則直線AB的方程為2xy20.設E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,將ykx代入橢圓的方程x21,整理得(k24)x24,故x2x1,又點E,F到直線AB的距離分別為h1,h2,|AB|,所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)··2222.當k24(k>0),即當k2時,上式取等號,所以當四邊形AEBF面積最大時,k2.4(2017·浙江卷)如圖,已知拋物線x2y,點A(,),B(,),拋物線上的點P(x,y)(<x<)過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值 (1)設直線AP的斜率為k,kx,因為<x<,所以1<x<1,所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ.因為|PA|(x)(k1),|PQ|(xQx),所以|PA|·|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3,因為f(k)(4k2)(k1)2,所以f(k)在區(qū)間(1,)上單調遞增,(,1)上單調遞減,因此當k時,|PA|·|PQ|取得最大值.