2022屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測

2022屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應用檢測1(2014·新課標卷) 設F1，F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b. (1)根據c及題設知M(c，)，因為，所以2b23ac，將b2a2c2代入2b23ac，得2c23ac2a20，解得或2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2) 是線段MF1的中點，故4，即b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得1.將及c代入得1，解得a7，b24a28，故a7，b2.2(2016·北京卷)已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值 (1)由題意得a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)證明：設P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值3(2017·湖南省六校聯(lián)考)在圓x2y21上任取一個動點P，作PQx軸于Q，M滿足2，當P在圓上運動時，M 的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)曲線C與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，直線ykx(k>0)與曲線C交于E，F，當四邊形AEBF面積最大時，求k的值 (1)設M(x，y)，P(x0，y0)，則 得 而P(x0，y0)在圓x2y21上，即xy1，故x21，此即曲線C的方程(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)，則直線AB的方程為2xy20.設E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，將ykx代入橢圓的方程x21，整理得(k24)x24，故x2x1，又點E，F到直線AB的距離分別為h1，h2，|AB|，所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)··2222.當k24(k>0)，即當k2時，上式取等號，所以當四邊形AEBF面積最大時，k2.4(2017·浙江卷)如圖，已知拋物線x2y，點A(，)，B(，)，拋物線上的點P(x，y)(<x<)過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值 (1)設直線AP的斜率為k，kx，因為<x<，所以1<x<1，所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ.因為|PA|(x)(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|·|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因為f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在區(qū)間(1，)上單調遞增，(，1)上單調遞減，因此當k時，|PA|·|PQ|取得最大值.