2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 選修4系列 文

2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 選修4系列 文21N1xx·江蘇卷 A選修41：幾何證明選講如圖11所示，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.圖11證明：聯(lián)結(jié)OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以ADOACB90°.又因?yàn)锳A，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD.故AC2AD.N2xx·江蘇卷 B選修42：矩陣與變換已知矩陣A0,2)，B1,0)2,6)，求矩陣A1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為a,c)b,d)，則1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0,1)，故a1，b0，c0，d，從而A的逆矩陣為A10,)所以A1B0,)1,0)2,6)1,0)2,3)N3xx·江蘇卷 C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)解：因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，1.N4xx·江蘇卷 D選修45：不等式選講已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0，2ab>0.從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22N1xx·遼寧卷 選修41：幾何證明選講如圖16，AB為O直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，聯(lián)結(jié)AE，BE，證明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.圖1622解：證明：(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.類似可證：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故FE2AF·BF.所以EF2AD·BC.BN1xx·陜西卷 (幾何證明選做題)如圖14所示，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知AC，PD2DA2，則PE_圖14解析 利用已知圖形關(guān)系可得BCEPEDBAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，則PA3，則PE2PA·PD6，PE.22N1xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修41：幾何證明選講如圖16，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑圖1622解：(1)聯(lián)結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因?yàn)镈BBE，所以DE為直徑，DCE90°，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂線，所以BG.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，聯(lián)結(jié)BO，則BOG60°，從而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑等于.13N1xx·天津卷 如圖12所示，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，ABDC.過點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.若ABAD5，BE4，則弦BD的長(zhǎng)為_圖1213.解析 聯(lián)結(jié)AC.由圓內(nèi)接梯形的性質(zhì)得，DCBABE，DABDCB180°，ABCDCB180°，DABABC，DABABE180°，又ADBACB，CABDBA，又ADBABD，BACBCA，BCAB5.由切割線定理得AE2BE·EC4×(45)36，由cosABEcosDAB，得，即，解之得BD.22N1xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修41：幾何證明選講如圖110，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AEDC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值圖11022解：(1)因?yàn)镃D為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90°.所以CBA90°，因此CA是ABC外接圓的直徑圖111(2)聯(lián)結(jié)CE，因?yàn)镃BE90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC.又BC2DB·BA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DB·DA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.15N1xx·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖13，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_圖1315.解析 AB，BC3AC2 ，AB2AE·AC，AE.又tanACB，ACB，故EAD.在AED中，由余弦定理得ED2AE2AD22AE·ADcos EAD92××3cos ，故ED.N2選修4-2 矩陣N3選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程14N3xx·廣東卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為_14.(為參數(shù))解析 將曲線C的極坐標(biāo)方程2cos 化為普通方程為(x1)2y21，則其參數(shù)方程為(為參數(shù))11N3xx·湖南卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為_114解析 l1：即x2y10，l2：即2xaya0.由兩直線平行，得，解得a4.23N3xx·遼寧卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos2 .(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值23解：(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24.直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4，2 ，.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)，故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20.由參數(shù)方程可得yx1.所以解得a1，b2.23N3xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(0<<2)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)23解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2 ，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，0<<2)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(0<<2)當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)CN3xx·陜西卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_(1，0)解析 由所給的曲線的參數(shù)方程化為普通方程為：y24x，為拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)23N3xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0，02)23解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0，由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.N4選修4-5 不等式選講21B12，N4xx·湖北卷 設(shè)a>0，b>0，已知函數(shù)f(x).(1)當(dāng)ab時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，稱f(x)為a，b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)(i)判斷f(1)，f，f是否成等比數(shù)列，并證明ff；(ii)a，b的幾何平均數(shù)記為G，稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)，記為H.若Hf(x)G，求x的取值范圍21解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，f(x).當(dāng)ab時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)ab時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減(2)(i)計(jì)算得f(1)0，f0，f0.故f(1)f·ab，即f(1)f.所以f(1)，f，f成等比數(shù)列因，即f(1)f，結(jié)合得ff.(ii)由(i)知fH，fG，故由Hf(x)G，得ff(x)f.當(dāng)ab時(shí)，ff(x)fa.這時(shí)，x的取值范圍為(0，)；當(dāng)ab時(shí)，01，從而，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞增與式，得x，即x的取值范圍為；當(dāng)ab時(shí)，1，從而，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞減與式，得x，即x的取值范圍為.24N4xx·遼寧卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值24解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2所以于是a3.24N4xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修45：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，abc1.證明：(1)abbcca；(2)1.24證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.AN4xx·陜西卷 (不等式選做題)設(shè)a，bR，|ab|>2，則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|xa|xb|>2的解集是_(，)解析 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|.又由|ab|>2恒成立，故不等式解集為(，)14N4xx·天津卷 設(shè)ab2，b>0，則的最小值為_14.解析 21.24N4xx·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍24解：(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0，2)時(shí)，y<0，所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.N5選修4-7 優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)P圖113BPxx·安徽卷 如圖11所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為()A.B.C.D.3C解析 依次運(yùn)算的結(jié)果是s，n4；s，n6；s，n8，此時(shí)輸出s，故輸出結(jié)果是.1xx·漳州五校期末 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos2 .(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值2解：(1)cos2 化簡(jiǎn)為cos sin 4，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy4.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos ，sin )，得P到直線l的距離d，即d，其中cos ，sin .當(dāng)sin()1時(shí)，dmax2 .4xx·云南師大附中月考 如圖X84所示，已知圓O外有一點(diǎn)P，作圓O的切線PM，M為切點(diǎn)，過PM的中點(diǎn)N，作割線NAB，交圓于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)C，連PB交圓O于點(diǎn)D，若MCBC.(1)求證：APMABP；(2)求證：四邊形PMCD是平行四邊形圖X844證明：(1)PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點(diǎn)，MN2PN2NA·NB，.又PNABNP，PNABNP，APNPBN，即APMPBA.MCBC，MACBAC，MAPPAB，APMABP.(2)ACDPBN，PBNAPN，ACDAPN，即PCDCPM，PMCD.APMABP，PMABPA.PM是圓O的切線，PMAMCP，BPAMCP，即MCPDPC，MCPD，四邊形PMCD是平行四邊形