2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 5

2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 5 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 1． 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第 象限． 2． 某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20 種，從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是 ． 3． 已知集合，集合，若命題“”是命 題“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 4． 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3， M為線段BB1上的一動點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積 為 ． （第4題）． 5． 集合若則 ． 6． 閱讀如圖所示的程序框，若輸入的是100，則輸出的變量的值 是 ． 7． 向量，= ． 8． 方程有 個不同的實(shí)數(shù)根． 9． 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若≤≤，≤≤，則的取值范圍是 ． 10．過雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓：的切線，切點(diǎn)為，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為 ． 11．若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 12．如果圓上總存在兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ． 14．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)表示的最大奇因數(shù),如,設(shè),則 ． 答案 1. 四 2. 6 3. 4. 5. {2,3,4} 6. 5049 7. 8. 2 9. 10. 11. 12. 13. 4 14. 二、解答題：本大題共六小題，共計(jì)90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本題滿分14分） 在銳角中，角，，所對的邊分別為，，．已知. （1）求；（2）當(dāng)，且時(shí)，求. 解：（1）由已知可得.所以. ……………… 2分 因?yàn)樵谥?，，所? ………………………………4分 （2）因?yàn)?，所? ………………………………6分 因?yàn)槭卿J角三角形，所以，. ………………8分 所以. 11分 由正弦定理可得：，所以. …………………………………………14分 說明:用余弦定理也同樣給分. 16．（本題滿分14分） 如圖, 是邊長為的正方形，平面，，. (1)求證：平面； （2）設(shè)點(diǎn)是線段上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置， 使得平面，并證明你的結(jié)論. 解：(1)證明：因?yàn)槠矫妫? 所以. ……………………2分 因?yàn)槭钦叫危? 所以，因?yàn)椤?分 從而平面. ……………………6分 （2）當(dāng)M是BD的一個三等分點(diǎn)，即3BM＝BD時(shí)，AM∥平面BEF． …………7分 取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN＝BE，連結(jié)MN，NF，則DE∥MN，且DE＝3MN， 因?yàn)锳F∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN， 故四邊形AMNF是平行四邊形． ……………………………………10分 所以AM∥FN， 因?yàn)锳M平面BEF，F(xiàn)N平面BEF， …………………………………………12分 所以AM∥平面BEF． …………………………………………14分 17．（本題滿分14分） 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長為2，一條準(zhǔn)線方程為l：． ⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長為定值． 解：⑴∵橢圓C的短軸長為2，橢圓C的一條準(zhǔn)線為l：， ∴不妨設(shè)橢圓C的方程為．（2分）∴，（ 4分）即．（5分） ∴橢圓C的方程為．（6分） ⑵ F（1，0），右準(zhǔn)線為l：， 設(shè)， 則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分） ∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分） ∴直線OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（11分） ∴直線MN的斜率為．（12分） ∵M(jìn)N⊥ON，∴， ∴， ∴，即．（13分）∴為定值．（14分） 說明:若學(xué)生用平面幾何知識（圓冪定理或相似形均可）也得分，設(shè)垂足為P，準(zhǔn)線l與x軸交于Q，則有，又，所以為定值． 18．（本題滿分16分） 如圖，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．點(diǎn)M,N分別在邊AB和AC 上(M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合)，將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鱉N，使頂點(diǎn)落在邊BC 上(點(diǎn)和B點(diǎn)不重合).設(shè)∠AMN＝． (1) 用表示線段的長度，并寫出的取值范圍；(2) 求線段長度的最小值． 解：（1）設(shè)，則．（2分） 在Rt△MB中，， （4分） ∴． （5分） ∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，∴．（7分） （2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分） ,（9分） ＝．（10分） 令＝ ＝．（13分） ∵， ∴． （14分） 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，有最大值，（15分） ∴時(shí)，有最小值．（16分） 19．（本題滿分16分） 已知,函數(shù). (1) 如果實(shí)數(shù)滿足,函數(shù)是否具有奇偶性？如果有，求出相應(yīng)的 值；如果沒有，說明為什么? (2) 如果判斷函數(shù)的單調(diào)性； (3) 如果，，且，求函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心. 解：（1）如果為偶函數(shù)，則恒成立，（1分） 即： （2分） 由不恒成立，得（3分） 如果為奇函數(shù)，則恒成立，（4分） 即：（5分） 由恒成立，得（6分） （2）， ∴ 當(dāng)時(shí),顯然在R上為增函數(shù)；（8分） 當(dāng)時(shí)，， 由得得得.（9分） ∴當(dāng)時(shí), ,為減函數(shù); （10分） 當(dāng)時(shí), ,為增函數(shù). （11分） (3) 當(dāng)時(shí)， 如果，（13分） 則∴函數(shù)有對稱中心（14分） 如果（15分） 則 ∴函數(shù)有對稱軸.（16分） 20．（本題滿分16分） 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r． （1）若r＝－6，數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列？若能，求滿足的條件；若不能，請說明理由． （2）設(shè)，， 若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式恒成立． 解：（1）n＝1時(shí)，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，． （1分） n≥2時(shí)，2Sn＝anan＋1＋r，① 2Sn－1＝an－1an＋r，② ①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2． （ 3分） 則a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差為2的等差數(shù)列，a2n－1＝a1＋2(n－1)． a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差為2的等差數(shù)列， a2n＝a2＋2(n－1)． 要使{an}為等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)a2－a1＝1．即．r＝c－c2． （ 4分） ∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3． ∵當(dāng)c＝－2，，不合題意，舍去. ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列 （5分） （2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2． ＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()． （8分） ∴ （9分） ． （10分） ＝．（11分） ∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1． （13分） 且＞－1． （14分） 又∵r＞c＞4，∴，則0＜．． ∴＜1．．∴＜1．（15分） ∴對于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分） 附加題部分 21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．選修4－1：幾何證明選講 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，求證：∠PDE=∠POC． 證明：因AE=AC，AB為直徑， 故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE， 所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分 B．選修4—2　矩陣與變換 已知矩陣，其中，若點(diǎn)在矩陣的變換下得到點(diǎn)， （1）求實(shí)數(shù)a的值； （2）求矩陣的特征值及其對應(yīng)的特征向量. 解：（1）由=，（2分） ∴. （3分） （2）由（1）知，則矩陣的特征多項(xiàng)式為 （5分） 令，得矩陣的特征值為與4. （6分） 當(dāng)時(shí)， ∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為; （8分） 當(dāng)時(shí)， ∴矩陣的屬于特征值的一個特征向量為. （10分） C．選修4—4　參數(shù)方程與極坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓（R）的 圓心為 ，求的取值范圍. 【解】由題設(shè)得（為參數(shù)，R）. …………………………5分 于是， 所以 . ………………………10分 D．選修4－5：不等式選講 已知x，y，z均為正數(shù)．求證：． 證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以． …………………3分 同理可得． 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得．………10分 22. 必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn). （1）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的斜率；（4分） （2）設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過點(diǎn)，求證：線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.（6分） 解：（1）由已知，不合題意.設(shè)直線的方程為， 由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， …………………1分 因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以， …………………2分 解得，所以直線的斜率為 . …………………4分 （2）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，， 因?yàn)椴淮怪庇谳S，則直線的斜率為，直線的斜率為， 直線的方程為， …………………5分 聯(lián)立方程 消去得， …………………7分 所以， …………………8分 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即， …………………9分 所以.即線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值. …………………10分 23．必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 已知， （1）若，求的值；（3分） （2）若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（3分） （3）證明：．（4分） 解：（1）因?yàn)?所以,又, 所以 （1） （2） （1）-（2）得： 所以： …………………3分 （2）因?yàn)?，所? 中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………6分 （Ⅲ）設(shè) (1) 則函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………7分 (2) (1)-(2)得 中含項(xiàng)的系數(shù)，即是等式左邊含項(xiàng)的系數(shù)，等式右邊含項(xiàng)的系數(shù)為 所以 …………………10分