（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形學(xué)案 文

第四章 三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)本節(jié)主要包括3個知識點：1.角的概念；2.弧度制及其應(yīng)用；3.任意角的三角函數(shù).突破點(一)角的概念 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形2角的分類角的分類3終邊相同的角與角終邊相同的角的集合為|k·360°，kZ或|2k，kZ考點貫通抓高考命題的“形”與“神”終邊相同的角例1(1)設(shè)集合M，N，那么M，N之間的關(guān)系是_(2)在720°0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_解析(1)法一：由于Mxx·180°45°，kZ，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN.法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°45°·(2k1)，kZ,2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，kZ，k1是整數(shù)，因此必有MN.(2)所有與45°有相同終邊的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°0°，得765°k×360°45°，解得k(kZ)，從而k2或k1.將k2，k1分別代入45°k×360°(kZ)，得675°或315°.答案(1)MN(2)675°或315°方法技巧終邊相同角的集合的應(yīng)用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角象限角例2(1)給出下列四個命題：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正確命題的個數(shù)為_(2)若角是第二象限角，則是_象限角解析(1)22，從而是第三象限角，故錯誤；，從而是第三象限角，故正確；400°360°40°，從而400°是第四象限角，故正確；315°360°45°，從而315°是第一象限角，故正確(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時，是第三象限角答案(1)3(2)第一或第三方法技巧確定(n2，nN*)終邊位置的方法步驟討論法(1)用終邊相同角的形式表示出角的范圍；(2)寫出的范圍；(3)根據(jù)k的可能取值討論確定的終邊所在位置等分象限角法已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第幾象限角(1)等分：將每個象限分成n等份；(2)標注：從x軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環(huán)標上1,2,3,4，直至回到x軸正半軸；(3)選答：出現(xiàn)數(shù)字m的區(qū)域，即為的終邊所在的象限能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個數(shù)是_解析：由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故錯；當三角形的內(nèi)角為90°時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；由于sinsin，但與的終邊不相同，故錯；當cos 1，時，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯綜上可知只有正確答案：12.若為第一象限角，則k·180°(kZ)是第_象限角解析：是第一象限角，k為偶數(shù)時，k·180°的終邊在第一象限；k為奇數(shù)時，k·180°的終邊在第三象限即k·180°(kZ)是第一或第三象限角答案：一或三3.終邊在直線yx上的角的集合為_解析：終邊在直線yx上的角的集合為k，kZ.答案：k，kZ4.已知與150°角的終邊相同，寫出與終邊相同的角的集合，并判斷是第幾象限角解：與終邊相同的角的集合為|k·360°150°，kZ則k·120°50°，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限角故是第一、第二或第四象限角突破點(二)弧度制及其應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1弧度制的定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制2弧度制下的有關(guān)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長l的計算公式l|r扇形面積S的計算公式Slr|r2考點貫通抓高考命題的“形”與“神”扇形的弧長及面積公式典例(1)已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_(2)若扇形的圓心角是120°，弦長AB12 cm，則弧長l_cm.解析(1)設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則解得或從而4或1.(2)設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4(cm)，又，所以l|·r×4(cm)答案(1)1或4(2)方法技巧弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長及扇形面積公式，在使用公式時，要注意角的單位必須是弧度(2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運用弧長公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1若一扇形的圓心角為72°，半徑為20 cm，則扇形的面積為_cm2.解析：72°，S扇形r2××20280(cm2)答案：802如果一個圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長變?yōu)樵瓉淼谋?，則該弧所對的圓心角是原來的_倍解析：設(shè)圓的半徑為r，弧長為l，則其弧度數(shù)為.將半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，弧長變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t弧度數(shù)變?yōu)?·，即弧度數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍答案：33一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個扇形所含弓形的面積是_解析：設(shè)扇形的圓心角為，由題知2RR4R，得2，所以S弓S扇S三角形·2R·RR2·sin 2R2R2·sin 2R2·.答案：R2·4已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？解：設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當且僅當r10時，Smax100，此時2×101040，2.所以當r10，2時，扇形的面積最大突破點(三)任意角的三角函數(shù) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”三角函數(shù)正弦余弦正切定義P(x，y)是的終邊異于原點的任意點，OPr0叫做的正弦，記作sin 叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線考點貫通抓高考命題的“形”與“神”三角函數(shù)值的符號判定例1(1)若sin tan 0，且0，則角是第_象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的符號為_(填“正”或“負”)解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，則為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號，則為第三或第四象限角綜上可知，為第三象限角(2)2 rad,3 rad是第二象限角，所以sin 20，cos 30，4 rad是第三象限角，所以tan 40，故sin 2·cos 3·tan 40.答案(1)三(2)負根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值例2(1)已知角的終邊經(jīng)過點P(4，3)，則sin _.(2)若角的終邊在直線3x4y0上，求sin ， cos 和tan 的值解析(1)sin .(2)設(shè)終邊上任一點為P(4a,3a)，當a0時，r5a，sin ，cos ，tan ；當a0時，r5a，sin ，cos ，tan .答案(1)方法技巧由三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法(1)已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解由三角函數(shù)值求點的坐標例3(1)若角的終邊上有一點P(4，a)，且sin ·cos ，則a的值為_(2)若420°角的終邊所在直線上有一點(x,3)，則x的值為_解析(1)由三角函數(shù)的定義得sin ·cos ·，即a216a160，解得a4或.(2)由三角函數(shù)的定義知tan 420°，所以x.答案(1)4或(2)方法技巧求角終邊上點的坐標的類型及方法(1)已知角的某三角函數(shù)值，求角終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值(2)已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點的坐標能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.若是第二象限角，則下列三角函數(shù)值能確定為正值的是_(填序號)sin；cos；tan；cos 2.解析：由是第二象限角可得為第一或第三象限角，所以tan0.答案：2.已知是第四象限角，則sin(sin )的符號是_(填“正”或“負”)解析：是第四象限角，sin (1,0)令sin ，當10時，sin 0.故sin(sin )0.答案：負3.已知角的終邊與單位圓的交點P，則tan _.解析：因為P在單位圓上，所以x221，解得x±.所以tan ±.答案：±4.設(shè)是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cos x，則tan _.解析：是第二象限角，x0.又由題意知x，解得x3.tan .答案：5.已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：cos 0，sin 0，即2a3.答案：(2,3課時達標檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強化運算能力1若cos 0且tan 0，則是第_象限角解析：由cos 0，得的終邊在第一或第四象限或x軸非負半軸上，又由tan 0，得的終邊在第二或第四象限，所以是第四象限角答案：四2若角與的終邊關(guān)于x軸對稱，則cos()_.解析：因為角與的終邊關(guān)于x軸對稱所以2k，kZ，即2k，kZ，所以cos()1.答案：13若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角(0)的弧度數(shù)為_解析：設(shè)圓的半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r.根據(jù)題意，由rr，得.答案：4(2018·徐州期初測試)已知圓O：x2y24與y軸正半軸的交點為M，點M沿圓O順時針運動弧長到達點N，以O(shè)N為終邊的角記為，則tan _.解析：圓的半徑為2，的弧長對應(yīng)的圓心角為，故以O(shè)N為終邊的角為，故tan 1.答案：15設(shè)角是第三象限角，且sin，則角是第_象限角解析：由角是第三象限角，知2k2k(kZ)，則kk(kZ)，故是第二或第四象限角由sin知sin0，所以只能是第四象限角答案：四練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1已知sin cos 1，則角的終邊在第_象限解析：由已知得(sin cos )21，即12sin cos 1，則sin cos 0.又由sin cos 1知sin cos ，所以sin 0cos ，所以角的終邊在第二象限答案：二2若是第三象限角，則y的值為_解析：由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角當是第二象限角時，sin0，cos0，y110；當是第四象限角時，sin0，cos0，y110.答案：03已知角的終邊經(jīng)過一點P(x，x21)(x0)，則tan 的最小值為_解析：tan x2 2，當且僅當x1時取等號，即tan 的最小值為2.答案：24(2018·揚州中學(xué)月考)如圖，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P，若AOP，則點P的坐標是_解析：由三角函數(shù)定義知，點P的橫坐標xcos ，縱坐標ysin .答案：(cos ，sin )5已知角的終邊與單位圓x2y21交于P，則cos 2_.解析：角的終邊與單位圓x2y21交于P，2(y0)21，y0±，則cos ，sin ±，cos 2cos2sin2.答案：6(2018·連云港質(zhì)檢)已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為_解析：，角為第四象限角，且sin ，cos .角的最小正值為.答案：7已知點P(sin cos ，2cos )位于第三象限，則是第_象限角解析：因為點P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以即所以為第二象限角答案：二8(2018·連云港月考)已知角的終邊與單位圓的交點P，則sin ·tan _.解析：(1)由|OP|2y21，得y2，y±.當y時，sin ，tan ，此時，sin ·tan .當y時，sin ，tan ，此時，sin ·tan .答案：9一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為_解析：設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，如圖則(Rr)sin 60°r，即Rr.又S扇|R2××R2R22r2r2，S內(nèi)切圓r2，所以.答案：(74)910在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x成立的x的取值范圍為_解析：如圖所示，找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律可知，滿足題中條件的角x.答案：二、解答題11已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求角終邊所在的象限；(3)試判斷 tansin cos的符號解：(1)由sin 0，知角的終邊在第三、四象限或y軸的非正半軸上；由tan 0, 知角的終邊在第一、三象限，故角的終邊在第三象限，其集合為.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，當k為偶數(shù)時，角終邊在第二象限；當k為奇數(shù)時，角終邊在第四象限故角終邊在第二或第四象限(3)當角在第二象限時，tan 0，sin 0, cos 0，所以tansincos取正號；當在第四象限時， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正號因此，tansin cos 取正號12已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大?。?2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，當且僅當r2，l4，即2時，扇形面積取得最大值4.此時弦長AB2sin 1×24sin 1.第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式本節(jié)主要包括2個知識點：1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.突破點(一)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21(R)(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表達式中含有sin ，cos 與tan “1”的變換1sin2cos2cos2(1tan2)(sin ±cos )22sin cos tan表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關(guān)系式(sin ±cos )21±2sin cos 進行變形、轉(zhuǎn)化表達式中含有sin ±cos 或sin cos 考點貫通抓高考命題的“形”與“神”化簡求值例1(1)(2018·南京模擬)已知為第二象限角，則cos ·sin _.(2)_.解析(1)原式cos sin cos · sin ·，因為是第二象限角，所以sin 0, cos 0，所以cos ·sin ·110，即原式等于0.(2)因為2，所以sin 20，cos 20.|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案(1)0(2)sin 2cos 2條件求值例2若tan 2，則(1)_；(2)4sin23sin cos 5cos2_.解析(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21.答案(1)1(2)1方法技巧同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用的注意事項(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2cos21，tan 3x都成立，但是sin2cos21就不一定成立(2)對于含有sin ，cos 的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)商的關(guān)系，通過除以某一齊次項，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入sin ±cos 與sin cos 關(guān)系的應(yīng)用例3已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，又sin xcos x0，cos x0，則sin xcos x0，故sin xcos x.(2).方法技巧同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，知一可求二，若令sin cos t，則sin cos ，sin cos ±(注意根據(jù)的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用 能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.(2018·如東中學(xué)月考)向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos_.解析：a，b(cos ，1)，且ab，×1tan cos 0，sin ，cossin .答案：2.(2018·無錫質(zhì)檢)已知sin cos ，且，則cos sin 的值為_解析：，cos 0，sin 0且|cos |sin |，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .答案：3.已知sin cos ，則tan _.解析：sin cos ，(sin cos )23，即sin22sin cos 2cos23，3，3，即2tan22tan 10，解得tan .答案：4.sin21°sin22°sin289°_.解析：原式(sin21°sin289°)(sin22°sin288°)(sin244°sin246°)sin245°(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin244°cos244°)11144.5.答案：44.55.已知tan ，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin22sin cos 的值解：(1).(2).(3)sin22sin cos .突破點(二)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_2.特殊角的三角函數(shù)值角0°30°45°60°90°120°150°180°角的弧度數(shù)0sin 010角0°30°45°60°90°120°150°180°cos 101tan 010考點貫通抓高考命題的“形”與“神”誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”2利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值典例(1)若sin 是方程5x27x60的根，則_.(2)求值：sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_.(3)(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.(4)(2018·啟東中學(xué)月考)已知sin，則sinxsin2的值為_解析(1)方程5x27x60的兩根為x1，x22，則sin .原式.(2)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(3)由題意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan×.(4)sinsin2sinsin2sincos2sin1sin2.答案(1)(2)1(3)(4)方法技巧應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡求值的注意事項(1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用(2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進行轉(zhuǎn)化特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名出錯能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1已知sin，那么cos _.解析：sinsincos ，cos .答案：2sin 210°cos 120°的值為_解析：sin 210°cos 120°sin 30°(cos 60°)×.答案：3已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是_解析：k為偶數(shù)時，A2；k為奇數(shù)時，A2.則A的值構(gòu)成的集合為2，2答案：2，24已知tan，則tan_.解析：tantantantan.答案：5已知為第三象限角，f().(1)化簡f()；(2)若cos，求f()的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，從而sin .又為第三象限角，cos ，f()cos .課時達標檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強化運算能力1若，sin ，則cos()_.解析：因為，sin ，所以cos ，則cos()cos .答案：2若sin cos ，則tan 的值是_解析：tan 2.答案：23設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x，當0x時，f(x)0，則f_.解析：由f(x)f(x)sin x，得f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以fffffsin.因為當0x時，f(x)0.所以f0.答案：4已知，sin ，則tan _.解析：，sin ，cos ，tan .答案：5._.解析：原式1.答案：1練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1sin(600°)的值為_解析：sin(600°)sin(720°120°)sin 120°.答案：2已知tan()，且，則sin_.解析：由tan()得tan .又因為，所以為第三象限的角，由可得，sin ，cos .所以sincos .答案：3已知函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，則f(2 019)的值為_解析：f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos (asin bcos )3.答案：34已知2tan ·sin 3，0，則sin _.解析：因為2tan ·sin 3，所以3，所以2sin23cos ，即22cos23cos ，所以cos 或cos 2(舍去)，又0，所以sin .答案：5若，sin ·cos ，則sin _.解析：sin ·cos ，(sin cos )212sin ·cos ，(sin cos )212sin cos ，sin cos ，sin cos ，聯(lián)立得，sin .答案：6(2018·鹽城中學(xué)月考)已知sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0(aR)的兩個根，則cos3sin3的值為_解析：由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3sin3sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.答案：27化簡：·sin·cos_.解析：·sin·cos·(cos )·(sin )cos2.答案：cos28若f()(kZ)，則f(2 019)_.解析：當k為偶數(shù)時，設(shè)k2n(nZ)，原式1；當k為奇數(shù)時，設(shè)k2n1(nZ)，原式1.綜上所述，當kZ時，f()1，故f(2 019)1.答案：19若角滿足3，則tan 的值為_解析：由3，得3，等式左邊分子分母同時除以cos ，得3，解得tan 1.答案：110已知角A為ABC的內(nèi)角，且sin Acos A，則tan A的值為_解析：sin Acos A，式兩邊平方得12sin Acos A，sin Acos A，則(sin Acos A)212sin Acos A1，角A為ABC的內(nèi)角，sin A0，又sin Acos A0，cos A0，sin Acos A0，則sin Acos A.由可得sin A，cos A，tan A.答案：二、解答題11已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.12已知關(guān)于x的方程2x2(1)xm0的兩根分別是sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及此時的值解：(1)原式sin cos .由條件知sin cos ，故.(2)由已知，得sin cos ，sin cos ，又12sin cos (sin cos )2，可得m.(3)由得或又(0,2)，故或.第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)主要包括2個知識點：1.三角函數(shù)的定義域和值域；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).突破點(一)三角函數(shù)的定義域和值域 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”三角函數(shù)正弦函數(shù)ysin x余弦函數(shù)ycos x正切函數(shù)ytan x圖象定義域RRxxR，且x值域1,11,1R最值當且僅當x2k(kZ)時，取得最大值1；當且僅當x2k(kZ)時，取得最小值1當且僅當x2k(kZ)時，取得最大值1；當且僅當x2k(kZ)時，取得最小值1考點貫通抓高考命題的“形”與“神”三角函數(shù)的定義域例1(1)函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域是_(2)函數(shù)f(x)2tan的定義域是_解析(1)要使函數(shù)ylg(2sin x1)有意義，則即解得2kx2k，kZ.即函數(shù)的定義域為，kZ.(2)由正切函數(shù)的定義域，得2xk，即x(kZ)由2x20得x，借助于數(shù)軸可得該函數(shù)的定義域為，.答案(1)，kZ(2)，方法技巧三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解提醒解三角不等式時要注意周期，且kZ不可以忽略三角函數(shù)的值域(最值)例2(1)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為_(2)函數(shù)y3sin x2cos2x，x的值域為_(3)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域為_解析(1)0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.(2)x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22，當sin x時，ymin；當sin x或sin x1時，ymax2.故該函數(shù)的值域為.(3)設(shè)tsin xcos x, 則t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.當t1時，ymin1；當t時，ymax.該函數(shù)的值域為.答案(1)2(2)(3)方法技巧 三角函數(shù)值域或最值的三種求法直接法形如yasin xk或yacos xk的三角函數(shù)，直接利用sin x，cos x的值域求出化一法形如yasin xbcos xk的三角函數(shù)，化為yAsin(x)k的形式，確定x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)換元法形如yasin2xbsin xk的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.函數(shù)y 的定義域為_解析：要使函數(shù)有意義，則cos x0，即cos x，解得2kx2k，kZ.答案：(kZ)2.函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_解析：因為0x，所以2x，由正弦函數(shù)的圖象知，sin1，所以函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.答案：3.函數(shù)y的定義域為_解析：要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域為xxk且xk，kZ.答案：4.函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域為_解析：由得3x或0x.函數(shù)ylg(sin 2x)的定義域為.答案：5.求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值解：令tsin x，則yt2t12.|x|，t，當t時，ymax，當t時，ymin.函數(shù)ycos2xsin x的最大值為，最小值為.突破點(二)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”函數(shù)ysin xycos xytan x圖象最小正周期22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減，kZ2k，2k為減；2k，2k為增，kZk，k為增，kZ對稱中心(k，0)，kZ，kZ，kZ對稱軸xk，kZxk，kZ考點貫通抓高考命題的“形”與“神”三角函數(shù)的單調(diào)性考法(一)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)sin，x0，；(2)f(x)|tan x|；(3)f(x)cos，x.解(1)當2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ時，函數(shù)f(x)是增函數(shù)當2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)又x0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ，單調(diào)遞減區(qū)間是k，k，kZ.(3)當2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ時，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；當2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)因此函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為，.方法技巧求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間提醒求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若x的系數(shù)為負，應(yīng)先化為正，同時切莫忽視函數(shù)自身的定義域考法(二)已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍例2已知0，函數(shù)f(x)sin在上是減函數(shù)，則的取值范圍是_解析由x，得x，由題意知2k，2k(kZ)且2×，則且02，故.答案方法技巧已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解三角函數(shù)的周期性例3(1)函數(shù)y|sin x|cos x|的周期是_(2)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2，則自然數(shù)k的值為_解析(1)y ，所以T.(2)由題意知，12，即|k|2|k|.又kN，所以k2或k3.答案(1)(2)2或3方法技巧 三角函數(shù)周期的求解方法公式法(1)三角函數(shù)ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期分別為2，2，；(2)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為圖象法利用三角函數(shù)圖象的特征求周期如：相鄰兩最高點(最低點)之間為一個周期，最高點與相鄰的最低點之間為半個周期三角函數(shù)的奇偶性例4(1)函數(shù)f(x)(1cos 2x)sin2x(xR)是_函數(shù)(填“奇”或“偶”)(2)若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，則_.解析(1)由題意知，f(x)(1cos 2x)sin2x(1cos 2x)(1cos 2x)(1cos22x)(1cos 4x)，即f(x)(1cos 4x)，f(x)(1cos 4x)f(x)，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(2)由f(x)sin是偶函數(shù)，可得k，kZ，即3k(kZ)，又0,2，所以.答案(1)偶(2)方法技巧與三角函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x的形式，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式常見的結(jié)論有：(1)若yAsin(x)為偶函數(shù)，則有k(kZ)；若為奇函數(shù)，則有k(kZ)(2)若yAcos(x)為偶函數(shù)，則有k(kZ)；若為奇函數(shù)，則有k(kZ)(3)若yAtan(x)為奇函數(shù)，則有k(kZ)三角函數(shù)的對稱性例5(1)函數(shù)f(x)sin的圖象的對稱軸是_(2)函數(shù)ycos(3x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，則_.解析(1)由xk(kZ)，得xk(kZ)，故f(x)sin圖象的對稱軸是xk(kZ)(2)由題意，得ycos(3x)是奇函數(shù)，故k(kZ)答案(1)xk(kZ)(2)k，kZ方法技巧三角函數(shù)對稱軸和對稱中心的求解方法(1)定義法：正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數(shù)的零點(2)公式法：函數(shù)yAsin(x)的對稱軸為x，對稱中心為；函數(shù)yAcos(x)的對稱軸為x，對稱中心為；函數(shù)yAtan(x)的對稱中心為.上述kZ.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.函數(shù)y3cos的最小正周期是_解析：由T5，知該函數(shù)的最小正周期為5.答案：52.已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A0，0，R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“”的_條件解析：f(x)是奇函數(shù)時，k(kZ)，充分性不成立；時，f(x)AcosAsin x，為奇函數(shù)，必要性成立所以“f(x)是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件答案：必要不充分3.若函數(shù)ycos(N*)圖象的一個對稱中心是，則的最小值為_解析：由題可知，k(kZ)，所以6k2(kZ)又N*，則min2.答案：24.已知函數(shù)f(x)2sin(2x)在區(qū)間上單調(diào)且最大值不大于，則的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)2sin(2x)在區(qū)間上單調(diào)且最大值不大于，又2x，所以2×，且2×，解得0.答案：5.(2018·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下列結(jié)論正確的序號是_函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；函數(shù)f(x)的最小正周期為；函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱解析：f(x)sincos 2x，此函數(shù)為最小正周期為的偶函數(shù)，所以正確由函數(shù)ycos x的單調(diào)性知正確函數(shù)圖象的對稱軸方程為x(kZ)，顯然，無論k取任何整數(shù)，x，所以錯誤答案：6.已知函數(shù)f(x)2sin(x)，對于任意x都有ff，則f的值為_解析：ff，x是函數(shù)f(x)2sin(x)的一條對稱軸f±2.答案：2或27.函數(shù)y2sin(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是_解析：y2sin2sin，只需求y2sin的減區(qū)間即可ysin x的減區(qū)間為，kZ，令2x，kZ，得x，kZ.x0，x.即函數(shù)y2sin(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是.答案：課時達標檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強化運算能力1下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)的序號是_ycos；ysin；ysin 2xcos 2x; ysin xcos x.解析：ycossin 2x，最小正周期T，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故