2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題升級訓練8 三角恒等變換及解三角形 理

2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題升級訓練8 三角恒等變換及解三角形 理一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝∶4∶，則△ABC是(　　)．A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定2．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，則sin A的值是(　　)．A． B． C． D．3．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是(　　)．A．(1，) B．(，)C．(，2) D．(1,2)4．已知sin θ＝，cos θ＝，則tan等于(　　)．A． B． C． D．55．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，則等于(　　)．A．2 B．3 C．4 D．66．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)．A． B．－ C． D．－7．在△ABC中，已知A＝120°，且＝，則sin C等于(　　)．A． B． C． D．8．方程＝k(k＞0)有且僅有兩個不同的實數(shù)解θ，φ(θ＞φ)，則以下有關兩根關系的結論正確的是(　　)．A．sin φ＝φcos θ B．sin φ＝－φcos θC．cos φ＝θsin θ D．sin θ＝－θsin φ二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)9．在△ABC中，C為鈍角，＝，sin A＝，則角C＝__________，sin B＝__________.10．已知tan＝2，則的值為________．11．已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為__________．12．在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R＝，則(a2＋b2)的最小值為__________．三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)13．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝cos＋2cos2x－.(1)若x∈，求函數(shù)f(x)的值域；(2)在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，其中a＝1，c＝，且銳角B滿足f(B)＝1，求b的值．14．(本小題滿分10分)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sin α的值．15．(本小題滿分12分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n.(1)求角B的大??；(2)若b＝1，求△ABC面積的最大值．16．(本小題滿分12分)把函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位后得到一個最小正周期為2π的奇函數(shù)g(x)．(1)求ω和φ的值；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g2(x)，x∈的最大值與最小值．參考答案一、選擇題1．C　解析：依題意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，則最大角為C，cos C＝＜0，所以△ABC是鈍角三角形，選擇C.2．D　解析：根據(jù)余弦定理得b＝＝7，根據(jù)正弦定理＝，解得sin A＝.3．C　解析：由三角形有兩解的充要條件得asin 60°＜＜a，解得＜a＜2.故選C.4．D　解析：由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，故m為一確定的值，于是sin θ，cos θ的值應與m的值無關，進而推知tan的值與m無關，又＜θ＜π，＜＜，∴tan＞1，故選D.5．C　解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴＝＝×12＝5.∴原式＝.6．C　解析：根據(jù)條件可得α＋，－，所以sin＝，sin＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.7．A　解析：由＝，可設AC＝2k，AB＝3k(k＞0)，由余弦定理可得BC2＝4k2＋9k2－2×2k×3k×＝19k2，∴BC＝k.根據(jù)正弦定理可得＝，∴sin C＝＝.8．B　解析：作出y＝|sin x|和y＝kx(x＞0)的圖象(圖略)，則兩圖象有且僅有兩個公共點A(φ，|sin φ|)，B(θ，|sin θ|)．由圖象可知＜φ＜π，π＜θ≤，且點B是直線y＝kx(x＞0)與y＝|sin x|在區(qū)間內的切點．因為在區(qū)間上，y＝|sin x|＝－sin x，則y′＝－cos x.故若點B是切點，則切線斜率為k切＝－cos θ(0,1)，此時有k切＝kOA，即－cos θ＝，故選B.二、填空題9．150°　　解析：由正弦定理知＝＝，故sin C＝.又C為鈍角，所以C＝150°.sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.10．　解析：∵tan＝2，∴＝2，∴tan x＝.∴＝＝＝＝.11．－　解析：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，即2sin αcos α＝.∴(sin α＋cos α)2＝1＋＝.∵α，∴sin α＋cos α＞0，∴sin α＋cos α＝.則＝＝＝＝－.12．　解析：由正弦定理得(a2＋b2)＝＋＋＋＝8R2＋＋≥8R2＋＝8R2＋8R2＝，當且僅當＝，即a＝b時，取到最小值.三、解答題13．解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.∵x∈，∴2x＋.∴當2x＋＝，即x＝時，f(x)max＝2；當2x＋＝，即x＝時，f(x)min＝－.∴函數(shù)f(x)的值域為[－，2]．(2)f(B)＝1?2sin＝1，∴B＝.∴b2＝a2＋c2－2accos＝1.∴b＝1.14．解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以漁船甲的速度為14海里/時．(2)方法1：在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得cos α＝，即cos α＝＝.因為α為銳角，所以sin α＝＝＝.15．解：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)＝cos 2B，2sin Bcos B＝cos 2B，sin 2B＝cos 2B，cos 2B≠0，∴tan 2B＝.∵0＜B＜，則0＜2B＜π，∴2B＝.∴B＝.(2)∵b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2＝1＋ac.∵a2＋c2≥2ac，∴1＋ac≥2ac.∴ac≤＝2＋，當且僅當a＝c取等號．∴S＝acsin B＝ac≤，即△ABC面積的最大值為.16．解：(1)f(x)＝2cos(ωx＋φ)?f1(x)＝2cos?g(x)＝2cos，∴ω＝2，φ＝.(2)h(x)＝2cos－4sin2x＝－2sin－2.∵x?2x－，∴h(x)max＝2－2，h(x)min＝－－2.。