（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習(xí)

文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習(xí)A組1．(2018·唐山模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝( D )A．18　　　 B．12　　　　C．9　　　 D．6[解析]　本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故選D． 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝( C )A．31 B．32 C．63 D．64[解析]　解法一：由條件知：an>0，且∴∴q＝2.∴a1＝1，∴S6＝＝63.解法二：由題意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.3．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( D )A．6 B．7 C．8 D．9[解析]　由題可得所以a>0，b>0，不妨設(shè)a>b，所以等比數(shù)列為a，－2，b或b，－2，a從而得到ab＝4＝q，等差數(shù)列為a，b，－2或－2，b，a從而得到2b＝a－2，兩式聯(lián)立解出a＝4，b＝1，所以p＝a＋b＝5，所以p＋q＝4＋5＝9.4．(2017·山西四校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝( C )A．1＋ B．1－C．3＋2 D．3－2[解析]　本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列．∵a1，a3,2a2成等差數(shù)列，∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.5．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，則＋的最小值為( C )A．2 B．16 C． D．[解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a3＝a2＋2a1?q2＝q＋2?q＝－1(舍)或q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a?a·2m＋n－2＝16a?m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計算可得，當(dāng)m＝2，n＝4時，＋取最小值.6．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝，d＝－1.[解析]　由題可得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因?yàn)?a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，聯(lián)立可得d＝－1，a1＝.7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對于任意的n>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，則S10＝91.[解析]　因?yàn)槿我獾膎>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1＝an＋2，因?yàn)閍3＝a2＋2＝4，所以an＝a2＋(n－2)×2＝2＋(n－2)×2＝2n－2，n≥2，所以S10＝a1＋a2＋a3…＋a10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋×2＝91.8．(2018·江蘇無錫一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，則a8的值為2.[解析]　∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，∴解得a1q＝8，q3＝－，∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2.9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不為零的常數(shù)．(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)當(dāng)p＝3時，若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．[解析]　(1)證明：因?yàn)镾n＝4an－p(n∈N*)，則Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)，所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.所以{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．(2)因?yàn)閍1＝1，則an＝()n－1，由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1，當(dāng)n≥2時，由累加法得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3·()n－1－1，當(dāng)n＝1時，上式也成立．∴bn＝3·()n－1－1.10．(文)(2017·蚌埠質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a3＝3，S3＝9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1.[解析]　(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有3·(1＋＋)＝9，從而2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.當(dāng)q＝1時，an＝3；當(dāng)q＝－時，an＝3·(－)n－3.(2)證明：若an＝3，則bn＝0，與題意不符，故an＝3(－)n－3，此時a2n＋3＝3·(－)2n，∴bn＝2n，符合題意．∴cn＝＝＝－，從而c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－<1.(理)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；(2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥.[解析]　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2n＋2，從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn＝1－＝.(2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知Tn＝xx…x＝22…2.當(dāng)n＝1時，T1＝；當(dāng)n≥2時，因?yàn)閤＝2＝＞＝＝，所以Tn＞2×××…×＝.綜上可得，對任意的n∈N*，均有Tn≥.B組1．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1＝1，＝4，則的值為( A )A．　　 B．　　　C．　　 D．4[解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4得＝3，則S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.2．(文)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4a3－a6＝0，則＝( D )A．－5 B．－3 C．3 D．5[解析]　∵4a3－a6＝0，∴4a1q2＝a1q5，∵a1≠0，q≠0，∴q3＝4，∴＝＝＝1＋q3＝5.(理)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( C )A． B．－ C． D．－[解析]　∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1，又a3＝9a1，故a1＝.3．(2018·湖南岳陽一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝，則a2018＝( B )A．2017 B．2018 C．4034 D．4036[解析]　∵a1＝1，Sn＝，∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.∴a2018＝2018.4．(2018·浙江卷，10)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則( B )A．a(chǎn)1a3，a2a4D．a(chǎn)1>a3，a2>a4[解析]　由x>0，ln x≤x－1，得a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，a4≤－1，所以公比q<0，當(dāng)q≤－1時，a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)<0，此時a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0.5．(2018·南昌二模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝( D )A．10 B．15 C．－5 D．20[解析]　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3n－3＝4n－5，a1＝S1＝－1適合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)，因?yàn)閜－q＝5，所以ap－aq＝20.6．(2017·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測)設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}為等差數(shù)列，則an＝( A )A． B． C． D．[解析]　設(shè)bn＝nSn＋(n＋2)an，則b1＝4，b2＝8，{bn}為等差數(shù)列，所以bn＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋(1＋)an＝4.當(dāng)n≥2時，Sn－Sn－1＋(1＋)an－(1＋)an－1＝0，所以an＝·an－1，即2·＝，又因?yàn)椋?，所以{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以＝()n－1(n∈N*)，an＝(n∈N*)．故選A．7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，則S4＝66.[解析]　本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和．依題an＝2Sn－1＋3(n≥2)，與原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可見，數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66.8．若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝50.[解析]　∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5.又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(e5)10＝lne50＝50.注意等比數(shù)列性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq，對數(shù)的性質(zhì)logamn＝nlogam.9．設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．[解析]　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝4a1.又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．故an＝2n.(2)由(1)得＝.所以Tn＝＋＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|<得<，即2n>1 000.因?yàn)?9＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值為10.10．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*，又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝2an－λ(log2an＋1)2，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．[解析]　(1)由Sn＋1＝qSn＋1　①可得，當(dāng)n≥2時，Sn＝qSn－1＋1　②①－②得：an＋1＝qan.又S2＝qS1＋1且a1＝1，所以a2＝q＝q·a1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列．又2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，所以2a3＝2a2＋a2＋2＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2.所以2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－(舍)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝2n－1(n∈N*)．(2)由題意得：bn＝2·2n－1－λ(log22n)2＝2n－λn2，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，則有bn＋1－bn＝2n＋1－λ(n＋1)2－2n＋λn2＝2n－2nλ－λ>0，即λ<.因?yàn)椋?1，所以數(shù)列{}為遞增數(shù)列．所以≥，所以λ<.。