（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測（三十三）數(shù)列的概念與簡單表示（含解析）

（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測（三十三）數(shù)列的概念與簡單表示（含解析） 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，則a4的值為(　　) A．31　　　　　　　　　 B．30 C．15 D．63 解析：選C　由題意，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，故選C. 2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 019＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析：選A　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018＝a3×672＋3＝a3＝－1. 3．數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項公式為(　　) A．an＝n2 B．an＝(－1)n·n2 C．an＝(－1)n＋1·n2 D．an＝(－1)n·(n＋1)2 解析：選B　易知數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項公式為an＝(－1)n·n2，故選B. 4．在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于(　　) A．256 B．510 C．512 D．1 024 解析：選C　在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512. 5．設數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．(－∞，3) D． 解析：選C　因為數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列， 所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)， 所以b<2n＋1(n∈N*)， 所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3. [B級　保分題——準做快做達標] 1．(2019·福建四校聯(lián)考)若數(shù)列的前4項分別是，－，，－，則此數(shù)列的一個通項公式為(　　) A. B． C. D． 解析：選A　由于數(shù)列的前4項分別是，－，，－，可得奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，第n項的絕對值等于，故此數(shù)列的一個通項公式為.故選A. 2．(2019·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n－1 B．n－1 C．n D．n2 解析：選C　由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴為常數(shù)列，即＝＝1，故an＝n.故選C. 3．(2019·北京西城區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，則a3＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－8 解析：選D　∵數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故選D. 4．(2019·桂林四地六校聯(lián)考)數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100項是(　　) A．10 B．12 C．13 D．14 解析：選D　1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，由n(n＋1)≤100，得n的最大值為13，易知最后一個13是已知數(shù)列的第91項，又已知數(shù)列中14共有14項，所以第100項應為14.故選D. 5．(2019·兗州質檢)已知數(shù)列{an}滿足an＝若對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1,4) B．(2,5) C．(1,6) D．(4,6) 解析：選A　因為對任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，因此解得1<a<4，故選A. 6．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，將數(shù)列{an}中的整數(shù)項按原來的順序組成新數(shù)列{bn}，則b2 019的末位數(shù)字為(　　) A．8 B．2 C．3 D．7 解析：選D　由an＝(n∈N*)，可得此數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，…，{an}中的整數(shù)項為，，，，，，…，∴數(shù)列{bn}的各項依次為2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位數(shù)字分別是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b2 019的末位數(shù)字為7.故選D. 7．(2018·長沙調研)已知數(shù)列{an}，則“an＋1>an－1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由題意，若“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，則an＋1>an>an－1，但an＋1>an－1不能推出an＋1>an，如an＝1，an＋1＝1，{an}為常數(shù)列，則不能推出“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，所以“an＋1>an－1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選B. 8．(2019·長春模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an等于(　　) A. B． C. D． 解析：選B　由題意知，Sn＋nan＝2，當n≥2時，(n＋1)an＝(n－1)an－1，從而···…·＝··…·，有an＝，當n＝1時上式成立，所以an＝. 9．(2019·蘭州診斷)已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，當n≥2時，有bn＝bn－1＋an－1，則b501＝________. 解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，又b1＝0，所以bn＝，所以b501＝. 答案： 10．(2019·河南八市重點高中測評)已知數(shù)列{an}滿足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴兩邊同除以an·an＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝. 答案： 11．(2019·寶雞質檢)若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，則a1＋＋…＋＝________. 解析：由題意得當n≥2時，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又n＝1，＝2，∴a1＝4，∴＝4n，∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n. 答案：2n2＋2n 12．(2019·深圳期中)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：由a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)知，當n≥2時，a1＋＋＋…＋＝an－1，∴＝an－an－1，即an＝an－1，∴an＝…＝2a1＝2，∴an＝. 答案： 13．(2019·衡陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3. (1)寫出該數(shù)列的前4項，并歸納出數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：＝4. 解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因為a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1. (2)證明：因為an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4. 14．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. 因為n∈N*，所以n＝2,3， 所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為a2，a3. 因為an＝n2－5n＋4＝2－， 由二次函數(shù)性質，得當n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，解得k>－3. 所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． 15．(2019·武漢調研)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}中，bn＝，且其前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解：(1)∵a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)， ∴bn＝ (2)由題意得cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴cn＋1－cn＝＋－＝－＝<0， ∴cn＋1<cn，∴數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列.