（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（三十七）數(shù)列的綜合應(yīng)用（含解析）

（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（三十七）數(shù)列的綜合應(yīng)用（含解析） 1．(2019·深圳模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列(n∈N*)的前n項和是(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D． 解析：選A　∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2， ∴f(x)＝x(x＋1)，則＝＝－，用裂項法求和得Sn＝1－＋－＋…＋－＝. 2．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　) A．－2 017 B．－2 018 C．2 017 D．2 018 解析：選D　當(dāng)n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)，則an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝－(3＋7＋11＋…＋4 035)．當(dāng)n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，則an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2 018＝5＋9＋13＋…＋4 037.所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋…＋(4 037－4 035)＝2×1 009＝2 018，故選D. 3．(2017·四川樂山模擬)對于數(shù)列{an}，定義H0＝為{an}的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”H0＝2n＋1，記數(shù)列{an－20}的前n項和為Sn，則Sn的最小值為(　　) A．－64　　　　　　　　 B．－68 C．－70 D．－72 解析：選D　由題意可知：H0＝＝2n＋1， 則a1＋2a2＋…＋2n－1·an＝n·2n＋1. 當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋…＋2n－2·an－1＝(n－1)·2n， 兩式相減得2n－1·an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，an＝2(n＋1)， 當(dāng)n＝1時成立，∴an－20＝2n－18，顯然{an－20}為等差數(shù)列． 令an－20≤0，解得n≤9， 故當(dāng)n＝8或9時，{an－20}的前n項和Sn取最小值， 最小值為S8＝S9＝＝－72，故選D. 4．(2019·湖北襄陽聯(lián)考)已知函數(shù)f為奇函數(shù)，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，則數(shù)列{an}的前2 018項和為(　　) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 解析：選B　∵函數(shù)f為奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱，∴函數(shù)g(x)＝f(x)＋1的圖象關(guān)于點對稱，∴g(x)＋g(1－x)＝2，∵an＝g，∴數(shù)列的前2 018項之和為g＋g＋g＋…＋g＋g＝2 018.故選B. 5．(2019·林州一中調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝5，an＋1＝－an＋6，若對任意的n∈N*,1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為(　　) A．(2,3] B．[2,3] C．(2,4] D．[2,4] 解析：選B　由數(shù)列的遞推關(guān)系式可得an＋1－4＝－(an－4)，則數(shù)列{an－4}是首項為a1－4＝1，公比為－的等比數(shù)列，∴an－4＝1×n－1，∴an＝n－1＋4，∴Sn＝＋4n，∴不等式1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，即1≤p×≤3恒成立．當(dāng)n為偶數(shù)時，可得1≤p×≤3，可得2≤p≤，當(dāng)n為奇數(shù)時，可得1≤p×≤3，可得≤p≤3，故實數(shù)p的取值范圍為[2,3]． 6．(2019·昆明適應(yīng)性檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn對任意的n∈N*都成立，則實數(shù)λ的取值范圍為________． 解析：因為an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn對任意的n∈N*恒成立，即λ≤，又＝2n＋＋2≥10(當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時取等號)，所以實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，10]． 答案：(－∞，10] 7．(2019·濟(jì)寧模擬)若數(shù)列{an}滿足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.已知數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，則a2 020＝____________. 解析：根據(jù)題意，數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，且a2＝a5＝2， 則有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2. 由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21， 則a4＝21－3－2＝16， 進(jìn)而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝a3n＋2＝2(n≥1)， 則a2 020＝a3×673＋1＝16. 答案：16 8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時，蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)． 解析：由題意得，蒲草的高度組成首項為a1＝3，公比為的等比數(shù)列{an}，設(shè)其前n項和為An；莞草的高度組成首項為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設(shè)其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝，令＝，化簡得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天時蒲草和莞草高度相同． 答案：3 9．(2019·安陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的圖象上，且a1＝C. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記數(shù)列bn＝an(a2n－1＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則Sn＝na1＋d＝n2＋n. 又Sn＝n2＋Bn＋C－1， 兩式比較得＝1，B＝a1－，C－1＝0.又a1＝C， 解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n， ∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n， ∴2Tn＝22＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1， ∴－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1 ＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝(3－2n)×2n＋1－6， 故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6. 10．2017年12月4日0時起某市實施機(jī)動車單雙號限行，新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便，準(zhǔn)備購買某新能源汽車．假設(shè)購車費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、充電費等其他費用共0.9萬元，汽車的保養(yǎng)維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增． (1)設(shè)使用n年該車的總費用(包括購車費用)為f(n)，試寫出f(n)的表達(dá)式； (2)問這種新能源汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年平均費用最少)，年平均費用的最小值是多少？ 解：(1)由題意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4. (2)設(shè)該車的年平均費用為S萬元，則有 S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝12時，等號成立，即S取最小值3.4萬元．所以這種新能源汽車使用12年報廢最合算，年平均費用的最小值是3.4萬元． 11．(2018·淮南一模)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若c1＝0，且對任意正整數(shù)n都有cn＋1－cn＝logan.求證：對任意正整數(shù)n≥2，總有≤＋＋＋…＋<. 解：(1)∵Sn＝－an， ∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an， ∴an＝an－1. 又∵S1＝－a1，∴a1＝， ∴an＝×n－1＝2n＋1. (2)證明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得當(dāng)n≥2時，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)． ∴＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝×＋＋＋…＋ ＝ ＝－<. 又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得證．