（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學(xué)案 北師大版必修2

（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺體的體積計(jì)算公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧知識點(diǎn)一柱、錐、臺體的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱V柱體ShS柱體底面積，h柱體的高錐體圓錐、棱錐V錐體ShS錐體底面積，h錐體的高臺體圓臺、棱臺V臺體(S上S下)hS上、S下臺體的上、下底面面積，h高知識點(diǎn)二柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系VShV(SS)hVSh.1錐體的體積等于底面面積與高之積(×)2臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()類型一多面體的體積例1如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：PQ平面DCQ；(2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值(1)證明由題知四邊形PDAQ為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，則PQQD.又DCQDD，DC，QD平面DCQ，所以PQ平面DCQ.(2)解設(shè)ABa.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐QABCD的體積V1a3.由(1)知PQ為棱錐PDCQ的高而PQa，DCQ的面積為a2，所以棱錐PDCQ的體積V2a3.故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.反思與感悟求幾何體體積的四種常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解(2)等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為的兩部分，那么_.答案75解析設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則VV1V2Sh.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以S，hSh，ShSh，故.類型二旋轉(zhuǎn)體的體積例2體積為52 cm3的圓臺，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，求截得這個(gè)圓臺的圓錐的體積解由底面面積之比為19知，體積之比為127.截得的小圓錐與圓臺體積比為126，小圓錐的體積為2 cm3，故原來圓錐的體積為54 cm3.反思與感悟要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關(guān)系式后求出有關(guān)的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行運(yùn)算、解答(1)求臺體的體積，其關(guān)鍵在于求高，在圓臺中，一般把高放在等腰梯形中求解(2)“還臺為錐”是求解臺體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2設(shè)圓臺的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，則圓臺的體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案21解析設(shè)上，下底面半徑，母線長分別為r，R，l.作A1DAB于點(diǎn)D，則A1D3，A1AB60°，又BA1A90°，BA1D60°，AD，Rr.BDA1D·tan 60°3，Rr3. R2，r，而h3.V圓臺h(R2Rrr2)×3×(2)22×()221.圓臺的體積為21.類型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1D1EF的體積考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積解又三棱錐FA1D1E的高為CDa，反思與感悟(1)三棱錐的每一個(gè)面都可當(dāng)作底面來處理(2)利用等體積法可求點(diǎn)到面的距離跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在三棱錐A1ABD中，求A到平面A1BD的距離d.考點(diǎn)題點(diǎn)解在三棱錐A1ABD中，AA1是三棱錐A1ABD的高，ABADAA11，A1BBDA1D.××12×1×××××d，d.命題角度2割補(bǔ)法例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EFAB，EF2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解如圖，連接EB，EC，AC.四棱錐EABCD的體積VEABCD×42×316.因?yàn)锳B2EF，EFAB，所以SEAB2SBEF.所以VFEBCVCEFBVCABEVEABC×VEABCD4.所以該多面體的體積VVEABCDVFEBC16420.反思與感悟通過“割補(bǔ)法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時(shí)候“割”，什么時(shí)候“補(bǔ)”，“割”時(shí)割成幾個(gè)圖形，割成什么圖形，“補(bǔ)”時(shí)補(bǔ)上什么圖形，都需要靈活的選擇跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為×22×520，故所求幾何體的體積為10.1.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A. B.C. D.考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案D解析VSh××3.2圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16，則圓錐的體積是()A. B. C64 D128考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2r，即lr，S側(cè)rlr216，解得r4.l4，圓錐的高h(yuǎn)4，圓錐的體積為VSh×42×4.3棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則該棱臺的體積是()A186 B62C24 D18考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析V(24)×362.4已知某圓臺的上、下底面面積分別是，4，側(cè)面積是6，則這個(gè)圓臺的體積是_考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)臺體的體積答案解析設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r和R，母線長為l，高為h，則S上r2，S下R24.r1，R2，S側(cè)(rR)l6.l2，h，V(12221×2)×.5如圖是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降_cm.考點(diǎn)題點(diǎn)答案0.6解析將鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是圓錐的體積設(shè)水面下降的高度為x cm，則×2x×2×20，得x0.6 cm.1柱體、錐體、臺體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為V柱體Sh V臺體h(SS)V錐體Sh.2在三棱錐ABCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VABCD，h.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原則是V易求，且BCD的面積易求3求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解一、選擇題1.如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A. B. C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析VCABCVABCABC，VCAABBVABCABC.2.如圖，已知正三棱錐SABC，D，E分別為底面邊AB，AC的中點(diǎn)，則四棱錐SBCED與三棱錐SABC的體積之比為()A12 B23C34 D43答案C解析兩錐體高相等，因此V四棱錐SBCEDV三棱錐SABCS四邊形BCEDSABC34.3已知圓錐的母線長為8，底面圓的周長為6，則它的體積是()A9 B9C3 D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2r6，r3.h，V·r2·h3.4.如圖，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D2考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積答案A解析由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個(gè)圓錐(如圖)，該幾何體的體積為×12×2××12×1.5若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長為()A2 B2 C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為ABC的邊長，且SABCAB2，AB2，AB2.6如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1ACD的體積是()A. B.C. D1答案A解析三棱錐D1ADC的體積VSADC×D1D××AD×DC×D1D×.7將若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6 cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為()A6 cm B6 cmC2 cm D3 cm考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案B解析設(shè)圓錐中水的底面半徑為r cm，由題意知r2×r22×6，得r2，水面的高度是×26 cm.8正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A1 B. C3 D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析在正ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有ADAB，×2×.又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1底面上的高·AD××1.二、填空題9設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.10.如圖，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，F(xiàn)C4，AE5.則此幾何體的體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案96解析用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AABBCC8，所以V幾何體V三棱柱×SABC·AA×24×896.11.如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐AFED的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2的值為_考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點(diǎn)其他求體積、表面積問題答案解析設(shè)三棱柱的高為h，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，三棱錐FADE的高為，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，SADESABC，V1SADE·，V2SABC·h，.三、解答題12在四邊形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積解如圖為所得旋轉(zhuǎn)體，由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺組成C(2,1)，D(0,3)，圓錐的底面半徑r2，高h(yuǎn)2.V圓錐r2h×22×2.B(1,0)，C(2,1)，圓臺的兩個(gè)底面半徑R2，R1，高h(yuǎn)1.V圓臺h(R2R2RR)×1×(22122×1)，VV圓錐V圓臺5.13.如圖所示是一個(gè)邊長為5的正方形，剪去陰影部分得到圓錐的側(cè)面和底面展開圖，求該圓錐的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則依題意有·2l2r，l4r.又ACOCOArrl(5)r，且AC×(5)，(5)r(5)×，r，l4，h，V圓錐r2h()2×.故該圓錐的體積為.四、探究與拓展14若正三棱臺A1B1C1ABC的兩底面邊長分別為2,8，側(cè)棱長等于6，則此三棱臺的體積V_.答案42解析如圖，設(shè)D1，D分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，O1，O為上、下兩底面的中心，則O1O為棱臺的高h(yuǎn)，O1C1，OC，作C1HOC于點(diǎn)H，則C1Hh，且CH2，故hC1H2.，SABC16，V42.15.在三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B112，則三棱錐A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的體積之比是多少？考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)棱臺的高為h，SABCS，則SABC·hSh，又V臺h(S4S2S)Sh，V臺ShShShSh.124.