（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2

（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2.會(huì)求解組合體的體積與表面積知識(shí)點(diǎn)一球的截面思考什么叫作球的大圓與小圓？答案平面過(guò)球心與球面形成的截線是大圓平面不過(guò)球心與球面形成的截線是小圓梳理用一個(gè)平面去截半徑為R的球O的球面得到的是圓，有以下性質(zhì)：(1)若平面過(guò)球心O，則截線是以O(shè)為圓心的球的大圓(2)若平面不過(guò)球心O，如圖，設(shè)OO，垂足為O，記OOd，對(duì)于平面與球面的任意一個(gè)公共點(diǎn)P，都滿足OOOP，則有OP，即此時(shí)截線是以O(shè)為圓心，以r為半徑的球的小圓知識(shí)點(diǎn)二球的切線(1)定義：與球只有唯一公共點(diǎn)的直線叫作球的切線如圖，l為球O的切線，M為切點(diǎn)(2)性質(zhì)：球的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)球外一點(diǎn)的所有切線的長(zhǎng)度都相等知識(shí)點(diǎn)三球的表面積與體積公式前提條件球的半徑為R表面積公式S4R2體積公式VR31球的表面積等于它的大圓面積的2倍(×)2兩個(gè)球的半徑之比為12，則其體積之比為14.(×)3球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面()類型一球的表面積與體積例1已知球的表面積為64，求它的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)球的半徑為R，則4R264，解得R4，所以球的體積VR3·43.反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過(guò)條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了跟蹤訓(xùn)練1已知球的體積為，求它的表面積解設(shè)球的的半徑為R，則R3，解得R5，所以球的表面積S4R24×52100.類型二球的截面例2在半徑為R的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積考點(diǎn)題點(diǎn)解依題意知，ABC是正三角形，ABC的外接圓半徑r×3.由R22()2，得R2.所以球的表面積S4R216.反思與感悟(1)有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2d2r2.跟蹤訓(xùn)練2如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC862(cm)，BMAB×84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球×53(cm3)類型三與球有關(guān)的組合體命題角度1球的內(nèi)接或外切柱體問(wèn)題例3(1)一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問(wèn)題答案14解析長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R，所以球的表面積S4R214.(2)將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為_(kāi)考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問(wèn)題答案解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是××12.反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若正方體的棱長(zhǎng)為a，此時(shí)球的半徑為r1.(2)長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r2.跟蹤訓(xùn)練3表面積為的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為()A. B. C D.考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問(wèn)題答案A解析如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a.正四面體的表面積為，4×a2，解得a，正方體的棱長(zhǎng)是，又球的直徑是正方體的體對(duì)角線，設(shè)球的半徑是R，2R×，R，球的體積為·3，故選A.命題角度2球的內(nèi)接錐體問(wèn)題例4若棱長(zhǎng)為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問(wèn)題解把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則ax，由題意2Rx×a，S球4R2a2.反思與感悟?qū)⒄拿骟w補(bǔ)成正方體由此可得正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2Ra.跟蹤訓(xùn)練4球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_(kāi)考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問(wèn)題答案或解析設(shè)球的半徑為R，則球心到圓錐底面的距離為R.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，過(guò)球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，此時(shí)圓錐底面圓的半徑為R，高為R，故圓錐的體積與球的體積之比為.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心同側(cè)時(shí)，同理求得二者體積比為.1把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為()AR B2R C3R D4R考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問(wèn)題答案D解析設(shè)圓柱的高為h，則R2h3×R3，得h4R.2平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問(wèn)題答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO，OM1.OM.即球的半徑為.V()34.3若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A4(rR)2 B4r2R2C4Rr D(Rr)2答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面積為S球4r4Rr.方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在RtAOB中，OF是斜邊AB上的高由相似三角形的性質(zhì)得OF2BF·AFRr，即rRr，故r1，故球的表面積為S球4Rr.4兩個(gè)球的表面積之差為48，它們的大圓周長(zhǎng)之和為12，則這兩個(gè)球的半徑之差為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，則4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.5若球的半徑由R增加為2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍考點(diǎn)題點(diǎn)答案84解析球的半徑為R時(shí)，球的體積為V1R3，表面積為S14R2，半徑增加為2R后，球的體積為V2(2R)3R3，表面積為S24(2R)216R2.所以8，4，即體積變?yōu)樵瓉?lái)的8倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的4倍1利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算2解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.一、選擇題1三個(gè)球的半徑之比為123，那么最大的球的體積是其他兩個(gè)球的體積之和的()A1倍 B2倍C3倍 D4倍考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)三個(gè)球的半徑由小到大依次為r1，r2，r3，則r1r2r3123，V3r×27r36r，V1V2rr×9r12r，V33(V1V2)2設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計(jì)算問(wèn)題答案D解析由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長(zhǎng)為2 cm，故這個(gè)球的直徑為2 cm，故這個(gè)球的體積為 cm3.3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球，如圖所示則球的半徑是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計(jì)算問(wèn)題答案C解析設(shè)球半徑為r，則由3V球V水V柱，可得3×r3r2×6r2×6r，解得r3.4直徑為6的球的表面積和體積分別是()A36，144 B36，36C144，36 D144，144考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析球的半徑為3，表面積S4·3236，體積V·3336.5一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4 cm，則該球的體積是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問(wèn)題答案C解析如圖，根據(jù)題意，|OO1|4 cm，|O1A|3 cm，|OA|R5(cm)，故球的體積VR3(cm3)故選C.6一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2 cm，那么該棱柱的表面積為()A(24) cm2 B(816) cm2C(48) cm2 D(1632) cm2考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問(wèn)題答案B解析一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，正四棱柱的體對(duì)角線為4 cm，正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2 cm，正四棱柱的高為2 (cm)，該棱柱的表面積為2×224×2×2816 (cm2)，故選B.7若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,4,3，則它的外接球的表面積為()A. B50C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，所以外接球的半徑r×，所以它的外接球的表面積S4r250.二、填空題8兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28，則它們的體積和為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)大，小兩球半徑分別為R，r，則所以所以體積和為R3r3.9已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)球的半徑為R，正方體棱長(zhǎng)為a，則V球R3，得到R，正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)為a2R，則a，所以正方體的棱長(zhǎng)為.10已知正四棱錐O-ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案24解析V四棱錐O-ABCD××h，得h，OA2h226.S球4OA224.11已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析如圖所示，CD是截面圓的直徑2·，即CD2，設(shè)球O的半徑為R，AHHB12，AH×2RR，OHRRR，由OD2OH2HD2，得R2R21，R2，S球4R2.三、解答題12某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積解該組合體的表面積S4r22rl4×122×1×310.該組合體的體積Vr3r2l×13×12×3.13有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為VV圓錐V球·(r)2·3rr3r3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V·2·hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度為r.四、探究與拓展14已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則它的外接球表面積為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案9解析如圖，是過(guò)長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線AC1的截面，設(shè)長(zhǎng)方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為x，y，z，則由已知，得解得所以球的半徑RAB，所以S球4R29.15有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)項(xiàng)點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問(wèn)題解設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，三個(gè)球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1a，R1，a2R2，R2a，a2R3，R3a，所以R1R2R31.所以S1S2S3RRR123.即這三個(gè)球的表面積之比為123.