福建省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練20 等腰三角形練習(xí)

福建省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練20 等腰三角形練習(xí) 1．如圖K20－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝5，AD＝3，則BC的長(zhǎng)為(　　) 圖K20－1 A．5 B．6 C．8 D．10 2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x－3|＋＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是(　　) A．12或15 B．12 C．15 D．以上答案均不對(duì) 3．[xx·荊州]如圖K20－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為(　　) 圖K20－2 A．30° B．45° C．50° D．75° 4．[xx·棗莊]如圖K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積為(　　) 圖K20－3 A．15 B．30 C．45 D．60 5．[xx·桂林]如圖K20－4，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是　　　?。?#160; 圖K20－4 6．[xx·長(zhǎng)春]如圖K20－5，在△ABC中，AB＝AC．以點(diǎn)C為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝32°，則∠CDB的大小為　　　　度．  圖K20－5 7．[xx·鎮(zhèn)江]如圖K20－6，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，BE＝CF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD＝AC． (1)求證：△ABE≌△ACF； (2)若∠BAE＝30°，則∠ADC＝　　　　°．  圖K20－6 8．[xx·紹興]數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．(答案：35°) 例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．(答案：40°或70°或100°) 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)． (1)請(qǐng)你解答以上的變式題． (2)解(1)后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A＝x°，當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索x的取值范圍． 能力提升 9．[xx·寧德質(zhì)檢]如圖K20－7，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，D是AC上一點(diǎn)，線段BE與BA關(guān)于直線BD對(duì)稱，射線CE交射線BD于點(diǎn)F，連接AE，AF，則下列關(guān)系式正確的是(　　) 圖K20－7 A．∠AFE＋∠ABE＝180° B．∠AEF＝∠ABC C．∠AEC＋∠ABC＝180° D．∠AEB＝∠ACB 10．[xx·吉林]我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k＝，則該等腰三角形的頂角為　　　　度．  11．[xx·青海]如圖K20－8，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連接AD，若∠BAC＝25°，則∠BAD＝　　　?。?#160; 圖K20－8 12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為　　　?。?#160; 13．如圖K20－9，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)E＝FD． 求證：AD＝CE． 圖K20－9 拓展練習(xí) 14．[xx·廈門質(zhì)檢]在△ABC中，AB＝AC．將△ABC沿∠B的平分線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，設(shè)折痕交AC邊于點(diǎn)E，繼續(xù)沿直線DE折疊，若折疊后，BE與線段DC相交，且交點(diǎn)不與點(diǎn)C重合，則∠BAC的度數(shù)應(yīng)滿足的條件是　　　?。?#160; 15．[xx·青海]請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題． (1)探究1：如圖K20－10，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．求證：△BCD的面積為a2． (提示：過點(diǎn)D作BC邊上的高DE，可證△ABC≌△BDE) 圖K20－10 (2)探究2：如圖K20－11，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．請(qǐng)用含a的式子表示△BCD的面積，并說明理由． 圖K20－11 (3)探究3：如圖K20－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．試探究用含a的式子表示△BCD的面積，要有探究過程． 圖K20－12 參考答案 1．C　 2．C 3．B　[解析] 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，推得∠ABD＝∠A＝30°，從而得出∠CBD＝45°． 4．B　[解析] 由題意得AP是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面積＝AB·DE＝×15×4＝30．故選B． 5．3　[解析] ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形， 又∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形，故有3個(gè)等腰三角形． 6．37　[解析] ∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°， 由尺規(guī)作圖知，CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB， 又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，∴∠CDB＝∠ACB＝37°． 7．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF． 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF． (2)75 8．解：(1)當(dāng)∠A為頂角時(shí)，∠B＝50°， 當(dāng)∠A為底角時(shí)，若∠B為頂角，則∠B＝20°， 若∠B為底角，則∠B＝80°，∴∠B＝50°或20°或80°． (2)分兩種情況： ①當(dāng)90≤x＜180時(shí)，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)． ②當(dāng)0＜x＜90時(shí)， 若∠A為頂角，則∠B＝°， 若∠A為底角，則∠B＝x°或∠B＝(180－2x)°， 當(dāng)≠180－2x且≠x且180－2x≠x，即x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)． 綜上①②，當(dāng)0＜x＜90且x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)． 9．B 10．36　[解析] 如圖，在△ABC中，AB＝AC，設(shè)∠A＝α，則∠B＝∠C＝(180°－α)，由k＝，可得(180°－α)＝2α，解出α＝36°． 11．70°　[解析] ∵Rt△ABC繞其直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC， ∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝25°＋45°＝70°． 12．69°或21° 13．證明：如圖，過點(diǎn)D作DM∥BE，交AC于點(diǎn)M． 則有∠MDF＝∠E． 在△MDF與△CEF中， ∵∠MFD＝∠CFE，F(xiàn)D＝FE，∠MDF＝∠E，∴△MDF≌△CEF，∴DM＝CE． ∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B＝60°，∠AMD＝∠ACB＝60°， ∴△ADM為等邊三角形，∴DM＝AD，∴AD＝CE． 14．100°＜∠BAC＜180° 15．解：(1)證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°， 又∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠EDB＝45°， ∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，由旋轉(zhuǎn)得AB＝DB， ∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a， ∴S△BCD＝×BC×DE＝a2． (2)S△BCD＝a2，理由：如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E． ∴∠BED＝∠ACB＝90°． ∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°． ∴∠ABC＋∠DBE＝90°． ∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ∴△ABC≌△BDE(AAS)．∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2． (3)如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， ∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB＋∠ABF＝90°． ∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD． ∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，∴AB＝BD． 在△AFB和△BED中， ∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF＝DE＝a． ∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a×a＝a2．∴△BCD的面積為a2．