（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學(xué)案 北師大版必修2

（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺體的體積計算公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧知識點(diǎn)一柱、錐、臺體的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱V柱體ShS柱體底面積，h柱體的高錐體圓錐、棱錐V錐體ShS錐體底面積，h錐體的高臺體圓臺、棱臺V臺體(S上S下)hS上、S下臺體的上、下底面面積，h高知識點(diǎn)二柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系VShV(SS)hVSh.1錐體的體積等于底面面積與高之積(×)2臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差()類型一多面體的體積例1如圖是一個水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中點(diǎn)正三棱柱的主視圖如圖，求正三棱柱ABCA1B1C1的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解由主視圖可知，在正三棱柱中，AD，AA13，從而在等邊三角形ABC中，BC2，所以正三棱柱的體積VSh×BC×AD×AA1×2××33.反思與感悟求幾何體體積的四種常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解(2)等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積跟蹤訓(xùn)練1一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，截去三棱錐A1AB1D1.設(shè)正方體的棱長為a，則×a3a3，故剩余幾何體的體積為a3a3a3，所以比值為，故選D.類型二旋轉(zhuǎn)體的體積例2(1)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩個圓錐和一個圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，因此該幾何體的體積V2×××12×1×12×2(m3)(2)體積為52 cm3的圓臺，一個底面面積是另一個底面面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積為()A54 cm3 B54 cm3 C58 cm3 D58 cm3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析由底面面積之比為19知，體積之比為127.截得的小圓錐與圓臺體積比為126，小圓錐的體積為2 cm3，故原來圓錐的體積為54 cm3，故選A.反思與感悟要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關(guān)系式后求出有關(guān)的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行運(yùn)算、解答(1)求臺體的體積，其關(guān)鍵在于求高，在圓臺中，一般把高放在等腰梯形中求解(2)“還臺為錐”是求解臺體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2設(shè)圓臺的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，則圓臺的體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案21解析設(shè)上，下底面半徑，母線長分別為r，R，l.作A1DAB于點(diǎn)D，則A1D3，A1AB60°，又BA1A90°，BA1D60°，AD，Rr.BDA1D·tan 60°3，Rr3. R2，r，而h3.V圓臺h(R2Rrr2)×3×(2)22×()221.圓臺的體積為21.類型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1D1EF的體積考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積解又三棱錐FA1D1E的高為CDa，反思與感悟(1)三棱錐的每一個面都可當(dāng)作底面來處理(2)利用等體積法可求點(diǎn)到面的距離跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在三棱錐A1ABD中，求A到平面A1BD的距離d.考點(diǎn)題點(diǎn)解在三棱錐A1ABD中，AA1是三棱錐A1ABD的高，ABADAA11，A1BBDA1D.××12×1×××××d，d.命題角度2割補(bǔ)法例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EFAB，EF2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解如圖，連接EB，EC，AC.四棱錐EABCD的體積VEABCD×42×316.因為AB2EF，EFAB，所以SEAB2SBEF.所以VFEBCVCEFBVCABEVEABC×VEABCD4.所以該多面體的體積VVEABCDVFEBC16420.反思與感悟通過“割補(bǔ)法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時候“割”，什么時候“補(bǔ)”，“割”時割成幾個圖形，割成什么圖形，“補(bǔ)”時補(bǔ)上什么圖形，都需要靈活的選擇跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為×22×520，故所求幾何體的體積為10.1.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A. B.C. D.考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案D解析VSh××3.2圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16，則圓錐的體積是()A. B. C64 D128考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2r，即lr，S側(cè)rlr216，解得r4.l4，圓錐的高h(yuǎn)4，圓錐的體積為VSh×42×4.3棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則該棱臺的體積是()A186 B62C24 D18考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析V(24)×362.4某幾何體的三視圖如圖所示，其體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由三視圖可知該幾何體是半個圓錐，則該幾何體的體積為××12×2.5如圖是一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降_cm.考點(diǎn)題點(diǎn)答案0.6解析將鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是圓錐的體積設(shè)水面下降的高度為x cm，則×2x×2×20，得x0.6 cm.1柱體、錐體、臺體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為V柱體Sh V臺體h(SS)V錐體Sh.2在三棱錐ABCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VABCD，h.這種方法就是用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，其中V一般用換頂點(diǎn)法求解，即VABCDVBACDVCABDVDABC，求解的原則是V易求，且BCD的面積易求3求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解一、選擇題1.如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A. B. C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析VCABCVABCABC，VCAABBVABCABC.2已知一個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得幾何體的體積是()A4 cm3 B6 cm3 C8 cm3 D12 cm3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A3已知圓錐的母線長為8，底面圓的周長為6，則它的體積是()A9 B9C3 D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2r6，r3.h，V·r2·h3.4.如圖，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D2考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積答案A解析由題意，旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個圓錐(如圖)，該幾何體的體積為×12×2××12×1.5一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B. C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由三視圖可知，該幾何體是由正三棱柱截去一個三棱錐得到的幾何體正三棱柱的底面邊長為2，高為2，體積V1Sh×2××22.截去的三棱錐的高為1，體積V2××1.故所求體積為VV1V2，故選C.6正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A1 B. C3 D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析在正ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有ADAB，SDB1C1×2×.又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1底面上的高7若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的母線長為()A2 B2 C. D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為ABC的邊長，且SABCAB2，AB2，AB2.8某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3 B12 cm3C. cm3 D. cm3考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體下面是棱長為2 cm的正方體，體積V12×2×28(cm3)；上面是底面邊長為2 cm，高為2 cm的正四棱錐，體積V2×2×2×2(cm3)，所以該幾何體的體積VV1V2(cm3)二、填空題9設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.10.如圖，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，F(xiàn)C4，AE5.則此幾何體的體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案96解析用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個直三棱柱，使AABBCC8，所以V幾何體V三棱柱×SABC·AA×24×896.11已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案24解析該幾何體是一個長方體挖去一個半圓柱體，其體積等于3×2×4××12×324.三、解答題12已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，左視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的體積題點(diǎn)錐體的體積解由已知可得該幾何體是一個底面為矩形、高為4、頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐VABCD.(1)V×(8×6)×464.(2)該四棱錐的兩個側(cè)面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1 4，另兩個側(cè)面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2 5.因此側(cè)面積S2×4024.13.如圖所示是一個邊長為5的正方形，剪去陰影部分得到圓錐的側(cè)面和底面展開圖，求該圓錐的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則依題意有·2l2r，l4r.又ACOCOArrl(5)r，且AC×(5)，(5)r(5)×，r，l4，h，V圓錐r2h()2×.故該圓錐的體積為.四、探究與拓展14一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為()A24 B28C44 D48考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析由三視圖知該幾何體的上面是一個半圓柱，下面是一個長方體，則由三視圖的尺寸知該幾何體的體積為V1×2×4××12×482.15.在三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B112，則三棱錐A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的體積之比是多少？考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)棱臺的高為h，SABCS，則SABC·hSh，又V臺h(S4S2S)Sh，V臺ShShShSh.124.