（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2

（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2.會(huì)求解組合體的體積與表面積知識(shí)點(diǎn)一球的截面思考什么叫作球的大圓與小圓？答案平面過球心與球面形成的截線是大圓平面不過球心與球面形成的截線是小圓梳理用一個(gè)平面去截半徑為R的球O的球面得到的是圓，有以下性質(zhì)：(1)若平面過球心O，則截線是以O(shè)為圓心的球的大圓(2)若平面不過球心O，如圖，設(shè)OO，垂足為O，記OOd，對于平面與球面的任意一個(gè)公共點(diǎn)P，都滿足OOOP，則有OP，即此時(shí)截線是以O(shè)為圓心，以r為半徑的球的小圓知識(shí)點(diǎn)二球的切線(1)定義：與球只有唯一公共點(diǎn)的直線叫作球的切線如圖，l為球O的切線，M為切點(diǎn)(2)性質(zhì)：球的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過球外一點(diǎn)的所有切線的長度都相等知識(shí)點(diǎn)三球的表面積與體積公式前提條件球的半徑為R表面積公式S4R2體積公式VR31球的表面積等于它的大圓面積的2倍(×)2兩個(gè)球的半徑之比為12，則其體積之比為14.(×)3球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面()類型一球的表面積與體積例1(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案3解析由三視圖知該幾何體為半球，則其表面積為×4×12×123.(2)已知球的表面積為64，求它的體積考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)球的半徑為R，則4R264，解得R4，所以球的體積VR3·43.反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了(3)由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積此時(shí)要特別注意球的三視圖都是直徑相同的圓跟蹤訓(xùn)練1(1)已知球的體積為，則其表面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案100解析設(shè)球的的半徑為R，則R3，解得R5，所以球的表面積S4R24×52100.(2)某器物的三視圖如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該器物的體積是()A. B.C. D.考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積答案D解析由三視圖可知，此幾何體上部是直徑為2的球，下部是底面直徑為2，高為的圓錐，所以V×13×12×.類型二球的截面例2在半徑為R的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積考點(diǎn)題點(diǎn)解依題意知，ABC是正三角形，ABC的外接圓半徑r×3.由R22()2，得R2.所以球的表面積S4R216.反思與感悟(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2d2r2.跟蹤訓(xùn)練2如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC862(cm)，BMAB×84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球×53(cm3)類型三與球有關(guān)的組合體命題角度1球的內(nèi)接或外切柱體問題例3(1)一個(gè)長方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為_考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問題答案14解析長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R，所以球的表面積S4R214.(2)將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為_考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問題答案解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是××12.反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若正方體的棱長為a，此時(shí)球的半徑為r1.(2)長方體的外接球長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2.跟蹤訓(xùn)練3表面積為的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為()A. B. C D.考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問題答案A解析如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體設(shè)正四面體的棱長為a.正四面體的表面積為，4×a2，解得a，正方體的棱長是，又球的直徑是正方體的體對角線，設(shè)球的半徑是R，2R×，R，球的體積為·3，故選A.命題角度2球的內(nèi)接錐體問題例4若棱長為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問題解把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為x，則ax，由題意2Rx×a，S球4R2a2.反思與感悟?qū)⒄拿骟w補(bǔ)成正方體由此可得正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2Ra.跟蹤訓(xùn)練4球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計(jì)算問題答案或解析設(shè)球的半徑為R，則球心到圓錐底面的距離為R.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，過球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，此時(shí)圓錐底面圓的半徑為R，高為R，故圓錐的體積與球的體積之比為.當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心同側(cè)時(shí)，同理求得二者體積比為.1把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為()AR B2R C3R D4R考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問題答案D解析設(shè)圓柱的高為h，則R2h3×R3，得h4R.2平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問題答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO，OM1.OM.即球的半徑為.V()34.3如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A9 B10 C11 D12考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積答案D解析由三視圖可知，該幾何體的上部分是半徑為1的球，下部分是底面半徑為1，高為3的圓柱由面積公式可得該幾何體的表面積S4×122×122×1×312.4兩個(gè)球的表面積之差為48，它們的大圓周長之和為12，則這兩個(gè)球的半徑之差為()A1 B2 C3 D4考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，則4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.5若球的半徑由R增加為2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉淼腳倍，表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍考點(diǎn)題點(diǎn)答案84解析球的半徑為R時(shí)，球的體積為V1R3，表面積為S14R2，半徑增加為2R后，球的體積為V2(2R)3R3，表面積為S24(2R)216R2.所以8，4，即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍1利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算2解決球與其他幾何體的切接問題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.一、選擇題1三個(gè)球的半徑之比為123，那么最大的球的體積是其他兩個(gè)球的體積之和的()A1倍 B2倍C3倍 D4倍考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)三個(gè)球的半徑由小到大依次為r1，r2，r3，則r1r2r3123，V3r×27r36r，V1V2rr×9r12r，V33(V1V2)2設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計(jì)算問題答案D解析由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長為2 cm，故這個(gè)球的直徑為2 cm，故這個(gè)球的體積為 cm3.3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示則球的半徑是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計(jì)算問題答案C解析設(shè)球半徑為r，則由3V球V水V柱，可得3×r3r2×6r2×6r，解得r3.4如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12 B.18C942 D3618考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積答案B解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積V33×3×218.5一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4 cm，則該球的體積是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考點(diǎn)球的體積題點(diǎn)與截面有關(guān)的球的體積計(jì)算問題答案C解析如圖，根據(jù)題意，|OO1|4 cm，|O1A|3 cm，|OA|R5(cm)，故球的體積VR3(cm3)故選C.6圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的主視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r等于()A1 B2 C4 D8考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積答案B解析如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S×4r2r24r2r·2r(54)r2，又S1620，(54)r21620，r24，r2，故選B.7一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2 cm，那么該棱柱的表面積為()A(24) cm2 B(816) cm2C(48) cm2 D(1632) cm2考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題答案B解析一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，正四棱柱的體對角線為4 cm，正四棱柱的底面對角線長為2 cm，正四棱柱的高為2 (cm)，該棱柱的表面積為2×224×2×2816 (cm2)，故選B.二、填空題8兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28，則它們的體積和為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)大，小兩球半徑分別為R，r，則所以所以體積和為R3r3.9已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為，則正方體的棱長為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)球的半徑為R，正方體棱長為a，則V球R3，得到R，正方體體對角線的長為a2R，則a，所以正方體的棱長為.10如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為_考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積答案33解析由三視圖知該幾何體由圓錐和半球組成，且球的半徑和圓錐底面半徑都等于3，圓錐的母線長等于5，所以該幾何體的表面積為S2×32×3×533.11已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析如圖所示，CD是截面圓的直徑2·，即CD2，設(shè)球O的半徑為R，AHHB12，AH×2RR，OHRRR，由OD2OH2HD2，得R2R21，R2，S球4R2.三、解答題12某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球組合的幾何體的表面積與體積解該組合體的表面積S4r22rl4×122×1×310.該組合體的體積Vr3r2l×13×12×3.13有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度考點(diǎn)組合幾何體的表面積與體積題點(diǎn)柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為VV圓錐V球·(r)2·3rr3r3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V·2·hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度為r.四、探究與拓展14一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A2009 B20018C1409 D14018考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析這個(gè)幾何體由上、下兩部分組成，下半部分是一個(gè)長方體，其中長，寬，高分別為62210,1214,5；上半部分是一個(gè)橫放的半圓柱，其中底面半徑為3，母線長為2，故V10×4×5×32×22009.15有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)項(xiàng)點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題解設(shè)正方體棱長為a，三個(gè)球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1a，R1，a2R2，R2a，a2R3，R3a，所以R1R2R31.所以S1S2S3RRR123.即這三個(gè)球的表面積之比為123.