（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修1

（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 2 集合的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修1學(xué)習(xí)目標1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符號和Venn圖表達集合間的關(guān)系.3.掌握列舉有限集的所有子集的方法知識點一子集思考如果把“馬”和“白馬”視為兩個集合，則這兩個集合中的元素有什么關(guān)系？答案所有的白馬都是馬，馬不一定是白馬梳理一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即若aA，則aB，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，稱集合A為集合B的子集，記作AB(或BA)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)子集的有關(guān)性質(zhì)：(1)是任何集合A的子集，即A.(2)任何一個集合是它本身的子集，即AA.(3)對于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.(4)若AB，BA，則稱集合A與集合B相等，記作AB.知識點二真子集思考在知識點一里，我們知道集合A是它本身的子集，那么如何刻畫至少比A少一個元素的A的子集？答案用真子集梳理如果集合AB，但AB，稱集合A是集合B的真子集，記作：AB(或BA)，讀作：A真包含于B(或B真包含A)知識點三Venn圖思考圖中集合A，B，C的關(guān)系用符號可表示為_答案ABC梳理一般地，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖Venn圖可以直觀地表達集合間的關(guān)系1若用“”類比“”，則“”相當(dāng)于“<”()2空集可以用表示(×)3若aA，則A.()4若aA，則A.(×)類型一求集合的子集例1(1)寫出集合a，b，c，d的所有子集；(2)若一個集合有n(nN)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？驗證你的結(jié)論考點子集及其運算題點求集合的子集解(1)，a，b，c，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d，a，b，c，d(2)若一個集合有n(nN)個元素，則它有2n個子集，2n1個真子集如，有1個子集，0個真子集反思與感悟為了羅列時不重不漏，要講究列舉順序，這個順序有點類似于從1到100數(shù)數(shù)：先是一位數(shù)，然后是兩位數(shù)，在兩位數(shù)中，先數(shù)首位是1的等等跟蹤訓(xùn)練1適合條件1A1,2,3,4,5的集合A的個數(shù)是()A15 B16 C31 D32考點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)題點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)答案A解析這樣的集合A有1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,3,4,5共15個類型二判斷集合間的關(guān)系命題角度1概念間的包含關(guān)系例2設(shè)集合M菱形，N平行四邊形，P四邊形，Q正方形，則這些集合之間的關(guān)系為()APNMQBQMNPCPMNQDQNMP考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，故選B.反思與感悟一個概念通常就是一個集合，要判斷概念間的關(guān)系首先要準確理解概念的定義跟蹤訓(xùn)練2我們已經(jīng)知道自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集可以分別用N，Z，Q，R表示，用符號表示N，Z，Q，R的關(guān)系為_考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案NZQR命題角度2數(shù)集間的包含關(guān)系例3設(shè)集合A0,1，集合Bx|x<2或x>3，則A與B的關(guān)系為()AAB BBACAB DBA考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案C解析0<2，0B.又1<2，1B.AB.反思與感悟判斷集合關(guān)系的方法(1)觀察法：一一列舉觀察(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖跟蹤訓(xùn)練3已知集合Ax|1<x<4，Bx|x<5，則()AAB BABCBA DBA考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案B解析由數(shù)軸易知A中元素都屬于B，B中至少有一個元素如2A，故有AB.類型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)(或參數(shù)范圍)例4已知集合Ax|x2x0，Bx|ax1，且AB，求實數(shù)a的值考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的值解Ax|x2x00,1(1)當(dāng)a0時，BA，符合題意(2)當(dāng)a0時，Bx|ax1，0，要使AB，只有1，即a1.綜上，a0或a1.反思與感悟集合A的子集可分三類：，A本身，A的非空真子集，解題中易忽略.跟蹤訓(xùn)練4已知集合Ax|1<x<2，Bx|2a3<x<a2，且AB，求實數(shù)a的取值范圍考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍解(1)當(dāng)2a3a2，即a1時，BA，符合題意(2)當(dāng)a<1時，要使AB，需滿足這樣的實數(shù)a不存在綜上，實數(shù)a的取值范圍是a|a1.1下列說法：空集沒有子集；任何集合至少有兩個子集；空集是任何集合的真子集；若A，則A.其中正確的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3考點空集的定義、性質(zhì)及運算題點空集的定義答案B解析只有正確2集合Px|x210，T1,0,1，則P與T的關(guān)系為()APT BPTCPT DPT考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案A3若A1，則下列關(guān)系錯誤的是()A BAACA DA考點空集的定義、性質(zhì)及運算題點空集的性質(zhì)答案D4下列正確表示集合M1,0,1和Nx|x2x0關(guān)系的Venn圖是()考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案B5已知集合A，B，則集合A，B之間的關(guān)系為_考點集合的關(guān)系題點集合關(guān)系的判定答案AB解析A，B，故AB.1對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，這是判斷AB的常用方法(2)不能簡單地把“AB”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A時，則A中不含任何元素；若AB，則A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足AB，其次至少有一個xB，但xA.2集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n1個真子集，有2n2個非空真子集寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉3由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法(1)注意點：不能忽視集合為的情形；當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.一、選擇題1在下列關(guān)系中錯誤的個數(shù)是()10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2；0,1,22,0,1；0,1(0,1)A1 B2 C3 D4考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案B解析正確；因為集合1是集合0,1,2的真子集，而不能用符號來表示，所以錯誤；正確，因為任何集合都是它本身的子集；正確，因為集合元素具有無序性；因為集合0,1表示數(shù)集，它有兩個元素，而集合(0,1)表示點集，它只有一個元素，所以錯誤，所以錯誤的個數(shù)是2.故選B.2已知集合M(x，y)|xy<0，xy>0和P(x，y)|x<0，y<0，那么()APM BMPCMP DMP考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案C解析由得故MP.3已知集合U，S，T，F(xiàn)的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是()SU；FT；ST；SF；SF；FU.A BC D考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案D解析元素與集合之間的關(guān)系才用，故錯；子集的區(qū)域要被全部涵蓋，故錯4已知集合Ax|x是三角形，Bx|x是等腰三角形，Cx|x是等腰直角三角形，Dx|x是等邊三角形，則()AAB BCBCDC DAD考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案B解析等腰三角形包括等腰直角三角形，CB.5若MP，MQ，P0,1,2，Q0,2,4，則滿足上述條件的集合M的個數(shù)是()A1 B2 C4 D8考點子集個數(shù)題點求集合的子集個數(shù)答案C解析P，Q中的公共元素組成集合C0,2，MC，這樣的集合M共有224個6設(shè)集合A1,1，集合Bx|x22axb0，若B，BA，則(a，b)不能是()A(1,1) B(1,0)C(0，1) D(1,1)考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的值答案B解析當(dāng)a1，b1時，Bx|x22x101，符合；當(dāng)ab1時，Bx|x22x101，符合；當(dāng)a0，b1時，Bx|x2101,1，符合；當(dāng)a1，b0時，Bx|x22x00，2，不符合7已知集合A，且集合A中至少含有一個偶數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為()A6 B5 C4 D3考點子集及其運算題點求集合的子集答案A解析方法一集合的子集為，其中含有偶數(shù)的集合有6個方法二共有238(個)子集，其中不含偶數(shù)的有，.故符合題意的A共有826(個)二、填空題8已知0,1A1,0,1，則集合A的個數(shù)為_考點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)題點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)答案1解析由題意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三個元素，又因為A1,0,1，所以A1,0,1，滿足題意的集合A有1個9已知集合A，B，則集合A，B滿足的關(guān)系是_(用，連接A，B)考點集合的包含關(guān)系題點集合包含關(guān)系的判定答案AB解析若x0A，即x0，k0Z.2k01Z，x0B，即AB，又B，但A，即AB，AB.10已知集合bx|xR|ax24x10(a，bR)，則ab_.考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的值答案或解析由題意知方程ax24x10有唯一解，當(dāng)a0時，x，此時b，則ab；當(dāng)a0時，由(4)24a0，得a4，方程ax24x10的解為x，此時b，則ab.三、解答題11已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C有多少個？考點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)題點與兩個已知集合有包含關(guān)系的集合個數(shù)解先用列舉法表示集合A，B.由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，滿足條件的C可為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4綜上，滿足題意的集合C共有4個12設(shè)Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，其中xR，如果BA，求實數(shù)a的取值范圍考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍解由于A0，4，又BA，則當(dāng)BA時，即0，4是方程x22(a1)xa210的兩根，代入方程解得a1.當(dāng)BA時，()當(dāng)B時，則4(a1)24(a21)<0，解得a<1；()當(dāng)B0或B4時，方程x22(a1)xa210應(yīng)有兩相等實數(shù)根0或4，則4(a1)24(a21)0，解得a1，此時B0，滿足條件綜上，可知a1或a1.13已知集合A1,3，x3，Bx2,1，是否存在實數(shù)x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，請說明理由考點子集及其運算題點求集合的子集解因為B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x23，則x1，符合題意若x2x3，則x3x20，所以(x1)(x2x2)0.因為x2x20，所以x10，所以x1，此時x21，集合B中的元素不滿足互異性綜上所述，存在實數(shù)x1，使得B是A的子集，此時A1,3，1，B1,3四、探究與拓展14給定集合U，若非空集合A，B滿足AU，BU，且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，則稱(A，B)為U的一個有序子集對，若U1,2,3,4，則U的有序子集對的個數(shù)為()A16 B17 C18 D19考點子集及其運算題點求集合的子集答案B解析當(dāng)A1時，集合B為集合2,3,4的非空子集，有7個；當(dāng)A2時，集合B為集合3,4的非空子集，有3個；當(dāng)A3時，集合B4，有1個；當(dāng)A1,2時，集合B為集合3,4的非空子集，有3個；當(dāng)A1,3時，集合B4，有1個；當(dāng)A2,3時，集合B4，有1個；當(dāng)A1,2,3時，集合B4，有1個所以符合條件的有序子集對有17個15已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x<0，若AB，求實數(shù)m的取值集合考點子集及其運算題點根據(jù)子集關(guān)系求參數(shù)的取值范圍解AB，當(dāng)A時，即方程x24mx2m60無實根，故16m28(m3)<0，解得1<m<.當(dāng)A時，方程x24mx2m60的根為負，則3<m1.綜上，實數(shù)m的取值集合是.