2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題六　解析幾何第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 文

2022年高考數(shù)學第二輪復習 專題六解析幾何第2講橢圓、雙曲線、拋物線 文真題試做1(xx·江西高考，文8)橢圓1(ab0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A B C D22(xx·湖南高考，文6)已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A1 B1C1 D13(xx·大綱全國高考，文10)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A B C D4(xx·江西高考，文20)已知三點O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點M(x，y)滿足|·()2(1)求曲線C的方程；(2)點Q(x0，y0)(2x02)是曲線C上的動點，曲線C在點Q處的切線為l，點P的坐標是(0，1)，l與PA，PB分別交于點D，E，求QAB與PDE的面積之比考向分析圓錐曲線是高考的重點和熱點，是高考中每年必考的內(nèi)容所占分數(shù)約在1218分主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容其中對圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，多以選擇題、填空題為主，如xx年湖南高考文6,xx年江西高考文8等題；對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識結(jié)合，形成曲線中的存在性問題、曲線中的證明問題等，多以解答題的形式出現(xiàn)預計在今后高考中，解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體，繼續(xù)與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識結(jié)合，考查最值問題、范圍問題、存在性問題以及有關(guān)的證明等，試題屬于中、高檔題，考查的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法熱點例析熱點一圓錐曲線的定義、性質(zhì)與標準方程【例1】若橢圓1與雙曲線1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個公共點，則|PF1|·|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2規(guī)律方法 1求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點坐標的情況下可以統(tǒng)一設成mx2ny21(mn0)，這樣可以避免對參數(shù)的討論2應特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運用，若已知圓錐曲線上一點及焦點的相關(guān)信息，應首先要考慮使用圓錐曲線的定義來求解3在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍4在雙曲線中，由于e21，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)5拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點、一個焦點、一條準線、一條對稱軸、無對稱中心、沒有漸近線，這里強調(diào)p的幾何意義是焦點到準線的距離變式訓練1 (1)(xx·江蘇南京二模，6)已知雙曲線y21的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率e_(2)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點與拋物線y216x的焦點相同，則雙曲線的方程為_熱點二圓錐曲線的最值或定值問題【例2】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：y21如圖所示，斜率為k(k0)且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x3于點D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|·|OE|，求證：直線l過定點；試問點B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由規(guī)律方法1求最值的常用方法(1)函數(shù)法，如通過二次函數(shù)求最值；(2)三角代換法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；(3)不等式法，通過基本不等式求最值；(4)數(shù)形結(jié)合法等2定值問題的求解策略解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量變式訓練2 (xx·安徽安慶二模，20)已知，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，e，過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，且|AB|4(1)求橢圓C的方程；(2)M，N是橢圓C上的兩點，若線段MN被直線x1平分，證明：線段MN的中垂線過定點熱點三圓錐曲線中的參數(shù)范圍【例3】如圖，已知圓C：(x1)2y28，定點A(1,0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足2，·0，點N的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程；(2)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G，H(點G在點F，H之間)，且滿足，求的取值范圍規(guī)律方法 求參數(shù)范圍的常用方法(1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解(2)不等式法，根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過解不等式求參數(shù)的范圍(3)判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式0求參數(shù)的范圍(4)數(shù)形結(jié)合法，研究該參數(shù)所對應的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解特別提醒：直線與圓錐曲線相交(有兩個交點)，聯(lián)立方程消元后得方程ax2bxc0(a0)，則b24ac0，求字母范圍時易忽視此限制條件，從而產(chǎn)生增根變式訓練3 已知點P(4,4)，圓C：(xm)2y25(m3)與橢圓E：1(ab0)有一個公共點A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切(1)求m的值與橢圓E的方程；(2)設Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍熱點四開放性、探索性問題(存在性問題)【例4】在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由規(guī)律方法 1解決探索性問題應注意以下幾點：存在性問題，先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論(2)當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件(3)當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑2存在性問題的解題步驟：(1)先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在(3)得出結(jié)論變式訓練4 如圖，橢圓C：1的頂點為A1，A2，B1，B2，焦點為F1，F(xiàn)2，|A1B1|，(1)求橢圓C的方程；(2)設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A，B兩點的直線，|1是否存在上述直線l使·1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由思想滲透分類討論思想解析幾何中含參數(shù)的問題解析幾何中含參數(shù)的問題類型：(1)當直線過定點設直線方程時，應對直線分斜率存在與不存在兩種情況進行討論；(2)求有關(guān)直線與圓錐曲線交點個數(shù)問題時，對參數(shù)的討論；(3)求有關(guān)線段長度、圖形面積的最值問題時，對解析式中含有的參數(shù)進行討論；(4)對有關(guān)二元二次方程表示曲線類型的判定等求解時注意的問題：(1)求解有關(guān)含參數(shù)的問題時應結(jié)合參數(shù)的意義，對參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進行分類討論，分類時應注意討論的時機、標準、原因，做到不重不漏(2)對參數(shù)的分類討論，最后仍然分類寫出答案；如果是對所求的字母進行分類求解，最后一般要整理得出并集【典型例題】(xx·浙江高考，理21)如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時直線l的方程解：(1)設橢圓左焦點為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x0，與不過原點的條件不符，舍去故可設直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點M，因為M在直線OP上，所以，得m0(舍去)或k此時方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|·|x1x2|·設點P到直線AB距離為d，則d設ABP的面積為S，則S|AB|·d·，其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)·(m1)(m1)所以當且僅當m1時，u(m)取到最大值故當且僅當m1時，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y2201(xx·江西八校聯(lián)考，文10)設拋物線M：y22px(p0)的焦點F是雙曲線N：1(a0，b0)的右焦點，若M與N的公共弦AB恰好過F，則雙曲線N的離心率e的值為()A B1 C3 D22(xx·河北邯鄲一模，11)拋物線y22px(p0)的焦點為F，傾斜角為60°的直線l過點F且與拋物線的一個交點為A，|AF|3，則拋物線的方程為()Ay23x By2xCy2x或y2x Dy23x或y29x3以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點且與直線xy30有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是()A1 B1C1 D14(xx·山東濰坊3月模擬，13)雙曲線y21(a0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_5(xx·北京豐臺3月模擬，10)已知拋物線y28x上一點P到焦點的距離是6，則點P的坐標是_6(xx·山東濟南3月模擬，15)過雙曲線1(a0，b0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為_7(xx·山東濟南3月模擬，22)已知中心在原點O，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2)，且拋物線y24x的焦點為F1(1)求橢圓E的方程；(2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A，B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：因為A，B為左，右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左，右焦點，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac又因為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2所以離心率e，故選B2A解析：2c10，c5點P(2,1)在直線yx上，1又a2b225，a220，b25故C的方程為：13C解析：設|PF2|m，則|PF1|2m，由雙曲線定義知|PF1|PF2|2a，得2mm2，m2又2c22×24，由余弦定理可得：cosF1PF24解：(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，·()(x，y)·(0,2)2y，由已知得2y2，化簡得曲線C的方程是x24y(2)直線PA，PB的方程分別是yx1，yx1，曲線C在Q處的切線l的方程是yx，且與y軸的交點為F，分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標分別是xD，xE，則xExD2，|FP|1，故SPDE|FP|·|xExD|··2，而SQAB·4·，則2，即QAB與PDE的面積之比為2精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】C解析：根據(jù)題意可知mn，由于點P是橢圓上的點，據(jù)橢圓定義有|PF1|PF2|2又點P在雙曲線上，再據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|±2，將上述兩式分別平方再相減得|PF1|·|PF2|mp【變式訓練1】(1)(2)1解析：由雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx得，ba拋物線y216x的焦點為F(4,0)，c4又c2a2b2，16a2(a)2a24，b212所求雙曲線的方程為1【例2】解：(1)設直線l的方程為ykxt(k0)，由題意知，t0由方程組得(3k21)x26ktx3t230由題意0，所以3k21t2設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得x1x2所以y1y2由于E為線段AB的中點，因此xE，yE，此時kOE所以OE所在直線方程為yx又由題設知D(3，m)，令x3，得m，即mk1所以m2k22mk2當且僅當mk1時上式等號成立此時由0得0t2因此當mk1且0t2時，m2k2取最小值2(2)證明：由(1)知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得G，又E，D，由距離公式及t0得|OG|222，|OD|，|OE|，由|OG|2|OD|·|OE|得tk，因此直線l的方程為yk(x1)，所以直線l過定點(1,0)由得G，若B，G關(guān)于x軸對稱，則B代入yk(x1)，整理得3k21k，即6k47k210，解得k2(舍去)或k21，所以k1此時B，G關(guān)于x軸對稱又由(1)得x10，y11，所以A(0,1)由于ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設ABG的外接圓的圓心為(d,0)，因此d212，解得d故ABG的外接圓的半徑為r所以ABG的外接圓方程為2y2【變式訓練2】解：(1)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，|AF2|BF2|2|AB|4a|AF2|AF1|BF2|BF1|AF2|BF2|AB|3|AB|12a3又e，c1，b2所求的橢圓方程為1(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為(1，y0)，由題意，知，兩式相減，得0，kMN線段MN的中垂線方程為yy0(x1)，易證，此直線過定點【例3】解：(1)2，·0，NP為AM的垂直平分線，|NA|NM|又|CN|NM|2，|CN|AN|22，點N的軌跡是以點C(1,0)，A(1,0)為焦點的橢圓且橢圓長軸長為2a2，焦距2c2，a，c1，b21，曲線E的方程為y21(2)當直線GH的斜率存在時，設直線GH的方程為ykx2，代入橢圓方程y21，得x24kx30由0得k2設G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1x2，x1x2又，(x1，y12)(x2，y22)，x1x2，x1x2(1)x2，x1x2x2，2x22·2·，整理得k2，442，3又01，1又當直線GH的斜率不存在，即其方程為x0時，1，即所求的取值范圍是【變式訓練3】解：(1)點A坐標代入圓C方程，得(3m)215m3，m1圓C：(x1)2y25設直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40直線PF1與圓C相切，解得k，或k當k時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去；當k時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為4，c4F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)2aAF1AF256，a3，a218，b22橢圓E的方程為1(2)(1,3)，設Q(x，y)，(x3，y1)，·(x3)3(y1)x3y61，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|·|3y|，186xy18則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36x3y的取值范圍是6,6·x3y6的取值范圍是12,0【例4】解：(1)由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21整理得x22kx10直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220，解得k或k即k的取值范圍為(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(2,1)，所以與共線等價于x1x2(y1y2)將代入上式，解得k由(1)知k或k，故沒有符合題意的常數(shù)k【變式訓練4】解：(1)由|A1B1|知a2b27，知a2c，又b2a2c2，由解得a24，b23，故橢圓C的方程為1(2)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，假設使·1成立的直線l存在，當l不垂直于x軸時，設l的方程為ykxm，由l與n垂直相交于P點且|1，得1，即m2k21·1，|1，·()·()···10010，即x1x2y1y20將ykxm代入橢圓方程，得(34k2)x28kmx(4m212)0，由求根公式可得x1x2，x1x20x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)x1x2k2x1x2km(x1x2)m2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，將代入上式并化簡得(1k2)(4m212)8k2m2m2(34k2)0，將m21k2代入并化簡得5(k21)0，矛盾即此時直線l不存在當l垂直于x軸時，滿足|1的直線l的方程為x1或x1，當x1時，A，B，P的坐標分別為，(1,0)，·1當x1時，同理可得·1，即此時直線l也不存在綜上可知，使·1成立的直線l不存在創(chuàng)新模擬·預測演練1B解析：由條件可知雙曲線的半焦距e，則|AB|2p4c，即c2a22ac設雙曲線的離心率為e，則e22e10，故e12D解析：直線l方程為y設A(x1，y1)，則y1又根據(jù)拋物線定義，有x13，x13故A將A點坐標代入拋物線方程，并整理有：4p224p270，p1，p2故拋物線方程為y23x或y29x3C解析：c1，故若使橢圓的離心率最大，則a最小，即在直線xy30上求一點M使|MF1|MF2|最小，易求點F1關(guān)于直線xy30的對稱點N為(3,2)，|NF2|22a2，故所求橢圓方程是1故選C4y±x解析：c2a21，由4得a故漸近線方程為y±x±x5(4，±4)解析：利用拋物線定義先求出P點的橫坐標6解析：設垂足為M則OFM為等腰直角三角形，設OF中點為N，利用MNONOF，列出關(guān)于a，c的關(guān)系式即可解決7解：(1)設橢圓E的方程為1(ab0)，則1，拋物線y24x的焦點為F1，c又a2b2c2，由得a212，b26橢圓E的方程為1(2)依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為yxm，代入橢圓E的方程，得3x24mx2m2120由16m212(2m212)8(18m2)0，得m218A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2圓P的圓心為，半徑r|x1x2|當圓P與y軸相切時，r，則2x1x2，即，m2918，m±3當m3時，直線l方程為yx3，此時，x1x24，圓心為(2,1)，半徑為2，圓P的方程為(x2)2(y1)24；同理，當m3時，直線l方程為yx3，圓P的方程為(x2)2(y1)24