2022年高考數(shù)學 （真題+模擬新題分類匯編） 概率 理

2022年高考數(shù)學 （真題+模擬新題分類匯編） 概率 理16I1，K1，K2，K6xx·北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天圖16(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列為X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大K2古典概型9K2xx·湖北卷 如圖12所示，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()圖12A. B. C. D.9B解析 X的取值為0，1，2，3且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故E(X)0×1×2×3×，選B.7K2xx·江蘇卷 現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_7.解析 基本事件共有7×963種，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇數(shù)共有20種，故所求概率為.16I1，K1，K2，K6xx·北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天圖16(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列為X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大16K2，K6xx·天津卷 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望16解：設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A).所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機變量X的分布列是X1234P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)1×2×3×4×.14K2，J2xx·新課標全國卷 從n個正整數(shù)1，2，3，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_148解析 和為5的只有兩種情況，14，23，故C28n8.18K2、K4、K5，K8xx·重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與期望E(X)18解：設(shè)Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j(luò)個藍球，則Ai(i0，1，2，3)與Bj(j0，1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)·，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)·，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)·，P(X0)1.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)0×10×50×200×4(元)K3幾何概型11K3xx·福建卷 利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a1>0”發(fā)生的概率為_11.解析 <a<1，概率P.14E4、K3xx·山東卷 在區(qū)間3，3上隨機取一個數(shù)x，使得|x1|x2|1成立的概率為_14.解析 當x<1時，不等式化為x1x21，此時無解；當1x2時，不等式化為x1x21，解之得x1；當x>2時，不等式化為x1x21，此時恒成立，|x1|x2|1的解集為.在上使不等式有解的區(qū)間為，由幾何概型的概率公式得P.5K3xx·陜西卷 如圖11，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()圖11A1 B.1C2 D.5A解析 閱讀題目可知，滿足幾何概型的概率特點，利用幾何概型的概率公式可知：P1.9K3xx·四川卷 節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A. B.C. D.9C解析 設(shè)第一串彩燈在通電后第x秒閃亮，第二串彩燈在通電后第y秒閃亮，由題意滿足條件的關(guān)系式為2xy2.根據(jù)幾何概型可知，事件全體的測度(面積)為16平方單位，而滿足條件的事件測度(陰影部分面積)為12平方單位，故概率為.K4互斥事件有一個發(fā)生的概率19K4，K6xx·新課標全國卷 一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n4.再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗；若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與 A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)××.(2)X可能的取值為400，500，800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PE(X)400×500×800×506.25.18K2、K4、K5，K8xx·重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與期望E(X)18解：設(shè)Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j(luò)個藍球，則Ai(i0，1，2，3)與Bj(j0，1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)·，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)·，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)·，P(X0)1.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)0×10×50×200×4(元)K5相互對立事件同時發(fā)生的概率18K2、K4、K5，K8xx·重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與期望E(X)18解：設(shè)Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j(luò)個藍球，則Ai(i0，1，2，3)與Bj(j0，1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)·，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)·，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)·，P(X0)1.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)0×10×50×200×4(元)K6離散型隨機變量及其分布列19K4，K6xx·新課標全國卷 一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n4.再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗；若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與 A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)××.(2)X可能的取值為400，500，800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PE(X)400×500×800×506.25.16K6，K8xx·福建卷 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？16解：方法一：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分X3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X5”，因為P(X5)×，所以P(A)1P(X5)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2×，E(X2)2×，從而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大方法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”“X2”“X3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X0)×，P(X2)×，P(X3)×，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)0×2×4×，E(X2)0×3×6×.因為E(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大4K6xx·廣東卷 已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學期望E(X)()A. B2C. D34A解析 E(X)1×2×3×，選A.18K6xx·江西卷 小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖15)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊(1)求小波參加學校合唱團的概率；(2)求X的分布列和數(shù)學期望圖15解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28種，X0時，兩向量夾角為直角共有8種情形；所以小波參加學校合唱團的概率為P(X0).(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1，0，1，X2時，有2種情形；X1時，有8種情形；X1時，有10種情形所以X的分布列為X2101PEX(2)×(1)×0×1×.16I1，K1，K2，K6xx·北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天圖16(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)16解：設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列為X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大19K6、K7xx·山東卷 甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30，31，32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)3，P(A2)C21×，P(A3)C212×.所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)C122×1，由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3).P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以E(X)0×1×2×3×.19K6xx·陜西卷 在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手，”則P(A)，P(B).事件A與B相互獨立，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(AB)P(A)·P(B)P(A)·1P(B)×.或P(AB ).(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”則P(C).X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X0)P(A B C)××.P(X1)P(AB C)P(ABC)P(A BC)××××××，P(X2)P(ABC)P(ABC)P(ABC)××××××，P(X3)P(ABC)××.X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望EX0×1×2×3×.18L1，K6xx·四川卷 某算法的程序框圖如圖16所示，其中輸入的變量x在1，2，3，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生圖16(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1，2，3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率(用分數(shù)表示)，并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；(3)按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望18解：(1)變量x是在1，2，3，24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2；當x從6，12，18，24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3，所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機變量可能的取值為0，1，2，3.P(0)C××，P(1)C××，P(2)C××，P(3)C××，故的分布列為0123P所以，E0×1×2×3×1.即的數(shù)學期望為1.16K2，K6xx·天津卷 一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望16解：設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A).所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機變量X的分布列是X1234P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)1×2×3×4×.19B1，I2，K6xx·新課標全國卷 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖14所示，經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品，以X(單位：t，100X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100，110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100，110)的頻率)，求T的數(shù)學期望圖1419解：(1)當X100，130)時，T500X300(130X)800X39 000.當X130，150時，T500×13065 000.所以T(2)由(1)知利潤T不少于57 000元，當且僅當120X150.由直方圖知需求量X120，150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 000×0.153 000×0.261 000×0.365 000×0.459 400.K7條件概率與事件的獨立性21K7、K9xx·安徽卷 某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為X.(1)求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2)求使P(Xm)取得最大值的整數(shù)m.21解：(1)因為事件A：“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以A與B相互獨立由于P(A)P(B)，故P(A)P(B)1，因此學生甲收到活動通知信息的概率P112.(2)當kn時，m只能取n，有P(Xm)P(Xn)1.當k<n時，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學”所包含的基本事件總數(shù)為(C)2，當Xm時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學生人數(shù)恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學生人數(shù)均為mk，由乘法計數(shù)原理知事件Xm所含基本事件數(shù)為CCCCCC，此時P(Xm).當km<t時，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2k<t成立則當(k1)2能被n2整除時，k2k<2k1t，故P(Xm)在m2k和m2k1處達最大值；當(k1)2不能被n2整除時，P(Xm)在m2k處達最大值(注：x表示不超過x的最大整數(shù))下面證明k2k<t.因為1k<n，所以2kk0.而2kn<0，故2k<n，顯然2k<2k.因此k2k<t.6K7xx·江蘇卷 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為_62解析 由題知x甲(8791908993)90，s(91019)4；x乙(8990918892)90，s(10144)2，所以s>s，故答案為2.16K7xx·遼寧卷 為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_1610解析 由已知可設(shè)5個班級參加的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x7，4，故(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，即五個完全平方數(shù)之和為20，要使其中一個達到最大，這五個數(shù)必須是關(guān)于0對稱分布的，而9101920，也就是(3)2(1)202123220，所以五個班級參加的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，最大數(shù)字為10.20K7、K8xx·全國卷 甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結(jié)束時，負的一方在下一局當裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立，第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學期望20解：(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負”，A表示事件“第4局甲當裁判”則AA1·A2.P(A)P(A1·A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0，1，2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負”則P(X0)P(B1·B2·A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(B1·B3)P(B1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，E(X)0·P(X0)1·P(X1)2·P(X2).19K6、K7xx·山東卷 甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30，31，32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望19解：(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)3，P(A2)C21×，P(A3)C212×.所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)C122×1，由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3).P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以E(X)0×1×2×3×.K8離散型隨機變量的數(shù)學特征與正態(tài)分布16K6，K8xx·福建卷 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？16解：方法一：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分X3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X5”，因為P(X5)×，所以P(A)1P(X5)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2×，E(X2)2×，從而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大方法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”“X2”“X3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X0)×，P(X2)×，P(X3)×，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)0×2×4×，E(X2)0×3×6×.因為E(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大19K8xx·遼寧卷 現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立用X表示張同學答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望19解： (1)設(shè)事件A“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”，則有A“張同學所取的3道題都是甲類題”因為P(A)，所以P(A)1P(A).(2)X所有的可能取值為0，1，2，3.P(X0)C···；P(X1)C···C··；P(X2)C···C··；P(X3)C···.X的分布列為：X0123P所以E(X)0×1×2×3×2.20K7、K8xx·全國卷 甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結(jié)束時，負的一方在下一局當裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立，第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學期望20解：(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負”，A表示事件“第4局甲當裁判”則AA1·A2.P(A)P(A1·A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0，1，2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙負”則P(X0)P(B1·B2·A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(B1·B3)P(B1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，E(X)0·P(X0)1·P(X1)2·P(X2).18K2、K4、K5，K8xx·重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與期望E(X)18解：設(shè)Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j(luò)個藍球，則Ai(i0，1，2，3)與Bj(j0，1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)·，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)·，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)·，P(X0)1.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)0×10×50×200×4(元)K9單元綜合21K7、K9xx·安徽卷 某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為X.(1)求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2)求使P(Xm)取得最大值的整數(shù)m.21解：(1)因為事件A：“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以A與B相互獨立由于P(A)P(B)，故P(A)P(B)1，因此學生甲收到活動通知信息的概率P112.(2)當kn時，m只能取n，有P(Xm)P(Xn)1.當k<n時，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學”所包含的基本事件總數(shù)為(C)2，當Xm時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學生人數(shù)恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學生人數(shù)均為mk，由乘法計數(shù)原理知事件Xm所含基本事件數(shù)為CCCCCC，此時P(Xm).當km<t時，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2k<t成立則當(k1)2能被n2整除時，k2k<2k1t，故P(Xm)在m2k和m2k1處達最大值；當(k1)2不能被n2整除時，P(Xm)在m2k處達最大值(注：x表示不超過x的最大整數(shù))下面證明k2k<t.因為1k<n，所以2kk0.而2kn<0，故2k<n，顯然2k<2k.因此k2k<t.18K9xx·湖南卷 某人在如圖14所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物，根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望圖1418解：(1)所種作物總株數(shù)N1234515，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有CC36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3328種故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為.(2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列因為P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)所以只需求出P(Xk)(k1，2，3，4)即可記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k1，2，3，4)，則n12，n24，n36，n43.由P(Xk)得P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故所求的分布列為Y51484542P所求的數(shù)學期望為E(Y)51×48×45×42×46.19K9xx·浙江卷 設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)若E，D，求abc.19解：(1)由題意得，2，3，4，5，6.P(2)，P(3)，P(4).P(5)，P(6)，所以的分布列為23456P (2)由題意知的分布列為123P所以E，D12·22·32·，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.1xx·安徽省級示范高中名校聯(lián)考 在棱長分別為1，2，3的長方體上隨機選取兩個相異頂點，若每個頂點被選的概率相同，則選到兩個頂點的距離大于3的概率為()A. B.C. D.1B解析 依題意從長方體8個頂點中任取兩點有C28種取法，其線段長分別有1，2，3，討論如下：(1)其中12條棱長度都不大于3；(2)其中4條邊長為1，2的矩形的對角線為，小于3.故長度大于3的有2812412條，故兩點距離大于3的概率P.2xx·廣州調(diào)研 在區(qū)間1，5和2，4上分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為()A. B.C. D.2B解析 依題意可以應(yīng)用幾何概型解決問題方程1表示焦點在x軸且離心率小于的橢圓時有即化簡得又a1，5，b2，4，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為，故P.3xx·湖南師大附中月考 如果一個n位十進制數(shù)a1a2a3an的數(shù)位上的數(shù)字滿足“小大小大小大”的順序，即滿足a1<a2>a3<a4>a5<a6，我們稱這種數(shù)為“波浪數(shù)”；從1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復的五位數(shù)中任取一個五位數(shù)abcde，這個數(shù)為“波浪數(shù)”的概率是()A. B.C. D.3A解析 顯然b，d中必有一個數(shù)字為5，由對稱性，不妨先設(shè)b5，則d3.若d4，則a，c，e是1，2，3的任意排列都滿足，即A種；若d3，則c，e是1，2的任意排列，且a4，即2種則滿足條件的概率是.4xx·成都一診 已知數(shù)列an滿足anan1n1(n2，nN)，一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，將這顆骰子連續(xù)拋擲三次，得到的點數(shù)分別記為a，b，c，則滿足集合a，b，ca1，a2，a3(1ai6，i1，2，3)的概率是()A. B.C. D.4D解析 由遞推數(shù)列容易有：令a1t，可以得出a21t，a33t，利用(1ai6，i1，2，3)，可得1t3，于是a1，a2，a3有三種可能的選法：1，2，4；2，3，5；3，4，6.由題有P.5xx·丹東四校一診 在長為10 cm的線段AB上任取一點C，并以線段AC為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為_5.解析 依題意知屬于幾何概型因為以線段AC為邊的正方形的